专题02 整式乘除【知识串讲+十四大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）(原卷版+解析版）

这是一份专题02 整式乘除【知识串讲+十四大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）(原卷版+解析版），文件包含专题02整式乘除知识串讲+十四大考点原卷版docx、专题02整式乘除知识串讲+十四大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
专题02 整式乘除 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）整式乘法（1）单项式×单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘法易错点：（2）单项式×多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】①单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。②单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）③不要出现漏乘现象，运算要有顺序。（3）多项式×多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。（二）整式除法（1）单项式÷单项式一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.（2）多项式÷单项式一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【解题思路】多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决）。模块三考点一遍过考点1：单项式×单项式典例1：下列运算正确的是（   ）A．(−2ac)⋅(−3ab)3=−54a4b3cB．5x2y2⋅3x32=15x12y2C．(−0.1ab)⋅−10b23=−ab7D．2×10n×12×10n=102n下列计算正确的是（   ）【变式1】A．a3⋅(−a)5⋅a12=a20B．2.5a2⋅4a3=10a5C．(2x)3⋅−5x2y=−10x5yD．−13m2n⋅−3mn23=m3n3【变式2】  若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm= ．【变式3】计算：13xy2⋅−6x2= ．考点2：单项式×单项式的实际应用典例2：一个长方形的宽是1.5×102cm，长是宽的6倍，则这个长方形的面积（用科学记数法表示）是（   ）A．13.5×104cm2B．1.35×105cm2C．1.35×104cm2D．1.35×103cm2【变式1】如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（    ）  A．38a3B．48a3C．48a2D．38a2【变式2】  在某住房小区建设中，为了提高业主的居住环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图所示），则该广场的面积是 ．【变式3】如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为xm；下面是长方形，宽为xm，长是宽的2倍．这个拱形门的面积可表示为 m2．（结果保留π）    考点3：单项式×多项式典例3：下列计算正确的是（   ）A．−2x3x2y−2xy=−6x3y−4x2yB．2mn2m2−2n2+1=2m3n2−4mn4C．−xyz3x2y−2xy2=−3x3y2+2x2y3D．(ab)22ab2−c=2a3b4−a2b2c【变式1】定义：表示3abc，xwyz表示xz+wy，则×4n52m的结果为（　　）A．72m2n−45mn2B．72m2n+45mn2C．24m2n−15mn2D．24m2n+15mn2【变式2】  计算：（1）2mn5mn2−4m2n= ；（2）3x3y2−6x2y⋅13xy2= ．【变式3】一块长方形铁皮，长为5a2+4b2m，宽为6a4m，在它的四个角上都剪去一个边长为32a3m的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．这个无盖盒子的内表面积为 m2．考点4：单项式×多项式的实际应用典例4：如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为2x+5、x、2x，则这个木制的长方体的体积为（    ）A．4x3+10x2B．4x3+10xC．4x2+10xD．4x2+10x3【变式1】神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ）A．a2+3abB．2b2+abC．3b2+2abD．b2+3ab【变式2】  如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ．【变式3】如图，四边形ABCD和ECGF都是正方形，且它们的边长分别为a，b，则阴影部分的面积S为 ．