2.3.1平行线的性质 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：2.3.1 平行线的性质副标题：北师大版七年级下册 第二章 相交线与平行线授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：复习回顾回顾平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行。例如直线\(a\)、\(b\)被截线\(l\)所截，若\(\angle 1 = \angle 2\)（同位角），则\(a∥b\)。内错角相等，两直线平行。如直线\(a\)、\(b\)被截线\(l\)所截，若\(\angle 3 = \angle 5\)（内错角），则\(a∥b\)。同旁内角互补，两直线平行。像直线\(a\)、\(b\)被截线\(l\)所截，若\(\angle 4 + \angle 5 = 180°\)（同旁内角），则\(a∥b\)。提出问题：我们已经知道通过角的关系能判定直线平行，那么如果两直线平行，所形成的同位角、内错角、同旁内角又有怎样的关系呢？由此引出本节课主题。幻灯片 3：探究平行线的性质 1（同位角）实验操作：画两条平行线\(a∥b\)，再画一条截线\(l\)与它们相交，标注形成的 8 个角（\(\angle 1\)至\(\angle 8\)）。用量角器测量这 8 个角的度数，将结果填入表格（表格如下）：| 角 | 度数 | 角 | 度数 ||----|----|----|----||\(\angle 1\)| |\(\angle 5\)| ||\(\angle 2\)| |\(\angle 6\)| ||\(\angle 3\)| |\(\angle 7\)| ||\(\angle 4\)| |\(\angle 8\)| |观察测量数据，发现同位角（如\(\angle 1\)与\(\angle 5\)，\(\angle 2\)与\(\angle 6\)等）的度数相等。性质 1 推导：已知\(a∥b\)，假设\(\angle 1\neq\angle 5\)。过点\(P\)（\(\angle 1\)顶点）作直线\(a'\)，使\(\angle 1' = \angle 5\)（根据同位角相等，两直线平行），则\(a'∥b\)。但\(a\)也平行于\(b\)，这与 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 矛盾。所以假设不成立，即\(\angle 1 = \angle 5\)。性质 1：两直线平行，同位角相等。符号表示：如图，若\(a∥b\)，则\(\angle 1 = \angle 5\)（\(\angle 1\)与\(\angle 5\)是同位角）。幻灯片 4：探究平行线的性质 2（内错角）推导过程：已知\(a∥b\)，\(\angle 3\)与\(\angle 1\)是对顶角，所以\(\angle 3 = \angle 1\)（对顶角相等）。又因为\(a∥b\)，根据 “两直线平行，同位角相等”，\(\angle 1 = \angle 5\)。由等量代换可得\(\angle 3 = \angle 5\)。性质 2：两直线平行，内错角相等。符号表示：如图，若\(a∥b\)，则\(\angle 3 = \angle 5\)（\(\angle 3\)与\(\angle 5\)是内错角）。幻灯片 5：探究平行线的性质 3（同旁内角）推导过程：已知\(a∥b\)，\(\angle 4\)与\(\angle 1\)是邻补角，所以\(\angle 4 + \angle 1 = 180°\)（邻补角定义）。又因为\(a∥b\)，根据 “两直线平行，同位角相等”，\(\angle 1 = \angle 5\)。把\(\angle 1 = \angle 5\)代入\(\angle 4 + \angle 1 = 180°\)，可得\(\angle 4 + \angle 5 = 180°\)。性质 3：两直线平行，同旁内角互补。符号表示：如图，若\(a∥b\)，则\(\angle 4 + \angle 5 = 180°\)（\(\angle 4\)与\(\angle 5\)是同旁内角）。幻灯片 6：例题讲解 1（利用平行线性质求角的度数）例 1：如图，已知直线\(AB∥CD\)，\(\angle 1 = 50°\)，求\(\angle 2\)的度数。分析：先判断\(\angle 1\)与\(\angle 2\)的关系，再利用平行线性质求解。解：观察图形，\(\angle 1\)与\(\angle 2\)是同位角。因为\(AB∥CD\)，根据 “两直线平行，同位角相等”，所以\(\angle 2 = \angle 1 = 50°\)。例 2：如图，直线\(a∥b\)，\(\angle 3 = 120°\)，求\(\angle 4\)的度数。分析：确定\(\angle 3\)与\(\angle 4\)的角的类型，运用对应性质。