微专题01 整式乘除五类必考经典题通关专练-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）(原卷版+解析版）

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微专题01 整式乘除五类经典题型通关专练 经典一：幂的运算逆运算1．（1）已知10m=5，10n=2，求102m+3n的值；（2）已知8m÷4n=16，求−32n−3m的值．【答案】（1）200；（2）181【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、负整数指数幂【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘除法以及幂的乘方．（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【详解】解：（1）∵10m=5，10n=2，∴102m+3n=10m2⋅10n3=52×23=25×8=200；（2）∵8m÷4n=23m÷22n=23m−2n=16=24，∴3m−2n=4，∴2n−3m=−4，∴−32n−3m=−3−4=181．2．用简便方法计算：(1)62025×122025×−132025；(2)32026×−72026×1212027．【答案】(1)−1(2)−121【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、有理数的乘方运算【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法逆运算，有理数的乘方运算，掌握计算公式和运算法则是解题的关键．（1）直接利用积的乘方逆运算计算；（2）先将1212027化为1212026×121，再利用积的乘方逆运算计算．【详解】（1）解：原式=−6×12×132025=−12025=−1；（2）解：原式=32026×−72026×1212026×121=−3×7×1212026×121=−12026×121=−121．3．已知4m÷2n=8，2m2⋅2n=32．(1)求2m−n的值；(2)求n+2m2m−n的值；(3)计算−82m+n×0.1252m−n的结果．【答案】(1)3(2)15(3)−64【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键．（1）根据同底数幂的除法法则解答即可；（2）根据同底数幂的乘法法则求得2m+n=5，结合（1）所求即可解答；（3）逆用积的乘方法则解答即可．【详解】（1）解：∵4m÷2n=8，∴22m÷2n=23，∴22m−n=23，∴2m−n=3；（2）解：∵2m2⋅2n=32，∴22m⋅2n=25，∴22m+n=25，∴2m+n=5；∵2m−n=3，∴n+2m2m−n=5×3=15；（3）解：∵2m−n=3，2m+n=5，∴−82m+n×0.1252m−n=−85×183=−82×83×183=−82×8×183=−64×1=−64．4．将幂的运算逆向思维可以得到am+n=am⋅an，am−n=am÷an，amn=amn，ambm=abm，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．(1)已知am=3，an=2，求：①am+n的值；②a2m−n的值；(2)已知2×8x×16=223，求x的值．【答案】(1)①6   ②92(2)6【知识点】已知式子的值，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用【分析】（1）①由同底数幂乘法的逆用可得am+n=am⋅an，然后将am=3，an=2代入求值即可；②由同底数幂除法的逆用及幂的乘方的逆用可得a2m−n=am2÷an，然后将am=3，an=2代入求值即可；（2）由2×8x×16=2×23x×24=2×23x×24=21+3x+4=223可得1+3x+4=23，解方程即可求出x的值．【详解】（1）解：①∵am=3，an=2，∴am+n=am⋅an=3×2=6；②∵am=3，an=2，∴a2m−n=am2÷an=32÷2=9÷2=92；（2）解：∵2×8x×16=2×23x×24=2×23x×24=21+3x+4=223，∴1+3x+4=23，解得：x=6．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂乘法的逆用，同底数幂除法的逆用，幂的乘方，幂的乘方的逆用，代数式求值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．5．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am=4，am+n=20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n=am⋅an，所以20=4×an，所以an=5．(1)若am=8，a2m−n=16，请你也利用逆向思考的方法求出an的值；(2)下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题：①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号(字母)语言直接写出这条性质：___________．②计算：(−4)2023×0.252024．【答案】(1)4(2)①anbn=abn，②−0.25【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，熟练掌握积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则是解题的关键．（1）逆向运用幂的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则，即可得出答案；（2）①逆向运算积的乘方运算法则填空即可；②逆向运用积的乘方公式和同底数幂公式计算即可．【详解】（1）解： ∵am=8，∴a2m=(am)2=64．∵a2m−n=a2m÷an=16，∴64÷an=16，∴an=64÷16=4；（2）①小豫的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即anbn=(ab)n，故答案为：anbn=(ab)n；②(−4)2023×0.252024=(−4)2023×0.252023×0.25=(−4)×0.252023×0.25=(−1)2023×0.25=−1×0.25=−0.25．6．将幂的运算逆向思维可以得到am+n=am⋅an，amn=amn，anbn=abn，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．(1)若am=2，an=3，求a3m+2n的值．(2)若2×4x×8x=216，求x的值．【答案】(1)72(2)3【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算：（1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为am3⋅an2，即可求解；（2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为21+2x+3x，即可求解．【详解】（1）解：∵am=2，an=3，∴a3m+2n=a3m⋅a2n=am3⋅an2=23×32=8×9=72．（2）解：∵2×4x×8x=2×22x×23x=21+2x+3x=216，∴1+2x+3x=16，解得x=3．7．阅读下列材料，回答问题．下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较2a和2b的大小．当a>b时，2a>2b，即当底数相同时，指数越大值越大．②比较350和275的大小．解：∵350=3225=925，275=2325=825，9>8，∴925>825，∴350>275．即指数相同时，底数越大值越大．(1)比较320和915的大小；(2)已知a=344，b=433，则a___________b．（选填“>”“=”或“20，∴3206411，即344>433∴a>b，故答案为：>．8．阅读下列各式：ab2=a2b2，ab3=a3b3，ab4=a4b4…回答下列三个问题：(1)验证：5×0.210= ；510×0.210= ．(2)通过上述验证，归纳得出：abn= ；abcn= ．(3)请应用上述性质计算：①4101×0.25100；②−0.1252021×22020×42022．【答案】(1)1，1(2)anbn；anbncn(3)①4；②−2【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用【分析】本题考查了积的乘方公式及其逆运算，正确理解积的乘方等于乘方的积是解题的关键．（1）积的乘方公式及其逆运算计算即可；（2）由ab2=a2b2，ab3=a3b3，ab4=a4b4…，归纳可得，abn=anbn，abcn=anbncn；（3）逆用公式 abn=anbn，即anbn=abn容易求出答案．【详解】（1）解：5×0.210=110=1，510×0.210=5×0.210=110=1；故答案为：1，1；（2）∵ ab2=a2b2，ab3=a3b3，ab4=a4b4…∴abn=anbn，abcn=anbncn；故答案为：anbn；anbncn；（3）①4101×0.25100=4100×0.25100×4=4×0.25100×4=1100×4=4；②−0.1252021×22020×42022=−182020×−18×22020×42020×42=−18×2×42020×−18×42=1×−18×16=−2．经典二：整式运算中与某项无关9．