（结果要求化简）考点5：多项式×多项式典例5：计算：(1)2x+5y5x−2y(2)−2x2⋅3x2y2−3x2y2【变式1】计算：(1)2m2n−22⋅3m−2n3(2)a−2a+1−a+2a−3【变式2】  计算：(1)m+8m−4；(2)2a+1−a−2；(3)x+3x−4−xx+2；(4)x+yx2−xy+y2.【变式3】计算：x−52x−1−2x2−6x+3．考点6：（x+p）（x+q）的运算典例6：若x−2x+3=x2+ax+b，则a、b的值分别为（   ）A．a=5，b=6B．a=1，b=−6C．a=1，b=6D．a=5，b=−6【变式1】若x−3和x+5是x2+px+q的因式，则p为（   ）A．−15B．−2C．8D．2【变式2】  如果x2+kx−10=x−5x+2，则k的值为 ．【变式3】若x+y=9且xy=−36，则(x+1)⋅(y+1)= ．考点7：多项式×多项式的实际应用典例7：如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（   ）A．纸盒的容积等于xa−2xb−2xB．纸盒的表面积为ab−4x2C．纸盒的底面积为ab−2a+bx−4x2D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足a=b=3x【变式1】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a2+3ab+2b2=a+2ba+b．若已知a2+b2+c2=69，ab+bc+ac=50，由图2所表示的数学等式，则a+b+c的值为（    ）A．1B．12C．13D．14【变式2】  为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长acm、宽34acm的长方形，又精心在四周加上了宽2cm的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是 cm2．【变式3】10月1日，太原五一广场举行庄严的升国旗仪式．如图是一块长为4a+2bm，宽为3a−bm的长方形地块，在其中心是一个边长为a+bm的正方形升旗台，则图中阴影部分的面积为 m2．（用含a，b的代数式表示）考点8：单项式÷单项式典例8：下列计算结果正确的是（   ）A．a2n÷an=a2B．a2n÷a2=a2n−2C．xy5÷xy3=xy2D．x6÷x2⋅x3=x【变式1】下列计算中错误的是（   ）A．4a5b3c2÷−2a2bc2=ab B．−24a2b3÷−3a2b⋅2a=16ab2C．4x2y⋅−12y÷4x2y2=−12D．a10÷a4÷a8÷a5÷12a6=2a3【变式2】  计算−2a3b4÷3a2b⋅ab3= ．【变式3】计算：−2x3⋅−4x2y÷12x4y= ．考点9：多项式÷单项式典例9：计算：(1)−6a4+24a3b−8a2÷−4a2；(2)4x3y−xy3+32xy÷−12xy．【变式1】如图，一个柱体工件的体积为8a3+12a2．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长x．（用含a的式子表示）【变式2】  计算：(1)2x2y3⋅−7xy2÷−14x4y3(2)−4a2bc+3ab2c−12abc÷−12abc【变式3】计算．(1)7x2y3−8x3y2z÷8x2y2；(2)x2y−12xy2−2xy÷12xy．考点10：整式乘除应用——求字母、代数式典例10：已知xx+3=1， 则代数式2x2+6x−5的值为（   ）A．3B．−3C．−4D．8【变式1】已知a2−5=2a，则代数式a−2a+3−3a−1的值是（    ）A．2B．−2C．8D．−8【变式2】  已知5m=a，5n=b，则52m+3n= ．（请用含有a，b的代数式表示）【变式3】已知x2−x−2=0，则代数式−x3+2x2+x+2017的值为 ．考点11：整式乘除的应用——新定义典例11：阅读材料．对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax=N（a>0，a≠1），那么x叫做a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式23=8可以转化为对数式3=log28，对数式4=log381可以转化为指数式34=81．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为logaM⋅N=logaM+logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0）．理由如下：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，∴M⋅N=am⋅an=am+n，由对数的定义，得m+n=logaM⋅N，又∵m+n=logaM+logaN，∴logaM⋅N=logaM+logaN．请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题．(1)将指数式53=125转化为对数式为 ．(2)计算：log232= ．(3)求证：logaMN=logaM−logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0）．