解：\(\angle 3\)与\(\angle 4\)是内错角。已知\(a∥b\)，根据 “两直线平行，内错角相等”，可得\(\angle 4 = \angle 3 = 120°\)。幻灯片 7：例题讲解 2（平行线性质与判定的综合运用）例 3：如图，已知\(\angle 1 = \angle 2\)，\(AB∥CD\)，求证：\(\angle 3 = \angle 4\)。分析：利用已知条件，先通过平行线性质和判定进行角的关系推导。证明：因为\(AB∥CD\)，所以\(\angle 1 = \angle 3\)（两直线平行，同位角相等）。又因为\(\angle 1 = \angle 2\)，所以\(\angle 2 = \angle 3\)（等量代换）。而\(\angle 2\)与\(\angle 4\)是对顶角，所以\(\angle 2 = \angle 4\)（对顶角相等）。再由等量代换可得\(\angle 3 = \angle 4\)。例 4：如图，\(AD∥BC\)，\(\angle A = 110°\)，\(\angle C = 70°\)，判断\(AB\)与\(DC\)是否平行，并说明理由。分析：通过已知平行线，利用性质得到其他角的关系，进而判断\(AB\)与\(DC\)的位置关系。解：因为\(AD∥BC\)，所以\(\angle A + \angle B = 180°\)（两直线平行，同旁内角互补）。已知\(\angle A = 110°\)，则\(\angle B = 180° - 110° = 70°\)。又因为\(\angle C = 70°\)，所以\(\angle B = \angle C\)。根据 “内错角相等，两直线平行”，可得\(AB∥DC\)。幻灯片 8：易错点分析易错点 1：混淆平行线的性质与判定。例如已知两直线平行，却用判定方法求角的关系（如已知\(a∥b\)，用 “同位角相等，两直线平行” 来求角，而不是用 “两直线平行，同位角相等”）。易错点 2：在复杂图形中，不能准确找出平行线所对应的同位角、内错角、同旁内角。如在多个平行线和截线组成的图形中，找错角与线的对应关系。易错点 3：忽略前提条件。比如没有确认两直线平行，就直接运用平行线的性质求角（如没有\(a∥b\)这个条件，就得出\(\angle 1 = \angle 2\)（同位角相等）的错误结论）。幻灯片 9：课堂练习 1（平行线性质基础应用）如图，直线\(m∥n\)，\(\angle 1 = 70°\)，则\(\angle 2 = \)，理由是。如图，\(AB∥CD\)，\(\angle B = 50°\)，\(\angle D = 40°\)，求\(\angle BED\)的度数（提示：过点\(E\)作\(EF∥AB\)）。幻灯片 10：课堂练习 1 答案因为\(m∥n\)，\(\angle 1\)与\(\angle 2\)是同位角，根据 “两直线平行，同位角相等”，所以\(\angle 2 = 70°\)。答案依次为 “\(70°\)”、“两直线平行，同位角相等”。过点\(E\)作\(EF∥AB\)。因为\(AB∥CD\)，\(EF∥AB\)，所以\(EF∥CD\)（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。因为\(EF∥AB\)，\(\angle B = 50°\)，所以\(\angle BEF = \angle B = 50°\)（两直线平行，内错角相等）。因为\(EF∥CD\)，\(\angle D = 40°\)，所以\(\angle DEF = \angle D = 40°\)（两直线平行，内错角相等）。则\(\angle BED = \angle BEF + \angle DEF = 50° + 40° = 90°\)。幻灯片 11：课堂练习 2（平行线性质与判定综合练习）如图，已知\(\angle 1 = \angle 2\)，\(\angle 3 = 80°\)，求\(\angle 4\)的度数。如图，\(AB∥CD\)，\(\angle 1 = \angle 2\)，求证：\(BE∥CF\)。幻灯片 12：课堂练习 2 答案因为\(\angle 1 = \angle 2\)，所以\(a∥b\)（同位角相等，两直线平行）。又因为\(a∥b\)，\(\angle 3\)与\(\angle 4\)是同旁内角，且\(\angle 3 = 80°\)，根据 “两直线平行，同旁内角互补”，所以\(\angle 4 = 180° - 80° = 100°\)。证明：因为\(AB∥CD\)，所以\(\angle ABC = \angle BCD\)（两直线平行，内错角相等）。又因为\(\angle 1 = \angle 2\)，所以\(\angle ABC - \angle 1 = \angle BCD - \angle 2\)，即\(\angle EBC = \angle FCB\)。根据 “内错角相等，两直线平行”，可得\(BE∥CF\)。