【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式(a+3)x−6y+5，∵代数式的值与x的取值无关，∴ a+3=0，解a=−3．【理解应用】（1）若关于x的代数式mx−4x+3的值与x的取值无关，则m值为_________．（2）已知A=(2x+1)(x−2),B=xm−x，且A+2B的值与x的取值无关，求m的值．【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S−S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）m=32；（3）a=2b【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则．（1）把含有x的项提取公因式x，然后根据关于x的代数式mx−4x+3的值与x的取值无关，列出关于m的方程，解方程即可；（2）把已知条件中的A和B代入A+2B，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据A+2B的值与x无关，列出关于m的方程，解方程即可；（3）设AB=x，由图可知S1=a(x−3b)，S2=2b(x−2a)，然后再求出S1−S2，最后根据S1−S2的值始终保持不变，得到关于a，b的等式即可．【详解】解：（1）mx−4x+3=(m−4)x+3，∵关于x的代数式mx−4x+3的值与x的取值无关，∴m−4=0，解得：m=4，故答案为：4；（2）∵A=(2x+1)(x−2)=2x2−4x+x−2=2x2−3x−2,2B=2x(m−x)=2mx−2x2，∴A+2B=2x2−3x−2+2mx−2x2=(2m−3)x−2， ∵A+2B的值与x无关，∴2m−3=0，即m=32； （3）设AB=x，由图可知S1=a(x−3b),S2=2b(x−2a)，∴S1−S2=a(x−3b)−2b(x−2a)=(a−2b)x+ab， ∵当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变．∴S1−S2取值与x无关，∴a−2b=0，∴a=2b10．小红准备完成题目：计算(x2x−1)(x2−2x+1)时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了．(1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：(x2+2x−1)(x2−2x+1)；(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？【答案】(1)x4−4x2+4x−1(2)−2【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值、整式的加减运算【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．（1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可；（2）设被遮住的一次项系数为a，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于a的方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：(x2+2x−1)(x2−2x+1)=x4−2x3+x2+2x3−4x2+2x−x2+2x−1=x4−4x2+4x−1；（2）解：设被遮住的一次项系数为a，即(x2+ax−1)(x2−2x+1)=x4−2x3+x2+ax3−2ax2+ax−x2+2x−1=x4+(a−2)x3+(−2a)x2+(a+2)x−1，∵这个题目的正确答案不含一次项的，∴a+2=0，解得：a=−2，∴被遮住的一次项系数为−2．11．在学习多项式乘以多项式时，我们知道12x+4(2x+5)(3x−6)的结果是一个多项式，并且最高次项为12x⋅2x⋅3x=3x3，常数项为4×5×(−6)=−120．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：12×5×(−6)+4×2×(−6)+4×5×3=−3，即一次项为−3x．参考材料中用到的方法，解决下列问题：(1)计算(x+2)(3x+1)(5x−3)所得多项式的一次项系数；(2)如果计算x2+x+1x2−3x+a(2x−1)所得多项式不含一次项，求a的值．【答案】(1)−11(2)a=−3【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．（1）根据题中给定的方法计算即可；（2）根据题中给定的方法计算得到一次项系数为a+3，若x2+x+1x2−3x+a(2x−1)所得多项式不含一次项，则a+3=0，由此求得a的值．【详解】（1）解：根据题中的求法可知，(x+2)(3x+1)(5x−3)所得多项式的一次项系数为：1×1×(−3)+2×3×(−3)+2×1×5=−3−18+10=−11，∴ (x+2)(3x+1)(5x−3)所得多项式的一次项系数为：−11．（2）解：∵ x2+x+1x2−3x+a(2x−1)所得多项式一次项系数为：1×a×(−1)+1×(−3)×(−1)+1×a×2=−a+3+2a=a+3，若所得的多项式不含一次项，那么一次项系数为0，∴ a+3=0，∴ a=−3．12．定义：对于一组关于x的多项式x+a,x+b,x+c,x+d（a,b,c,d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式x+1,x+2,x+3,x+4，因为x+1x+4−x+2x+3=x2+5x+4−x2+5x+6=−2，所以多项式x+1,x+2,x+3,x+4是一组黄金多项式，其黄金因子为−2=2．(1)小贤发现多项式x+2,x+4,x+7,x+9是一组黄金多项式，其列式为x+2x+9−x+4x+7，请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．(2)若多项式x+2,x−3,x+6,x+n（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值．(3)若多项式x+m（m为有理数），x−2,x+1,x+2是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出m的值．【答案】(1)−10=10(2)n的值为−7或11或1(3)m的值为−3【知识点】整式加减中的无关型问题、整式四则混合运算【分析】本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解题的关键．（1）根据整式的四则混合运算法则计算x+2x+9−x+4x+7，根据“黄金因子”的定义即可解答；（2）分三种情况，分别计算①x+2x−3−x+6x+n；②x+2x+6−x−3x+n；③x+2x+n−x+6x−3，根据“黄金多项式”的定义即可解答；（3）分三种情况，分别计算①x+mx−2−x+1x+2，②x+mx+1−x−2x+2，③x+mx+2−x−2x+1，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答．【详解】（1）∵x+2x+9−x+4x+7=x2+11x+18−x2−11x−28=−10，∴这组黄金多项式的黄金因子是−10=10．（2）若多项式x+2,x−3,x+6,x+n（n是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况，①x+2x−3−x+6x+n=x2−x−6−x2−6+nx−6n=−7−nx−6−6n．∵这是一组黄金多项式，∴−7−n=0，∴n=−7．②x+2x+6−x−3x+n=x2+8x+12−x2−n−3x+3n=11−nx+3n+12．∵这是一组黄金多项式，∴11−n=0，∴n=11．③x+2x+n−x+6x−3=x2+2+nx+2n−x2−3x+18=n−1x+2n+18．∵这是一组黄金多项式，∴n−1=0，∴n=1．综上所述，n的值为−7或11或1．（3）①∵x+mx−2−x+1x+2=x2−2x+mx−2m−x2−2x−x−2=m−5x−2m−2．∵这是一组黄金多项式，∴m−5=0，∴m=5，∴黄金因子为−2m−2=−12=12，不合题意，舍去；②∵x+mx+1−x−2x+2=x2+x+mx+m−x2+4=m+1x+m+4．∵这是一组黄金多项式，∴m+1=0，∴m=−1∴黄金因子为m+4=3=3，不合题意，舍去；③∵x+mx+2−x−2x+1=x2+2x+mx+2m−x2−x+2x+2=m+3x+2m+2．∵这是一组黄金多项式，∴m+3=0，∴m=−3，∴黄金因子为2m+2=−4=4，符合题意；综上所述，m的值为−3．13．教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“⊗”，对于任意有理数a，b，c，d，规定a,b⊗c,d=ad−bc，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：1,3⊗2,4=1×4−2×3=−2．  请解答下列问题：(1)填空：−2,3⊗4,5=______；(2)若2x2+1,nx−1⊗5,x−2的代数式中不含x的一次项时，求n的值；(3)求3x+1,x−2⊗x+2,x−3的值，其中x2−4x+1=0；(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，其中AB=5，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为S1，右上角长方形的面积为S2．当2S1−3S2=20，求2a+b,−6b⊗b−3,3a−6b的值．