2.2.2利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：2.2.2 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行副标题：北师大版七年级下册 第二章 相交线与平行线授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：复习回顾回顾平行线的相关知识：平行线定义：同一平面内不相交的两条直线，记为\(a∥b\)。同位角判定定理：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行（简称 “同位角相等，两直线平行”）。举例：如图，直线\(a\)、\(b\)被截线\(l\)所截，若\(\angle 1 = \angle 2\)（同位角），则\(a∥b\)。提出问题：除了同位角，两条直线被第三条直线所截形成的其他角（如内错角、同旁内角），是否也能作为判定直线平行的依据？由此引出本节课主题。幻灯片 3：内错角与同旁内角的定义三线八角模型回顾：画出直线\(l\)（截线）与直线\(a\)、\(b\)（被截线）相交，标注 8 个角（\(\angle 1\)至\(\angle 8\)），其中\(\angle 1\)与\(\angle 5\)、\(\angle 2\)与\(\angle 6\)等是同位角。内错角定义：位置特征：在截线的两侧，且在被截两直线之间的角，叫做内错角。图形识别：标注\(\angle 3\)（截线\(l\)下方，被截线\(a\)右侧，两直线之间）和\(\angle 5\)（截线\(l\)上方，被截线\(b\)左侧，两直线之间），它们在截线两侧、被截线之间，是内错角；同理，\(\angle 4\)与\(\angle 6\)也是内错角。结构特征：内错角的边构成 “Z” 形（用虚线连接角的边，呈现 “Z” 结构，辅助直观识别）。同旁内角定义：位置特征：在截线的同侧，且在被截两直线之间的角，叫做同旁内角。图形识别：标注\(\angle 4\)（截线\(l\)下方，被截线\(a\)右侧，两直线之间）和\(\angle 5\)（截线\(l\)下方，被截线\(b\)左侧，两直线之间），它们在截线同侧、被截线之间，是同旁内角；同理，\(\angle 3\)与\(\angle 6\)也是同旁内角。结构特征：同旁内角的边构成 “U” 形（用虚线连接角的边，呈现 “U” 结构，辅助直观识别）。练习：在三线八角图形中，让学生分别找出内错角和同旁内角，巩固定义理解。幻灯片 4：利用内错角判定两直线平行推导过程：如图，直线\(a\)、\(b\)被截线\(l\)所截，\(\angle 3\)与\(\angle 5\)是内错角，且\(\angle 3 = \angle 5\)。因为\(\angle 3\)与\(\angle 1\)是对顶角，所以\(\angle 3 = \angle 1\)（对顶角相等）。又因为\(\angle 3 = \angle 5\)，所以\(\angle 1 = \angle 5\)（等量代换）。而\(\angle 1\)与\(\angle 5\)是同位角，根据 “同位角相等，两直线平行”，可得\(a∥b\)。判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。符号表示：如图，若\(\angle 3 = \angle 5\)（\(\angle 3\)与\(\angle 5\)是内错角），则\(a∥b\)。实例验证：画一组内错角均为\(70°\)的三线八角图形，观察被截线是否平行，验证定理的正确性。幻灯片 5：利用同旁内角判定两直线平行推导过程：如图，直线\(a\)、\(b\)被截线\(l\)所截，\(\angle 4\)与\(\angle 5\)是同旁内角，且\(\angle 4 + \angle 5 = 180°\)。因为\(\angle 4\)与\(\angle 1\)是邻补角，所以\(\angle 4 + \angle 1 = 180°\)（邻补角定义）。又因为\(\angle 4 + \angle 5 = 180°\)，所以\(\angle 1 = \angle 5\)（同角的补角相等）。而\(\angle 1\)与\(\angle 5\)是同位角，根据 “同位角相等，两直线平行”，可得\(a∥b\)。判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。符号表示：如图，若\(\angle 4 + \angle 5 = 180°\)（\(\angle 4\)与\(\angle 5\)是同旁内角），则\(a∥b\)。实例验证：画一组同旁内角分别为\(110°\)和\(70°\)（和为\(180°\)）的三线八角图形，观察被截线是否平行，验证定理的正确性。幻灯片 6：例题讲解 1（内错角判定平行）例 1：如图，直线\(AB\)、\(CD\)被直线\(EF\)所截，交点分别为\(G\)、\(H\)，已知\(\angle AGH = \angle DHE = 75°\)，判断\(AB\)与\(CD\)是否平行，并说明理由。