(4)直接写出log32+log36−log34的值．【变式1】探究应用：用“∪”、“∩”定义两种新运算：对于两数a、b，规定a∪b=10a×10b，a∩b=10a÷10b，例如：3∪2=103×102=105，3∩2=103÷102=10．(1)求：217∪183的值(2)求：1026∩1024的值；(3)当x为何值时，x∪6的值与123∩114的值相等．【变式2】  如果10b=n．那么称b为n的劳格数，记为b=dn，由定义可知，10b=n和b=dn所表示的b、n两个量之间具有同一关系．(1)根据定义，填空：d10=______．(2)劳格数有如下性质：dmn=dm+dn，dmn=dm−dn，根据运算性质。回答问题：①da2da=______．（a为正数）②若d2=0.3010．求d4、d5的值。【变式3】我们知道22=4，若22=4，则n=2；同样的道理，若 5n=25，则 n=2．这样我们定义一种新的运算，如果an=b，则n=a※b．(1)根据上述定义计算：6※36= ，3= ※ ；(2)若a=3※5，b=3※6，c=3※30，试求a，b，c之间的等量关系；(3)若m=3※2或m=4※2.4，则m还可以表示为 ．考点12：整式乘除的应用——几何图形典例12：杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示．完成下列任务：(1)写出a+b5的展开式．(2)计算：85+5×84×−7+10×83×−72+10×82×−73+5×8×−74+−75．【变式1】阅读下列材料，完成相应任务．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示．完成下列任务：(1)写出a+b5的展开式．(2)计算：85+5×84×(−7)+10×83×(−7)2+10×82×(−7)3+5×8×(−7)4+(−7)5．【变式2】  对于一个几何拼接图形，通过不同的方法计算它的面积，可以解释一些数学等式．如图1，先单个计算阅览室（正方形）、卫生间P（正方形）和图书室（长方形）的面积，然后整体计算面积，可以得到数学等式：a2+2ab+b2=(a+b)2．  (1)观察图2，填空(a+b)(a+2b)=__________；(2)因式分解：a2+ab−2b2，图3表示面积为a2+ab−2b2的几何拼接图，请你补充完整（涂上阴影）；(3)学校准备利用现有教学楼墙重建图书馆，重建资金额定（即墙厚度和总长度为定值）．图4是图书馆地面一层的平面设计图，由1个长方形阅览室和2个正方形图书室组成，各开了一个1米宽的门相通．若计算面积时不考虑墙体厚度，用总长67米的墙重建长方形ABCD图书馆的地面一层．问重建后，图书馆地面一层最大面积是多少平方米？【变式3】阅读材料；杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，西方人帕斯卡发现时，已比宋代杨辉要迟393年．如图，根据你观察的杨辉三角的排列规律，完成下列问题．(1)判断a+b5的展开式共有______项；写出a+b6的第三项的系数是______；(2)计算与猜想：①计算：25−5×24+10×23−10×22+5×2−1②猜想：2x−16的展开式中含x3项的系数是______．(3)运用：若今天是星期五，过7天仍是星期五，那么再过86天是星期______．考点13：整式乘除的应用——化简求值典例13：先化简，再求值：(1)(x−1)2−xx−3+x+2x−2，其中x2+x−5=0；(2)2a+b2−b−2a2a+b，其中a=−2,b=1．【变式1】先化简，再求值：(1)3x+2y3x−2y−3x−2y2+x2−4x2y÷x，其中x=−12,y=−1；(2)(2a−b)2−b(b−4a)+a÷−12a，其中a=−18,b=4．【变式2】  计算：(1)x4⋅x5+(−2x3)3(2)2x+5y3x−2y(3)先化简，再求值：x+2y2−x+2yx−2y÷4y，其中x=1，y=−1．【变式3】先化简后求值：(1)3a+b2−b+3a3a−b−6b2÷2b，其中a=−13，b=−2(2)x−12+x+2x−2−2x−3x−1，其中x=13考点14：整式乘除的应用——不含某项典例14：若x2+px+8x2−3x+q的积中不含x2项和x3项．求：(1)p、q的值；(2)代数式2pq22−2p3÷−3pq2的值．【变式1】小明做一道数学题“已知两个多项式A、B．A=⋯，B=x2+3x−2，计算3A+B”，小明误把“3A+B”看成“A+3B”，求得的结果为5x2−2x+3．(1)请求出3A+B的正确结果；(2)若多项式C=mx2−nx+1且A−C的结果不含x2项和x项，求m、n的值．【变式2】  若x2+3mx−13x2−3x+n的积中不含x和x3项．(1)求m2−mn+n2的值；(2)求代数式−18m2n2+9mn2+3m2019n2021的值．【变式3】若x2+px−13x2−3x+q的积中不含x项与x3项，(1)求p、q的值；(2)求代数式−2p2q2+3pq3+p2012q2014的值．a+b1=a+b a+b2=a2+2ab+b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…11112113311464115101051⋅⋅⋅(a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…