【答案】(1)−22(2)n=15(3)−1(4)24【知识点】新定义下的实数运算、多项式乘多项式——化简求值、已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式：（1）根据新定义计算求解即可；（2）根据新定义求出2x2+1,nx−1⊗5,x−2=2x3−4x2+1−5nx+3，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可；（3）根据新定义求出3x+1,x−2⊗x+2,x−3=2x2−8x+1，再利用整体代入法代值计算即可；（4）根据所给图形可得S1=a5−3b，S2=b5−2a，根据2S1−3S2=20推出2a−3b=4，再根据新定义2a+b,−6b⊗b−3,3a−6b=6a2−9ab−18b，进而一步步利用整体代入法降次求解即可．【详解】（1）解：由题意得，−2,3⊗4,5=−2×5−3×4=−10−12=−22；（2）解：2x2+1,nx−1⊗5,x−2=2x2+1x−2−5nx−1=2x3+x−4x2−2−5nx+5=2x3−4x2+1−5nx+3∵代数式中不含x的一次项，∴1−5n=0，∴n=15；（3）解：3x+1,x−2⊗x+2,x−3=3x+1x−3−x−2x+2=3x2+x−9x−3−x2−4=3x2+x−9x−3−x2+4=2x2−8x+1∵x2−4x+1=0，∴原式=2x2−4x+1−1=−1；（4）解：根据题意得：2a5−3b−3b5−2a=20，整理得：2a−3b=4，∴2a+b,−6b⊗b−3,3a−6b=2a+b3a−6b−−6bb−3=6a2−9ab−18b=3a2a−3b−18b=12a−18b=62a−3b=24．14．（1）先化简，再求值．2m+3m−4−m+2m−3，其中m=−42024×0.252023．（2）已知x2+mx−32x−n的展开式中不含x2项，常数项是6．若a3=m，b3=n，求a+b(a2−ab+b2)的值．【答案】（1）m2−4m−6，4；（2）3【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、整式乘法混合运算、有理数乘方逆运算【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．（1）先直接利用多项式乘多项式计算，再合并同类项，然后求出m=4，代入即可解答；（2）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m，n的值；再计算a+b(a2−ab+b2)得a3+b3，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．【详解】解：（1）2m+3m−4−m+2m−3=(2m2−5m−12)−(m2−m−6)=2m2−5m−12−m2+m+6=m2−4m−6，因为 m=(−4)2024×0.252023 =4×(42023×0.252023)m=4×(4×0.25)2023=4， 所以，原式=16－4×4－6=－6． （2）x2+mx−32x−n=2x3+2mx2−6x−nx2−mnx+3n=2x3+(2m−n)x2−(mn+6)x+3n，由于展开式中不含x2项，常数项是6，则2m−n=0且3n=6，解得：m=1，n=2；∴ a+b(a2−ab+b2)=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3=a3+b3，a3=m=1，b3=n=2，原式=1+2=315．若x2+px−13x2−3x+q的积中不含x项与x3项．(1)求p、q的值；(2)求代数式−2p2q2+3pq−1+p2003q2004的值．【答案】(1)p=3，q=−13；(2)36．【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与x3项可知x项与x3项的系数均等于0，可得关于p、q的方程组，解方程组即可；（2）由（1）中p、q的值得pq=−1，将原式整理变形成−2p⋅pq2+3pq−1+pq2003⋅q再将p、q、pq的值代入计算即可．【详解】（1）解： x2+px−13x2−3x+q=x4−3x3+qx2+px3−3px2+pqx−13x2+x−13q=x4+p−3x3+q−3p−13x2+pq+1x−13q，∵积中不含x项与x3项，∴p−3=0，pq+1=0，解得：p=3，q=−13；（2）解：∵p=3，q=−13∴pq=−1，∴−2p2q2+3pq−1+p2003q2004=−2p⋅pq2+3pq−1+pq2003⋅q=2×32−13+−13×(−1)2003=36−13+13=36．16．已知关于x的三次三项式A=x3−2x2+1及关于x的二次三项式B=x2+mx+n（m，n均为非零常数）．(1)当A+B为关于x的三次三项式时，n=_______．(2)当多项式A与B的乘积中不含x4项时，m=________．(3)若A=x3−2x2+1写成A=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d（其中a，b，c，d均为常数），求a+b+c的值．(4)若B能被x−1整除，求m+n的值．【答案】(1)−1(2)2(3)a+b+c=1(4)m+n=−1【知识点】整式的加减运算、多项式的项、项数或次数、已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知式子的值，求代数式的值【分析】（1）由题意知，A+B=x3−2x2+1+x2+mx+n =x3−x2+mx+1+n，由A+B为关于x的三次三项式，m，n均为非零常数，可得1+n=0，计算求解即可；（2）由题意知，A×B=x3−2x2+1x2+mx+n =x5+m−2x4+n−2mx3+1−2nx2+mx+n，由多项式A与B的乘积中不含x4项，可得m−2=0，计算求解即可；（3）由A=x3−2x2+1，A=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d，可知当x=1时，d=13−2×12+1=0；当x=2时，a+b+c+d=23−2×22+1=1，则a+b+c=1−d=1；（4）由B能被x−1整除，令(x−1)(x+a)=x2+mx+n，则x2+(a−1)x−a=x2+mx+n，即m=a−1，n=−a，然后计算m+n即可．【详解】（1）解：由题意知，A+B=x3−2x2+1+x2+mx+n =x3−x2+mx+1+n，∵A+B为关于x的三次三项式，m，n均为非零常数，∴1+n=0，解得，n=−1，故答案为：−1；（2）解：由题意知，A×B=x3−2x2+1x2+mx+n=x5+mx4+nx3−2x4−2mx3−2nx2+x2+mx+n=x5+m−2x4+n−2mx3+1−2nx2+mx+n，∵多项式A与B的乘积中不含x4项，∴m−2=0，解得，m=2，故答案为：2；（3）解：∵A=x3−2x2+1，A=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d，∴当x=1时，d=13−2×12+1=0；当x=2时，a+b+c+d=23−2×22+1=1，∴a+b+c=1−d=1，∴a+b+c=1；（4）解：∵B能被x−1整除，令(x−1)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(a−1)x−a=x2+mx+n，∴m=a−1，n=−a，∴m+n=−1．【点睛】本题考查了整式的加法运算，多项式乘多项式，多项式的项，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．经典三：整式运算中的规律探究17．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18=　　，an=　　；（2）为了求1+3+32+33+…+32018的值，可令M=1+3+32+33+…+32018①，则3M=3+32+33+…+32019②，由②式﹣①式，得3M−M=32019−1，∴M=32019−12，即1+3+32+33+…+32018=32019−12．仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+551．【答案】（1）2，218，2n；（2）552−14【知识点】含乘方的有理数混合运算、同底数幂相乘、数字类规律探索【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解．（1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案；（2）仿照题干中的求法解答即可．【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；∵a1=2=21,a2=4=22,a3=8=23,a4=16=24,⋯，∴类推得到：an=2n，∴a18=218，故答案为：2，218，2n；（2）解：为了求1+5+52+53+…+551的值，可令M=1+5+52+53+…+551①，则5M=5+52+53+…+551+552②，由②式﹣①式，得5M−M=552−1，∴M=552−14，即1+5+52+53+…+551=552−14．18．日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如7×20−6×21=________，11×16−9×18=________，不难发现，结果都是________．2025年1月(1)完成上面的填空．(2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律．(3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】(1)14；14；14(2)见解析(3)见解析【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、整式乘法混合运算【分析】此题考查了整式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）根据所给算式进行计算即可；（2）选择两个类似的长方形框试一试即可；（3）表示出各个角上的数字，再根据“右上角×左下角-左上角×右下角=14”写出规律；利用多项式乘多项式法则，证明结论．