分析：先判断\(\angle AGH\)与\(\angle DHE\)的角的类型，再结合定理判定。解：观察图形，\(\angle AGH\)（截线\(EF\)上方，被截线\(AB\)右侧，两直线之间）与\(\angle DHE\)（截线\(EF\)下方，被截线\(CD\)左侧，两直线之间）是内错角。已知\(\angle AGH = \angle DHE = 75°\)，即内错角相等。根据 “内错角相等，两直线平行”，可得\(AB∥CD\)。例 2：如图，在三角形\(ABC\)中，\(\angle A = \angle ACD\)，判断\(AB\)与\(CD\)是否平行，并说明理由。分析：确定截线和被截线，识别内错角。解：截线为直线\(AC\)，被截线为直线\(AB\)和\(CD\)。\(\angle A\)（截线\(AC\)上方，被截线\(AB\)右侧，两直线之间）与\(\angle ACD\)（截线\(AC\)下方，被截线\(CD\)左侧，两直线之间）是内错角。已知\(\angle A = \angle ACD\)，根据 “内错角相等，两直线平行”，可得\(AB∥CD\)。幻灯片 7：例题讲解 2（同旁内角判定平行）例 3：如图，直线\(AD\)、\(BC\)被直线\(AB\)所截，\(\angle DAB + \angle ABC = 180°\)，判断\(AD\)与\(BC\)是否平行，并说明理由。分析：判断角的类型为同旁内角，利用 “同旁内角互补，两直线平行” 判定。解：截线为直线\(AB\)，被截线为直线\(AD\)和\(BC\)。\(\angle DAB\)（截线\(AB\)上方，被截线\(AD\)右侧，两直线之间）与\(\angle ABC\)（截线\(AB\)上方，被截线\(BC\)左侧，两直线之间）是同旁内角。已知\(\angle DAB + \angle ABC = 180°\)，即同旁内角互补。根据 “同旁内角互补，两直线平行”，可得\(AD∥BC\)。例 4：如图，\(\angle 1 = 120°\)，\(\angle 2 = 60°\)，判断\(a\)与\(b\)是否平行，并说明理由。分析：先找到\(a\)、\(b\)被截形成的同旁内角，再计算和是否为\(180°\)。解：观察图形，\(\angle 1\)的对顶角\(\angle 3 = \angle 1 = 120°\)（对顶角相等），\(\angle 3\)与\(\angle 2\)是\(a\)、\(b\)被截线所截形成的同旁内角。已知\(\angle 2 = 60°\)，则\(\angle 3 + \angle 2 = 120° + 60° = 180°\)，即同旁内角互补。根据 “同旁内角互补，两直线平行”，可得\(a∥b\)。幻灯片 8：例题讲解 3（多种角综合判定）例 5：如图，直线\(l_1\)、\(l_2\)被直线\(l_3\)所截，已知\(\angle 1 = \angle 2\)，\(\angle 2 + \angle 3 = 180°\)，分别用两种方法判断\(l_1\)与\(l_2\)是否平行，并说明理由。方法一（内错角）：因为\(\angle 1 = \angle 2\)，且\(\angle 1\)与\(\angle 4\)是对顶角（\(\angle 1 = \angle 4\)），所以\(\angle 2 = \angle 4\)（等量代换）。\(\angle 2\)与\(\angle 4\)是内错角，根据 “内错角相等，两直线平行”，可得\(l_1∥l_2\)。方法二（同旁内角）：因为\(\angle 2 + \angle 3 = 180°\)，且\(\angle 3\)与\(\angle 5\)是邻补角（\(\angle 3 + \angle 5 = 180°\)），所以\(\angle 2 = \angle 5\)（同角的补角相等）。又因为\(\angle 1 = \angle 2\)，所以\(\angle 1 + \angle 5 = 180°\)（等量代换），\(\angle 1\)与\(\angle 5\)是同旁内角。根据 “同旁内角互补，两直线平行”，可得\(l_1∥l_2\)。结论：多种角的关系可相互转化，最终都能判定直线平行，需根据已知条件灵活选择判定方法。幻灯片 9：易错点分析易错点 1：角的类型判断错误，例如将内错角误认为同旁内角（如\(\angle 3\)与\(\angle 5\)是内错角，却错误当作同旁内角，用 “互补” 判定平行）。易错点 2：忽略 “被截线” 和 “截线” 的对应关系，例如在复杂图形中，误将不是由两条目标直线被第三条直线所截形成的角，当作判定依据（如用\(\angle A\)与\(\angle B\)判定\(CD\)与\(EF\)平行，而两角并非\(CD\)、\(EF\)被截形成）。易错点 3：同旁内角判定时，误将 “相等” 作为条件，例如认为 “同旁内角相等，两直线平行”（正确应为 “互补”，即和为\(180°\)）。易错点 4：复杂图形中漏找对顶角或邻补角，导致无法转化角的关系，例如例 4 中未发现\(\angle 1\)的对顶角与\(\angle 2\)是同旁内角，无法完成判定。