幻灯片 13：课堂小结总结平行线的性质：两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。强调平行线性质与判定的区别：性质是由直线平行得出角的关系，判定是由角的关系推出直线平行。提醒学生在解决几何问题时，要准确分析图形中角与线的关系，正确运用性质和判定，注意避免常见易错点。幻灯片 14：课后作业课本 [具体页码] 练习题第 1、2、3 题。如图，已知\(DE∥BC\)，\(\angle ADE = 50°\)，\(\angle C = 55°\)，求\(\angle B\)和\(\angle A\)的度数。新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 问题 借助截线判定两条直线平行的方法有哪些？思考 反过来，如果已知两条平行线被第三条直线所截，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么等量关系呢?活动1：画两条平行线 a，b，然后画一条截线 c 与 a、b 相交，标出如图所示的角. 任选一组同位角度量，把结果填入下表，由此猜想两条平行线被第三条直线所截的同位角有什么关系：两直线平行,同位角相等活动 2：将画出的同位角，选取任一组剪下后，进行叠合，并观察.猜想：根据以上活动得出的数据与操作得出的结果可猜想： .追问：在刚刚的图上，再画出一条截线 d，重复操作，看你的猜想结论是否仍然成立?两直线平行，同位角相等←点击几何画板查看想一想例1 如图，a∥b，∠1 = 60°，则∠2 的度数为 ( )A.90° B.100° C.110° D.120°分析： a∥b∠1 = ∠3∠2 = 120°∠2+∠3 = 180°D典例精析两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补问题 1：如图，如果 a∥b，直线 c 与 a，b 相交，那么∠4 与∠5，∠3 与∠5在数量上有什么关系?说一说，猜一猜.分析： 两直线平行得同位角相等，进行角的转化，即可证明. a∥b ∠1 = ∠4(对顶角相等)∠1 = ∠5∠4 = ∠5能否利用两条直线平行来证明内错角、同旁内角之间的数量关系呢？ 如图，如果 a∥b ，能得出∠4 = ∠5 吗？ 合作探究如图，如果 a∥b ，能得出 ∠3 +∠5 = 180° 吗？解：如果 a∥b，那么 ∠1 = ∠5.因为∠1+∠3 = 180°(平角的定义)，所以∠3+∠5 = 180°.知识要点 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称为：两直线平行，内错角相等.简称为：两直线平行，同旁内角互补. 做一做 如图，一束平行光线 AB 与 DE 射向一个水平镜面后被反射，此时∠1 =∠2，∠3 =∠4.(1)∠1 与∠3 的大小有什么关系? ∠2 与∠4 呢?解： 由 AB∥DE，可以得到 ∠1 =∠3，由∠1=∠2，∠3 =∠4，可以得到 ∠2 =∠4.(两直线平行，同位角相等)由∠2 =∠4，可以得到 BC∥EF.(同位角相等，两直线平行)(2)反射光线 BC 与 EF 也平行吗?做一做例2 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，当∠1 = 45°，∠2 = 122° 时，求∠3 和∠4 的度数.解：由题意得，AE∥BF，∴∠1 = ∠3 = 45°.因为 AB∥CD，∴∠2 +∠5 = 180°，即∠5 = 58°. 又因为 AC∥BD，∴∠5 = ∠4 = 58°.典例精析例3 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截. (1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？ (2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？ (3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？解：(1) ∠2 = 110°. 两直线平行，内错角相等.（2）∠3 = 110°. 两直线平行，同位角相等.（3）∠4 = 70°. 两直线平行，同旁内角互补.典例精析图形已知结果依据同位角内错角23））abca∥b两直线平行，同位角相等a∥b两直线平行，内错角相等同旁内角互补a∥b两直线平行， 平行线的性质∠1 =∠2∠3 =∠2∠2 +∠4 = 180°同旁内角（第1题） B  返回（第2题） B  返回（第3题） B  返回（第4题） B  返回5. 教材P53习题T6 补充完成下面的推理过程.  两直线平行，内错角相等    两直线平行，同位角相等 等量代换 返回（第6题） B   返回（第7题） B   返回（第8题） A （第9题）  （第10题）  必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！