【详解】（1）解：7×20−6×21=140−126=14，11×16−9×18=176−162=14不难发现，结果都是14，故答案为：14；14；14；（2）解：如图：14×27−13×28=378−364=14，18×23−16×25=414−400=14，结果都是14；符合规律；（3）解：①设左上角的数字为n，则右上角的数字为n+2，左下角的数字为n+7，右下角的数字为n+9．发现的规律是n+2n+7−nn+9=14．证明：n+2n+7−nn+9=n2+9n+14−n2−9n=14；②设左上角的数字为n，则右上角的数字为n+1，左下角的数字为n+14，右下角的数字为n+15．发现的规律是n+1n+14−nn+14=14．证明：n+1n+14−nn+15=n2+15n+14−n2−15n=14．19．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图是这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了a+bn（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应a+b2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．(1)根据上图的规律，写出a+b5的展开式．(2)求a+bn的展开式共有多少个项．(3)在演算纸上计算一下图中每个展开式的系数之和，结合计算结果所呈现的规律，直接写出a+bn−1展开式中各项系数的和是多少．【答案】(1)a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；(2)有n+1个项；(3)2n−1．【知识点】多项式乘法中的规律性问题【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究：（1）根据图中规律，写出a+b5的展开式即可；（2）根据前三个展开式中的项数，得出规律，进行作答即可；（3）求出前几个的系数和，找到规律，进行求解即可．【详解】（1）解：∵a+b1=a+b，a+b2=a2+2ab+b2，a+b3=a3+3a2b+3ab3+b3，∴a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）解：∵a+b1=a+b，有1+1=2项；a+b2=a2+2ab+b2，有2+1=3项；a+b3=a3+3a2b+3ab3+b3，有3+1=4项；⋯∴a+bn的展开式中有n+1个项；（3）∵a+b1=a+b，展开式的系数和为：1+1=2=21；a+b2=a2+2ab+b2，展开式的系数和为：1+2+1=4=22；a+b3=a3+3a2b+3ab3+b3，展开式的系数和为：1+3+3+1=8=23；⋯∴a+bn−1，展开式的系数和为：2n−1．20．观察下列各式：(x−1)(x+1)=x2−1；(x−1)(x2+x+1)=x3−1；(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1．（1）根据以上规律，则(x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ；（2）你能否由此归纳出一般规律(x−1)(xn+xn−1+…+x+1)= ；（3）根据以上规律计算：22021+22020+22019+......+22+21+1．（4）根据以上规律计算：32021+32020+32019+32018+…+32+31+1= ．【答案】（1）x7−1；（2）xn+1−1；（3）22022−1；（4）32022−12．【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题、运用平方差公式进行运算【分析】（1）仿照已知等式求出所求原式的值即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值；（4）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值；此题考查了平方差公式，数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键．【详解】（1）解：∵(x−1)(x+1)=x2−1；(x−1)(x2+x+1)=x3−1；(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；⋯；∴x−1x6+x5+x4+x3+x2+x+1=x7−1，故答案为：x7−1；（2）解：∵(x−1)(x+1)=x2−1；(x−1)(x2+x+1)=x3−1；(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；⋯∴x−1xn+x5+x4+x3+x2+x+1=xn+1−1，故答案为：xn+1−1；（3）解：22021+22020+22019+⋯+22+21+1=2−122021+22020+22019+⋯+22+21+1=22022−1；（4）解：3−132021+32020+32019+32018+…+32+31+12=32022−12故答案为：32022−12．21．观察下列各式：(x−1)÷(x−1)=1；(x2−1)÷(x−1)=x+1；(x3−1)÷(x−1)=x2+x+1；(x4−1)÷(x−1)=x3+x2+x+1；......(x8−1)÷(x−1)=x7+x6+x5+...+x+1；(1)根据上面各式的规律填空：①(x2016−1)÷(x−1)= ；②(xn−1)÷(x−1)＝ ；(2)利用②的结论求22016+22015+…+2+1的值；(3)若1+x+x2+…+x2015=0，求 x2016的值．【答案】(1)x2015+x2014+⋯+x+1；xn−1+xn−2+⋯+x+1(2)22017−1(3)1【知识点】多项式乘法中的规律性问题【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，有理数的混合运算的方法，要注意总结出规律，并能应用规律．（1）①根据上面各式的规律，可直接得到答案；②根据上面各式的规律，可直接得到答案；（2）根据（1）总结出的规律，可得：22017−1÷2−1=22016+22015+…+2+1，据此即可求出算式的值；（3）根据（1）总结出的规律，可得：x2016−1÷x−1=1+x+x2+…+x2015，又由已知1+x+x2+…+x2015=0，即可求解．【详解】（1）解：①由题意可得，(x2016−1)÷(x−1)=x2015+x2014+⋯+x+1；②由题意可得(xn−1)÷(x−1)=xn−1+xn−2+⋯+x+1；故答案为：x2015+x2014+⋯+x+1；xn−1+xn−2+⋯+x+1（2）解：∵(xn−1)÷(x−1)=xn−1+xn−2+⋯+x+1，∴22017−1÷2−1=22016+22015+…+2+1∴22016+22015+…+2+1=22017−1÷2−1=22017−1，（3）∵(xn−1)÷(x−1)=xn−1+xn−2+⋯+x+1，∴x2016−1÷x−1=1+x+x2+…+x2015，∵1+x+x2+…+x2015=0，∴x2016−1÷x−1=0，∴x2016−1=0，∴x2016=122．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了a+bn（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：a+b0=1，它只有一项，系数为1；a+b1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；a+b2=a2+2ab+b2，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……(1)写出a+b4的展开式__________并利用整式的乘法验证你的结果．(2)a+b6的展开式共有__________项，系数和为__________．(3)a+bn+1展开式共有__________项，系数和为__________．【答案】(1)a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；(2)7，64；(3)n+2，2n+1．【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题【分析】本题主要考查了数字规律探索，整式乘法运算；解题的关键是找出杨辉三角的排列规律．（1）根据完全平方公式进行计算即可得出结果；（2）根据杨辉三角的规律得出a+b6展开式的系数，然后求出其系数和即可；（3）根据规律得出a+bn+1中展开式中项数，令a=1，b=1，即可求出各项系数的和．【详解】（1）解：如图，根据杨辉三角可知，a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；用整式乘法验证：a+b4=a+b22=a2+2ab+b22=a2+2ab+b2a2+2ab+b2=a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；故答案为：a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（2）解：根据杨辉三角可知，a+b6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，故有7项，∴a+b6的展开式的系数分别为1，6，15，20，15，6，1，∴系数和为：1+6+15+20+15+6+1=64，故答案为：7，64；（3）解：a+b1=a+b，共有2项，系数分别为1，1，a+b2=a2+2ab+b2，共有3项，系数分别为1，2，1，a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，共有4项，系数分别为1，3，3，1，a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，共有5项，系数分别为1，4，6，4，1，…∴a+bn+1展开式中共有n+2项，令a+bn+1中a=1，b=1，则a+bn+1的展开式中的每一项正好是每一项的系数，∴a+bn+1的展开式中各项的系数和为1+1n+1=2n+1．