专题03 平行线的性质【知识串讲+八大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）(原卷版+解析版）

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专题03 平行线的性质 模块一考点类型模块二知识点一遍过（一）平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.。几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）模块三考点一遍过考点1：平行线的性质——同位角相等典例1：如图，已知AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点F、E，则与∠1互补的角共有（    ）  A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1】如图，AB∥CD，射线AF交CD于点E，若∠1=105°，则∠2的度数是（    ）A．65°B．75°C．85°D．95°【变式2】  如图，直线a∥b，一块三角尺的直角顶点C在直线b上，若∠1=55°，则∠2的度数为 ．【变式3】如图，将含有30°角的三角尺的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1=50°，则∠2= 度．考点2：平行线的性质——内错角相等典例2：如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（　　）A．30°B．35°C．40°D．45°【变式1】如图，已知AB∥CD∥EF，则下列各式等于180°的是（       ）A．∠1+∠2+∠3B．∠1+∠2−∠3C．∠1−∠2+∠3D．∠2+∠3−∠1【变式2】  如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为 ．【变式3】一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知∠1=105°，则∠2的度数是 ．      考点3：平行线的性质——同旁内角互补典例3：如图，AB∥CD，AC∥DE，∠D=30°，则∠A的度数为（　　）A．120°B．130°C．140°D．150°【变式1】光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a,b两面，且a∥b，现有一束光线CD从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD延长线上一点，已知∠1=135°，∠2=23°，则∠3的度数为（   ）  A．20°B．22°C．25°D．32°【变式2】  某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=72°，∠BAC=45°，当∠MAC为 °时，AM与CB平行．【变式3】如图，若AB∥DE，则∠1= .考点4：平行线性质应用——求角典例4：如图，△ABC中，延长BC至点D，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD=110°，∠AGF=20°，求∠BAC的度数．【变式1】如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E．(1)请说明∠EBD=∠EDB．(2)如果BD⊥AC,∠ADE=70°，求∠ABC的度数．【变式2】  如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3=180°(1)试说明∠1=∠ABD；(2)若∠1=70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．【变式3】如图，已知∠BAD=∠BDA,AD平分∠BDC．(1)求证：AB∥CD；(2)若AD⊥AC,∠C=70°，求∠B的度数．考点5：平行线性质运用——角的关系典例5：【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．（1）如图①，AB∥CD，M是AB,CD之间的一点，连接BM,DM，若∠M=100°，求∠B+∠D的度数；【灵活运用】（2）如图②，AB∥CD,M,N是AB,CD之间的两点，当∠B−∠C=13∠BMN时，请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图③，AB∥CD,E,F,G均是AB，CD之间的点，如果∠E+∠F=2∠G=70°，直接写出∠B+∠D的度数．【变式1】已知直线l1∥l2，直线l3与直线l1、l2分别相交于C、D两点．(1)如图a，有一动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，∠1、∠2、∠3又怎样的数量关系？试说明理由．(2)如图b，当动点P线段CD之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．【变式2】  如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D，点P在MN上(P点与A、B、M三点不重合）．(1)如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由；(2)如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只需写出结论）．【变式3】【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数．解：过点M作MN∥AB∵AB∥CD∴MN∥CD∴∠EMN＝∠AEM＝45°∠FMN＝∠CFM＝25°∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝45°+25°＝70°从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB．（1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系．【应用拓展】问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数．考点6：平行线性质运用——折叠问题典例6：如图，在长方形纸带ABCD中， AD∥BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，将长方形ABCD沿EF折叠，C，D两点的对应点分别为G，H，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为（   ）A．100°B．105°C．115°D．120°【变式1】一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则下列结论不正确的有（　　）    A．∠DEF=35°B．∠EGB=70°C．∠AEG=110°D．∠EFC′=140°【变式2】  如图，△ABC中，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，∠ADC=110°，则∠B的度数为 °【变式3】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG=56°，则∠AEG= ．考点7：：平行线性质运用——实际生活典例7：物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气中射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，∠1=70°，∠2=42°，求∠DBC的度数．【变式1】如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与CD交于点N，当∠EOF=90°，∠ODC=30°时，人躺着最舒服，求此时∠AOE和∠ANM的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由．解：因为扶手AB与底座CD都平行于地面，即AB∥CD，因为∠ODC=30°（已知）．所以∠BOD=∠ODC=30°（     ）．因为∠AOE+∠EOF+______=180°（平角的定义），又因为∠EOF=90°（已知），所以∠AOE=______°（等式的基本性质）．因为DM∥OE（已知），所以∠AND=∠AOE=______°（     ）．所以∠ANM=180°−∠AND=______°（平角的定义）．【变式2】  阅读材料，解决问题：【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且i=r，这就是光的反射定律．（1）在图1中，证明∠1=∠2；【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，EF是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有∠1=∠2，∠4=∠5．（2）请问∠3和∠6有什么关系？并说明理由；（3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜AB，CD的位置，并给出建议（合理即可）．【变式3】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC=120°，∠NBE=60°．(1)已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；(2)已知驱逐舰到达点C后沿C−D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E−F继续航行，且MN∥EF，∠ACD=140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α0°