幻灯片 10：课堂练习 1（内错角判定）如图，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，\(\angle 1 = 65°\)，当\(\angle 2 = \)时，\(a∥b\)，理由是（提示：\(\angle 2\)与\(\angle 1\)是内错角）。如图，\(\angle B = \angle C\)，\(\angle B + \angle D = 180°\)，判断\(AB\)与\(CD\)、\(AD\)与\(BC\)是否平行，并说明理由（先判断\(AB\)与\(CD\)）。幻灯片 11：课堂练习 1 答案\(\angle 1\)与\(\angle 2\)是内错角，根据 “内错角相等，两直线平行”，当\(\angle 2 = 65°\)时，\(a∥b\)。答案依次为 “\(65°\)”、“内错角相等，两直线平行”。判断\(AB\)与\(CD\)：\(\angle B\)与\(\angle C\)是\(AB\)、\(CD\)被\(BC\)所截形成的内错角，且\(\angle B = \angle C\)，根据 “内错角相等，两直线平行”，可得\(AB∥CD\)。判断\(AD\)与\(BC\)：因为\(AB∥CD\)，所以\(\angle A + \angle D = 180°\)（后续会学平行线性质），又因为\(\angle B + \angle D = 180°\)，所以\(\angle A = \angle B\)（同角的补角相等），\(\angle A\)与\(\angle B\)是\(AD\)、\(BC\)被\(AB\)所截形成的同旁内角，互补（或通过内错角），可得\(AD∥BC\)（或直接用已知条件推导，此处可简化为：\(\angle B + \angle D = 180°\)，\(\angle B = \angle C\)，所以\(\angle C + \angle D = 180°\)，\(\angle C\)与\(\angle D\)是同旁内角，互补，故\(AD∥BC\)）。幻灯片 12：课堂练习 2（同旁内角判定与综合）如图，\(\angle 1 = 100°\)，\(\angle 2 = 80°\)，判断\(m\)与\(n\)是否平行，并说明理由。如图，\(BE\)平分\(\angle ABC\)，\(\angle 1 = \angle 2\)，\(\angle 3 + \angle BCD = 180°\)，求证：\(AB∥CD\)，\(BE∥CF\)。幻灯片 13：课堂练习 2 答案\(\angle 1\)的邻补角\(\angle 3 = 180° - 100° = 80°\)，\(\angle 3\)与\(\angle 2\)是\(m\)、\(n\)被截线所截形成的同旁内角，且\(\angle 3 + \angle 2 = 80° + 80° = 160°\)（此处可调整题目数据，如\(\angle 2 = 80°\)，\(\angle 1 = 100°\)，则\(\angle 1\)与\(\angle 2\)的对顶角是同旁内角，和为\(180°\)，正确应为：\(\angle 1\)与\(\angle 2\)的对顶角\(\angle 4\)是同旁内角，\(\angle 4 = \angle 2 = 80°\)，\(\angle 1 + \angle 4 = 180°\)，故\(m∥n\)）。修正后解：\(\angle 2\)的对顶角\(\angle 4 = \angle 2 = 80°\)，\(\angle 1\)与\(\angle 4\)是同旁内角，且\(\angle 1 + \angle 4 = 100° + 80° = 180°\)，根据 “同旁内角互补，两直线平行”，可得\(m∥n\)。证明\(AB∥CD\)：因为\(\angle 3 + \angle BCD = 180°\)，\(\angle 3\)与\(\angle BCD\)是\(AB\)、\(CD\)被\(BC\)所截形成的同旁内角，根据 “同旁内角互补，两直线平行”，可得\(AB∥CD\)。证明\(BE∥CF\)：因为\(BE\)平分\(\angle ABC\)，所以\(\angle 1 = \angle ABE\)（角平分线定义），又因为\(\angle 1 = \angle 2\)，所以\(\angle ABE = \angle 2\)（等量代换），$\angle A新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 内错角、同旁内角的概念 小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗?合作探究画一画：按下图画出直线 AB、CD 被 EF 所截.活动 1：观察图中的∠4 和∠5，它们有怎样的位置关系?内错角：如图，像∠4 和∠5，两个角都在直线 AB、CD 之间，并且分别在直线 l 两侧. 具有这种位置关系的一对角叫作内错角.知识要点追问：(1)你能找出图中还有哪几对角构成内错角?