故答案为：n+2；2n+1．23．设ab是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9，1≤b≤9），ab=10a+b．例如：17=10×1+7，252=(10×2+5)2．【探究】（1）计算：①38×32=1216；②53×57=3021；③71×79=5609；④84×86=__________．（2）（1）中这组计算蕴含着简算规律：十位数字___________，个位数字和为__________的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．将上述探究过程补充完整．【证明】（3）根据【探究】总结的简算规律，我们将十位数字设为a，个位数字分别为b、c．则ab⋅ac=__________．=100a2+10a(b+c)+bc，∵b+c=__________，∴原式=100a2+__________+bc=100a(a+1)+bc．将上述证明过程补充完整．【应用】（4）若a4⋅a6与100a的差为924，求a的值．【答案】（1）7224；（2）相同；10；（3）10a+b10a+c；10；100a；（4）a=3．【知识点】利用平方根解方程、计算多项式乘多项式、数字类规律探索【分析】本题考查的是新定义运算的含义，多项式乘以多项式的运算，平方根解方程，理解题意选择合适的方法解题是关键．（1）根据题意得到规律，按照规律计算即可求解；（2）根据（1）得到规律，从而可得答案；（3）由ab⋅ac=10a+b10a+c，再利用整式的乘法运算进行推导即可；（4）由规律得a4⋅a6=100aa+1+24，由题意得到100a2+100a+24−100a=924，利用平方根的性质解方程即可求解．【详解】（1）计算：①38×32=3×4×100+8×2=1216； ②53×57=5×6×100+3×7=3021；③71×79=7×8×100+1×9=5609；④84×86=8×9×100+4×6=7224；故答案为：7224；（2）规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，积的末两位数是个位数字的乘积，前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．故答案为：相同；10；（3）证明：ab⋅ac=10a+b10a+c=100a2+10ab+10ac+bc=100a2+10ab+c+bc，∵b+c=10，∴原式=100a2+100a+bc=100aa+1+bc；故答案为：10a+b10a+c；10；100a；（4）∵a4⋅a6=100aa+1+24=100a2+100a+24，∴100a2+100a+24−100a=924，整理得a2=9，∴a=±3，∵1≤a≤9，∴a=3．24．【问题提出】妹妹：“哥哥，我有一种快速算出75×75的方法，先用100×7×8，再加上25，得到结果是5625．”妹妹的话引发了哥哥的兴趣．他通过查阅资料，围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动．【活动1】阅读材料：用ab表示一个两位数，a代表十位上的数，b代表个位上的数，即ab=10a+b．观察思考：请观察下列运算规律15×15=100×1×2+5×5=225，25×25=100×2×3+5×5=625，35×35=100×3×4+5×5=1225，……（1）根据阅读材料，可知：a5=______；（2）观察运算规律，猜想：a5×a5=______+5×5；【推理证明】（3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想．【活动2】（4）如果b+c=10，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算ab×ac的方法，并证明你的结论．【答案】（1）10a+5（2）100aa+1（3）证明见解析（4）ab×ac=100aa+1+bc，证明见解析【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索【分析】本题考查数字类规律探究，完全平方公式：（1）根据两位数的表示方法进行求解即可；（2）利用规律作答即可；（3）利用完全平方公式进行证明即可；（4）类比题干，写出方法，利用多项式乘以多项式的法则，进行证明即可．【详解】解：（1）a5=10a+5；故答案为：10a+5；（2）a5×a5=100aa+1+5×5；故答案为：100aa+1；（3）a5×a5=10a+52=100a2+100a+25，100aa+1+5×5=100a2+100a+25，∴a5×a5=100aa+1+5×5；（4）ab×ac=100aa+1+bc；证明：∵b+c=10，∴ab×ac=10a+b10a+c=100a2+10ab+c+bc=100a2+100a+bc；∵100aa+1+bc=100a2+100a+bc，∴ab×ac=100aa+1+bc．经典四：运用乘法公式求值25．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y2（x，y均为自然数）”的问题．(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）4n=(            )2−(            )2；（ⅱ）23=(            )2−(            )2；(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n−2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2−y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．【答案】(1)（ⅰ）n+1，n−1；（ⅱ）12，11(2)4k2−m2+k−m【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式．（1）（ⅰ）推导出规律可知4n=4⋅n=n+12−n−12；（ⅱ）根据表中规律进行计算即可；（2）利用平方差公式因式分解即可得到答案．．【详解】（1）解：（i）∵4=4×1=1+12−1−12，8=4×2=2+12−2−12，12=4×3=3+12−3−12，16=4×4=4+12−4−12，20=4×5=5+12−5−12，∴4n=4⋅n=n+12−n−12，故答案为：n+1，n−1；（ⅱ）由表中推导的规律可知23=2×12−1=122−12−12=122−112，故答案为：12，11；（2）解：2k+12−2m+12=4k2+4k+1−4m2+4m+1=4k2+4k−4m2−4m=4k2−m2+k−m，故答案为：4k2−m2+k−m．26．综合与实践主题：制作“回形”正方形．素材：一张长方形纸板（长为4a，宽为b）．步骤1：如图1，将长方形纸板的长四等分，画出相同的小长方形，并按虚线剪开；步骤2：如图2，把剪好的四块小长方形纸板拼成一个“回形”大正方形纸板．（1）图2中小正方形（阴影部分）的边长为______；（用含a，b的式子表示）（2）根据图2，请直接写出a+b2，a−b2，ab之间的等量关系；（3）若a+b=5，ab=94，求a−b2的值．拓展与应用（4）若2−m2+m−32=3，求2−mm−3的值．【答案】（1）b−a；（2）a+b2=a−b2+4ab；（3）16；（4）−1．【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】此题考查完全平方公式与几何图形的面积．（1）根据图形即可得到答案；（2）大正方形的面积可以表示为a+b2，还可以表示为a−b2+4ab，据此即可得到答案；（3）把已知条件整体代入a−b2=a+b2−4ab即可得到答案；（4）把2−m+m−3=−1，2−m2+m−32=3，整体代入2−m+m−32=2−m2+m−32+22−mm−3即可得到答案．【详解】解：（1）由题意可得，图2中小正方形（阴影部分）的边长为b−a；故答案为：b−a（2）根据图2，大正方形的面积可以表示为a+b2，还可以表示为a−b2+4ab，∴a+b2=a−b2+4ab；（3）∵a+b=5，ab=94，∴a−b2=a+b2−4ab=52−4×94=16；（4）∵2−m+m−3=−1，2−m2+m−32=3，∴2−m+m−32=2−m2+m−32+22−mm−3，∴−12=3+22−mm−3，解得2−mm−3=−1．27．在练习第十四章时，有下面一幅图：(1)请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积．方法1：____________________（直接计算）；方法2：____________________（间接求差）；(2)由（1）可以确定代数式：a+b2，a2+b2，ab之间的等量关系为____________________；(3)①若a+b=4，a2+b2=10，求ab的值；②若x−20242+x−20262=9，分别直接写出x−20252和x−2024x−2026的结果．【答案】(1)a2+b2，a+b2−2ab(2)a2+b2=a+b2−2ab(3)①3；②72；52【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是用不同的代数式表示阴影部分的面积．（1）方法1；两个阴影部分的面积和就是边长为a的正方形，与边长为b的正方形的面积和，即a2+b2；方法2：从边长为a+b的正方形面积中减去两个长为a，宽为b的长方形面积即可；（2）由（1）可得(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）①利用（2）中的关系进行计算即可；②设a=x−2024，b=x−2026，则a−b=2，a2+b2=(x−2024)2+(x−2026)2=9，由（2）中的关系进行计算ab，即x−2024x−2026即可，再求解a+b2=a2+2ab+b2=14，结合x−20252=2x−40502=a+b22即可得x−20252的值．【详解】（1）解：方法1：两个阴影部分的面积和就是边长为a的正方形，与边长为b的正方形的面积和，即a2+b2；方法2：两个阴影部分的面积和也可以看作从边长为a+b的正方形面积中减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即(a+b)2−2ab；（2）解：由（1）得，a2+b2=(a+b)2−2ab；（3）解：①∵a+b=4，∴(a+b)2=16=a2+2ab+b2，∵a2+b2=10，∴2ab=6，即ab=3；②∵x−20242+x−20262=9，设a=x−2024，b=x−2026，则a−b=2，∴a2+b2=9，∴ab=a2+b2−(a−b)22=9−222=52，即x−2024x−2026=52，∴a+b2=a2+2ab+b2=9+5=14，∴x−20252=2x−40502=a+b22=144=72．28．阅读材料：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：2+i+3−4i=2+3+1−4i=5−3i；3+ii=3i+i2=3i−1．②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1−2i．(1)填空：①3+i3−i=______；②3+i2=______；(2)若a+bi是1+3i2的共轭复数，求b−a2的值；(3)已知a+ib+i=1−3i，求a2+b2i2+i3+i4+…+i2020的值．【答案】(1)①10；②8+6i(2)4(3)−5i【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式，读懂定义及其运算法则是解题的关键．（1）①按照定义及平方差公式计算即可；②按照定义及完全平方公式计算即可；（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出a2+b2的值；由于i2+i3+i4+i5=−1−i+1+i=0，4个一组，剩下三项，单独计算这三项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案．【详解】（1）解：（1）①3+i3−i=9−i2=9+1=10；②3+i2=9+6i+i2=9+6i−1=8+6i；故答案为：①10；②8+6i；（2）解：∵1+3i2=1+6i+9i2=1+6i−9=−8+6i，又a+bi是1+3i2的共轭复数，∴a=−8，b=−6，∴b−a2=−6+82=4；（3）解：∵a+ib+i=1−3i，∴ab+a+bi−1=1−3i，即ab−1+a+bi=1−3i，∴ab−1=1，a+b=−3，∴ab=2，a+b=−3，∴a2+b2=a+b2−2ab=9−2×2=5，∵2023÷4=505...3，∴i2+i3+i4+…+i2024=−1−i+1+i×505−1−i+1=−i，∴a2+b2i2+i3+i4+…+i2020=5−i=−5i．29．将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：a+b=2，ab=1，求a2+b2的值．解：∵ a+b=2，∴(a+b)2=4，即a2+2ab+b2=4又ab=1，∴a2+2×1+b2=4，得a2+b2=2．根据上面得接题思路与方法，解决下列问题：(1)若a−b=5，a2+b2=21，则ab=______．(2)为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地ABCD、AEFG，(AB>AG)两个正方形面积和为218m2，两个正方形边长和为20m，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积．【答案】(1)−2(2)39m2【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式和变形式，是解题的关键：（1）利用完全平方公式变形式进行计算即可；（2）设两个正方形的边长分别为：a,ba>b，根据题意得到a2+b2=218,a+b=20，进而求出a,b的长，再利用面积公式求出阴影部分的面积即可．【详解】（1）解：∵a−b=5，a2+b2=21∴a−b2=a2+b2−2ab=21−2ab=25，∴ab=−2；故答案为：−2；（2）设两个正方形的边长分别为：a,ba>b，由题意，得：a2+b2=218,a+b=20，∴2ab=a+b2−a2+b2=182，∴a−b2=a2+b2−2ab=36，∴a−b=6，∴a=b+6，∴b+6+b=20，∴b=7，∴a=13，∴放花卉场地的面积为12aa−b=12×13×6=39m2．30．分别计算下列各式的值：(1)填空：(x−1)(x+1)= _______；(x−1)x2+x+1=_______；(x−1)x3+x2+x+1=_______；…由此可得：(x−1)x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1=_______．(2)求1+2+22+23+⋯+27+28+29的值；(3)根据以上结论，计算1+3+32+33+⋯+397+398+399．【答案】(1)x2−1，x3−1，x4−1，x10−1；(2)1023(3)3100−12【知识点】多项式乘法中的规律性问题、运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用问题，平方差公式的应用，找到规律是解题关键．（1）用多项式乘以多项式的计算方法计算前三项，总结出规律即可；（2）根据（1）中得出的规律计算即可；（3）根据（1）中得出的规律计算即可．【详解】（1）解：x−1x+1=x2−1，x−1x2+x+1=x3+x2+x−x2−x−1=x3−1，x−1x3+x2+x+1=x4+x3+x2+x−x3−x2−x−1=x4−1，由此可得：x−1x9+x8+x7+⋅⋅⋅+x2+x+1=x10−1，故答案为：x2−1，x3−1，x4−1，x10−1；（2）解：1+2+22+23+⋅⋅⋅+27+28+29=2−129+28+27+…+23+22+2+1=210−1=1023；（3）解：原式=12×3−1×1+3+32+33+⋯+397+398+399=12×3100−1=3100−12．31．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“102×98”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务．张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同．任务：(1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：ab+c=_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________．(2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算：①29×31；②20232−2022×2024．【答案】(1)ab+ac，a+ba−b=a2−b2(2)①899；②1【知识点】有理数乘法运算律、运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律（乘法分配律），平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式是解题的关键．（1）根据有理数乘法运算律（乘法分配律）、平方差公式即可直接得出答案；（2）利用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：ab+c=ab+ac，小军进行简便计算的原理为乘法公式：a+ba−b=a2−b2，故答案为：ab+ac，a+ba−b=a2−b2；（2）解：①29×31=30−1×30+1=302−12=900−1=899；②20232−2022×2024=20232−2023−1×2023+1=20232−20232−12=20232−20232+1=1．32．先阅读下列材料，再解答问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2=(x+a)2−(2a)2=x+3ax−a．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．(1)利用“配方法”分解因式：a2−6a+8．(2)若a+b=5,ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．(3)已知x是实数，若M=x2−4x+5，请你利用配方法求出M的最小值．【答案】(1)a−2a−4(2)13；97(3)1【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、运用平方差公式进行运算、因式分解的应用【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤是解题的关键．