(2)两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对内错角?解：(1)∠2 和∠7； (2)2对.活动 2：如图，我们称∠2 和∠5为同旁内角，你能根据两个角的特征，描述一下同旁内角的定义吗?同旁内角：如图，像∠2 和 ∠5，两个角都在直线AB、CD 之间，并且都在直线 l 的同一旁. 具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角.讨论：(1) 你能找出图中还有哪几对角构成同旁内角?(2) 两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同旁内角?解：(1)∠4 和∠7；(2) 2 对.② 在直线 l 的两侧① 在直线 AB、CD 之间内错角ACBDl2314要点归纳②在直线 l 的同一旁（右侧）①在直线 AB、CD 之间同旁内角ACBDl2314自己动手画一画几组内错角和同旁内角.图形特征：在形如字母“ Z ”的图形中有内错角.图形特征：在形如字母“ U ”的图形中有同旁内角.　动手实践 例1 如图，直线 DE 截 AB，AC，构成 8 个角，指出其中所有的同位角，内错角，同旁内角. 解：同位角有：∠1 与∠8，∠2 与∠5，∠3 与∠6，∠4 与∠7；内错角有：∠1 与∠6，∠4 与∠5；同旁内角有：∠1 与∠5，∠4 与∠6.典例精析同位角内错角同旁内角依据上节课学过的内容，我们知道，如果∠1=∠2，那么 a∥b.问题 1：能否利用内错角来判断两直线平行呢? 如果∠2 =∠3，那么 a 与 b 平行吗?解：因为 1 =3（对顶角相等）， 3 =2（已知）， 所以 1 =2. 所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）.问题 2：如果两条直线被第三条直线所截，那么能否利用同旁内角来判定两条直线平行呢? 如图，如果∠2+∠4 = 180°，那么 a 与 b 平行吗? 试着说一说理由.解：能. 理由如下：因为 2 +4 = 180° (已知)， 1 +4= 180° (邻补角的性质)，所以 2 =1 (同角的补角相等).所以 a∥b (同位角相等，两直线平行).问题 3：通过刚才的学习，你发现了什么?判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.知识要点(1) 由∠CBE =∠A 可以判定哪两条直线平行?依据是什么?(2) 添加一个条件使 AE∥CD. (3) 由∠D +∠A = 180°可以判定哪两条直线平行?依据是什么?例2 如图，BE 是 AB 的延长线.典例精析AE∥CD. 依据是同旁内角互补，两直线平行.∠CBE =∠C (答案不唯一).AD∥BC，依据是同位角相等，两直线平行. 判定两条直线平行的方法∠1 =∠2∠3 =∠2∠2 +∠4 = 180°同位角内错角同旁内角 如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由. 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢?与同伴进行交流.截线通过观察截线与被截线所形成的同位角、内错角和同旁内角的关系来判断两条直线是否平行.思考·交流 如图，某公园现有两条直道 AB 和 CD 交于点 O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路 CD 上的点 P，再修建一条直道 MN，并且使 MN 与 AB 平行.你能在图中画出直道 MN 吗?(1)过点 P 的直线有多少条?(2)满足什么条件的直线才能与 AB 平行?O无数条∠DPN = ∠DOB（答案不唯一）MN尝试·思考 如图，已知点 P 在直线 AB 外，用尺规作直线 MN，使 MN 经过点 P，且 MN//AB. 画一画，并且尝试总结画法！点击视频观看→1. 如图所示，下列说法中正确的有( )C（第1题） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 D（第2题）  返回（第3题） C  返回 B（第4题）A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组（第4题）   返回    （第5题） 返回（第6题）   返回   返回   返回 C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【点拨】①利用同旁内角互补判定两直线平行，正确；②利用内错角相等判定两直线平行.因为  返回 DA. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④【点拨】由同位角相等，两直线平行可知①③正确；由内错角相等，两直线平行可知②④正确. 返回 BA. 只有纸带①的边线平行B. 只有纸带②的边线平行C. 纸带①，②的边线都平行D. 纸带①，②的边线都不平行    返回 5必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！