（1）仿照阅读例子，加减一个适当的数计算即可；（2）利用完全平方公式计算即可；（2）利用配方法，结合实数的非负性，计算即可．【详解】（1）解：a2−6a+8，=a2−6a+9−9+8，=a−32−1，=a−3−1a−3+1，=a−4a−2；（2）解：a2+b2=a2+2ab+b2−2ab=a+b2−2ab，∵a+b=5，ab=6∴原式=52−2×6=13；a4+b4=a4+2a2b2+b4−2a2b2=a2+b22−2a2b2∵a2+b2=13,ab=6∴原式=132−2×62=169−72=97；（3）解：∵M=x2−4x+5，=x2−4x+4+1，=x−22+1≥1∴当x=2时，M有最小值1．经典五：乘法公式的几何背景33．阅读与思考已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值．解：∵a+b=5，∴(a+b)2=52=25，即a2+2ab+b2=25．∵ab=3，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=25−6=19．方法迁移参考上述过程，解答下列问题：（1）若x+y=10，x2+y2=51：①xy=______；②求x−y的值．拓展应用（2）如图，已知长方形ABCD的周长为40，面积为3194．以AD,DC AD>DC为边，分别向下，向左作正方形AEFD和正方形DCHG，点G，H，E，F分别在AD，BC，AB，DC所在的直线上．求图中阴影部分的面积．【答案】（1）①492  ②±2  （2）180【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键．（1）①参考题意，利用完全平方公式求解即可；②利用完全平方公式变形求解即可；（2）设正方形AEFD的边长为x，正方形DCHG的边长为y， 则AB=GH=y,BC=EF=x ，且x>y，根据长方形ABCD的周长为40，面积为3194，得出x+y=20，xy=3194，再利用完全平方公式变形，得到x−y=9，根据图中阴影部分的面积=x2−y2=x+yx−y，即可得到阴影部分的面积和．【详解】解：（1）① ∵x+y=10，∴(x+y)2=102=100，∴x2+2xy+y2=100，∵x2+y2=51，∴xy=12(x+y)2−x2+y2=12×(100−51)=492，故答案为：492；②∵(x−y)2=(x+y)2−4xy=100−4×492=2，∴x−y=±2．（2）解：设正方形AEFD的边长为x，正方形DCHG的边长为y， 则GH=CH=CD=GD=y,AE=EF=x ，且x>y，则AB=GH=y,BC=EF=x ，∵长方形ABCD的周长为40，面积为3194，∴2x+y=40，即x+y=20，xy=3194，∴x−y2=x+y2−4xy=202−4×3194=81，∴x−y=9，则图中阴影部分的面积=x2−y2=x+yx−y=20×9=180．34．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是 ．(2)利用你从（1）中得出的等式，计算：①已知4x2−y2=12，2x+y=4，求2x−y的值．②计算：1−122×1−132×1−142×⋯×1−120242【答案】(1)a2−b2=a+ba−b(2)①3；②20254048【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键．（1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得a2−b2=(a+b)(a−b)．（2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可．【详解】（1）解：∵图1阴影部分的面积为：a2−b2，图2阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，∴上述操作能验证的等式是a2−b2=a+ba−b．故答案为：a2−b2=a+ba−b；（2）解：①∵4x2−y2=2x+y2x−y=12，2x+y=4，∴2x−y=3；②1−122×1−132×1−142×⋯×1−120242=1−12×1+12×1−13×1+13×1−14×1+14×⋯×1−120241+12024=12×32×23×43×34×⋯×20232024×20252024=12×20252024=20254048．35．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形：(1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ；(2)【应用】利用（1）中的结论计算：20242−2026×2022；(3)【拓展】利用（1）中的结论计算：2+122+124+128+1⋯232+1．【答案】(1)a2−b2=a+ba−b(2)4(3)264−1【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．（1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可；（2）把原式化为20242−2024+22024−2，再利用平方差公式计算即可；（3）把原式化为2−12+122+124+128+1⋯232+1，再依次利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，也可以拼成底为a+b，高为a−b的平行四边形，因此面积为a+ba−b，所以有a2−b2=a+ba−b，故答案为：a2−b2=a+ba−b；（2）原式=20242−2024+22024−2=20242−20242−4=20242−20242+4=4．（3）原式=2−12+122+124+128+1⋯232+1=22−122+124+128+1⋯232+1=24−124+128+1⋯232+1=28−128+1⋯232+1=216−1216+1232+1=232−1232+1=264−1．36．（1）如图1，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后剩余部分刚好拼成一个长方形（图2），上述操作所能验证的公式是_______．（2）已知,a2−2ab+b2=20，ab=6，求a+b的值；（3）如图3，长方形ABCD由三个正方形，两个长方形组成（两个正方形X，和两个长方形Z分别全等）．若正方形X的边长为5，长方形Z的面积为12，求长方形ABCD的面积．【答案】（1）a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）±211（3）87【知识点】平方差公式与几何图形、通过对完全平方公式变形求值、多项式乘多项式与图形面积【分析】（1）根据面积法可得a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）根据已知条件求出a+b2的值，进而可得a+b的值；（3）由“长方形Z的面积为12”可得 ab=12，再根据正方形Y的边长可以表示为a−5，也可以表示为5−b，可得a−5=5−b，进而可得a+b=10．最后根据S长方形ABCD=(5+a)(5+b)，展开之后，将ab=12，a+b=10整体代入求值即可．本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，掌握数形结合法，利用面积相等或边长相等得出a2−b2=(a+b)(a−b)和a+b=10是解题的关键．【详解】解：（1）图1中S阴影=a2−b2，图2中S阴影=(a+b)(a−b)，∴上述操作所能验证的公式是a2−b2=(a+b)(a−b)，故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)．（2）∵a2−2ab+b2=20，ab=6，∴a2+b2=20+2ab=32，∵a+b2=a2+2ab+b2，∴a+b2=32+12=44，∴a+b=±44=±211．（3）∵长方形Z的面积为12，∴ab=12，∵正方形Y的边长=a−5=5−b，∴a+b=10，∴S长方形ABCD=(5+a)(5+b)=25+5(a+b)+ab=25+5×10+12=87．37．有这样一道题：若x满足(9−x)(x−4)=2，求(9−x)2+(x−4)2的值．请根据上述解法解决下列问题：(1)若x满足(30−x)(x−20)=−10，求(30−x)2+(x−20)2的值；(2)若x满足(2025−x)2+(x−2023)2=2024，求(2025−x)(x−2023)的值；(3)拓展延伸：如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=3，分别以DE、DG为一边作正方形MEDQ和正方形NGDH，四边形EFGD和四边形PQDH都是长方形，且长方形EFGD的面积是10，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)120(2)−1010(3)44【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】（1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答；（2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答；（3）根据题意可得四边形MFNP是正方形，然后设DE=a，DG=b，则a=x−1，b=x−3，从而可得a−b=2，ab=10，最后根据完全平方公式计算即可求解；本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，理解题意是解题的关键．【详解】（1）解：设30−x=a，x−20=b，则a+b=10，ab=−10，∴(30−x)2+(x−20)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=102−2×(−10)=120；（2）解：设2025−x=m，x−2023=n，则m+n=2，m2+n2=2024，(2025−x)(x−2023)=mn=12(m+n)2−m2+n2=1222−2024=−1010；（3）解：设DE=a，DG=b，∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=3，∴DE=a=AD−AE=x−1，DG=b=DC−CG=x−3，∴a−b=2，∵长方形EFGD的面积为10，∴DE⋅DG=10，即ab=10，∴S正方形MFNP=FN2=(DE+DH)2=(DE+DG)2=(a+b)2=(a−b)2+4ab=22+4×10=44，∴图中阴影部分的面积为44．38．【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：(1)写出图1中所表示的数学等式______．(2)如图2所示，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______．(3)【知识应用】若x+y=7，xy=134，求x2−y2的值；(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则两正方形A、B的面积之和的平方＝______．【答案】(1)a+b2=a2+2ab+b2(2)a+b2−a−b2=4ab(3)±42(4)169【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；（1）根据面积法可进行求解；（2）由图可知阴影部分也可以看作边长为a+b的正方形，与边长为a−b的正方形的面积差，进而根据面积法可进行求解；（3）根据完全平方公式可进行求解；（4）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，所以图甲中的阴影部分的面积为a−b2，图乙中阴影部分的面积为a+b2−a2−b2=2ab=11，然后问题可求解．【详解】（1）解：由图可知：中大正方形的边长为a+b，因此面积为a+b2，图中4个部分的面积和为a2+2ab+b2，因此有a+b2=a2+2ab+b2，故答案为：a+b2=a2+2ab+b2；（2）解：图中阴影部分是4个长为a，宽为b的长方形组成，因此阴影部分的面积为4ab，阴影部分也可以看作边长为a+b的正方形，与边长为a−b的正方形的面积差，即a+b2−a−b2，因此有a+b2−a−b2=4ab，故答案为：a+b2−a−b2=4ab；（3）解：∵x+y=7，∴x+y2=49，∴x−y2=x+y2−4xy=49−13=36∴x−y=±6；∴x2−y2=x+yx−y=±42（4）解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，所以图甲中的阴影部分的面积为a−b2，即a−b2=2，图乙中阴影部分的面积为a+b2−a2−b2=2ab=11，所以正方形A、B的面积之和的平方为a2+b22=a−b2+2ab2=169，故答案为：169．39．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）中阴影部分面积可表示为a2−b2，图（2）中阴影部分面积可表示为a+ba−b，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2−b2=a+ba−b．【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个关于a2+b2、a+b2、ab的等量关系式是_____．【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若a+b=8，ab=4，则a2+b2=_____．【拓展迁移】（3）若x满足9−xx−4=2，求9−x2+x−42的值．【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E,AE= DE，BE=CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，AC=11，求种草区域的面积和．【答案】（1）a2+b2=a+b2−2ab；（2）56；（3）9−x2+x−42=21；（4）种草区域的面积和为25.5【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案；（2）利用（1）的结论，整体代入计算即可；（3）根据题意得9−x+x−4=5,9−xx−4=2，再根据（1）把9−x2+x−42变形，代入计算即可；（4）设AE=DE=p,BE=CE=q,由题意得到p+q=11，p2+q2=25，根据pq=p+q2−p2+q22代入计算即可．【详解】解：（1）图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即a2+b2，由于大正方形的边长为a+b，因此面积为a+b2，两个空白矩形的面积和为2ab，因此阴影部分的面积为a+b2−2ab,所以有a2+b2=a+b2−2ab,故答案为：a2+b2=a+b2−2ab,；（2）∵a+b=8，ab=4，∴a2+b2=a+b2−2ab=82−2×4=56；（3） ∵9−x+x−4=5，9−xx−4=2，9−x2+x−42=9−x+x−42−29−xx−4=52−2×2=21，（4）∵AC⊥BD，设AE=DE=p，BE=CE=q，∴S△ADE=12P2，S△CDE=12pq，S△ABE=12pq，S△BCE=12q2，∵种花区域的面积和为35，即12p2+12q2=35∴p2+q2=70，∵p+q=AE+CE=AC=11，∴种草区域的面积和为S△CDE+S△ABE=12pq+12pq=pq=p+q2−p2+q22=121−702=25.540．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．如图1是一个边长为a+b的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b，阴影部分的面积所揭示的乘法公式是a+b2=a2+2ab+b2．(1)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式a+b2，a−b2，ab之间的等量关系．(2)如图3，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，若AB=9，两正方形的面积和为41，求△AFC的面积．(3)若2024−m2025−m=6，则2024−m2+2025−m2= ．（直接写出结果）【答案】(1)a+b2=a−b2+4ab(2)10(3)13【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、运用完全平方公式进行运算【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键；（1）根据图形的阴影部分面积可进行求解；（2）设AC=a，BC=CF=b，根据题意得到a+b=9，a2+b2=41，然后利用完全平方公式求得ab=20即可求解；（3）设a=2025−m，b=2024−m，则a−b=1，ab=6，利用完全平方公式求得a2+b2=13即可．【详解】（1）解：由题意，图2中阴影部分是边长为a−b的正方形，其面积为a−b2，或者a+b2−4ab，∴a−b2=a+b2−4ab，∴这三个代数式a+b2，a−b2，ab之间的等量关系为a+b2=a−b2+4ab；（2）解：设AC=a，BC=CF=b，∵AB=9，两正方形的面积和为41，∴a+b=9，a2+b2=41，由a+b2=a2+b2+2ab得92=41+2ab，解得ab=20，∴S△AFC=12ab=12×20=10；（3）解：设a=2025−m，b=2024−m，则a−b=1，由2024−m2025−m=6得ab=6，由a−b2=a2+b2−2ab得12=a2+b2−2×6，∴a2+b2=13，即2024−m2+2025−m2=13，故答案为：13．小豫的作业计算：89×(−0.125)9；解：89×(−0.125)9=(−8×0.125)9=(−1)9=−1．N奇数4的倍数表示结果1=12−02 3=22−125=32−227=42−329=52−42…4=22−02 8=32−1212=42−2216=52−3220=62−42…一般结论2n−1=n2−n−124n=………假设4n−2=x2−y2，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中k，m均为自然数，则x2−y2=(2k)2−(2m)2=4k2−m2为4的倍数．而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均为自然数，则x2−y2=(2k+1)2−(2m+1)2=_______为4的倍数．而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．而4n−2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．小明：102×98=100+2×98=100×98+2×98=9800+196=9996；小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下：102×98=100+2×100−2=1002−22=10000−4=9996．解：设9−x=a，x−4=b，则ab=9−xx−4=2，a+b=9−x+x−4=5，所以(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×2=21．