11.2.1一元一次不等式的解法（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学1590995488011.2.1 一元一次不等式的解法学习目标理解一元一次不等式的定义，能识别一元一次不等式。掌握解一元一次不等式的步骤，能熟练运用不等式的性质求解一元一次不等式。学会在数轴上准确表示一元一次不等式的解集，体会数形结合思想。能对比一元一次方程的解法，明确两者的联系与区别，提升解题规范性。情境引入实际问题某商店准备购进 A、B 两种商品，已知购进 A 商品 3 件和 B 商品 2 件，共需 120 元；购进 A 商品 5 件和 B 商品 4 件，共需 220 元。若该商店准备用不超过 1000 元购进这两种商品共 50 件，问最多能购进 A 商品多少件？要解决这个问题，我们需要列出不等式并求解。像这样只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式，就是我们今天要学习的一元一次不等式。如何求解这类不等式呢？复习回顾解一元一次方程的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。解一元一次不等式的步骤是否类似？在系数化为 1 时需要注意什么？一元一次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，未知数的系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。特征分析：只含一个未知数（如 x、y 等）。未知数的次数是 1（无平方、立方等高次项）。不等式两边都是整式。未知数的系数不为 0。示例：是一元一次不等式：3x + 5＞7，2y - 1≤4，\(\frac{x}{3}\) + 2＜1。不是一元一次不等式：x² + 3＞5（未知数次数为 2），x + y＜3（含两个未知数），\(\frac{1}{x}\) + 2＞5（不是整式）。解一元一次不等式的步骤解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但在系数化为 1 时需注意不等号方向是否改变。具体步骤如下：步骤 1：去分母根据不等式的性质 2 或 3，在不等式两边同时乘各分母的最小公倍数，去掉分母。注意：若分母的最小公倍数是负数，需改变不等号方向；若分子是多项式，去分母后需加括号。步骤 2：去括号利用乘法分配律去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号。步骤 3：移项把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项时要变号（依据不等式性质 1）。步骤 4：合并同类项将不等式两边的同类项合并，化为 ax＞b 或 ax＜b（a≠0）的形式。步骤 5：系数化为 1根据不等式的性质 2 或 3，在不等式两边同时除以未知数的系数 a：若 a＞0，不等号方向不变，得 x＞\(\frac{b}{a}\)或 x＜\(\frac{b}{a}\)。若 a＜0，不等号方向改变，得 x＜\(\frac{b}{a}\)或 x＞\(\frac{b}{a}\)。步骤 6：在数轴上表示解集根据解集的类型，在数轴上用空心圆圈或实心圆点表示边界点，再按方向画线。典型例题解析例题 1解不等式：3 (x - 1)＜2x + 5，并在数轴上表示解集。解答步骤：去括号：3x - 3＜2x + 5（乘法分配律）。移项：3x - 2x＜5 + 3（含 x 的项移左，常数项移右，移项变号）。合并同类项：x＜8。系数化为 1：x＜8（系数为 1＞0，不等号方向不变）。数轴表示：在 8 处画空心圆圈，向左画线。例题 2解不等式：\(\frac{2x - 1}{3}\)≥\(\frac{x + 1}{2}\) - 1，并在数轴上表示解集。解答步骤：去分母：两边乘 6（最小公倍数）得 2 (2x - 1)≥3 (x + 1) - 6（性质 2，不等号方向不变）。去括号：4x - 2≥3x + 3 - 6。移项：4x - 3x≥3 - 6 + 2。合并同类项：x≥-1。系数化为 1：x≥-1（系数为 1＞0，不等号方向不变）。数轴表示：在 - 1 处画实心圆点，向右画线。例题 3解不等式：\(\frac{5x + 1}{6}\) - 2＞\(\frac{x - 5}{4}\)，并在数轴上表示解集。解答步骤：去分母：两边乘 12 得 2 (5x + 1) - 24＞3 (x - 5)（性质 2，不等号方向不变）。去括号：10x + 2 - 24＞3x - 15。移项：10x - 3x＞-15 - 2 + 24。合并同类项：7x＞7。系数化为 1：x＞1（系数 7＞0，不等号方向不变）。数轴表示：在 1 处画空心圆圈，向右画线。例题 4解不等式：\(\frac{3 - x}{2}\)＞\(\frac{x + 6}{3}\)，并在数轴上表示解集。解答步骤：去分母：两边乘 6 得 3 (3 - x)＞2 (x + 6)（性质 2，不等号方向不变）。去括号：9 - 3x＞2x + 12。移项：-3x - 2x＞12 - 9。合并同类项：-5x＞3。系数化为 1：x＜-\(\frac{3}{5}\)（系数 - 5＜0，不等号方向改变）。数轴表示：在 -\(\frac{3}{5}\)处画空心圆圈，向左画线。一元一次方程与一元一次不等式解法对比步骤一元一次方程解法一元一次不等式解法区别要点去分母两边乘最小公倍数，等号不变两边乘最小公倍数，负数需变不等号负数乘除时不等号方向改变去括号括号前负号变号，等号不变括号前负号变号，不等号不变无区别移项移项变号，等号不变移项变号，不等号不变无区别合并同类项化为 ax = b 形式化为 ax＞b 或 ax＜b 形式形式不同系数化为 1两边除以 a，等号不变（a≠0）两边除以 a，正数不变号，负数变号不等号方向可能改变结果表示唯一解 x = \(\frac{b}{a}\)解集（无数解），可数轴表示解的数量和表示方式不同解题技巧与注意事项技巧步骤简化技巧：若不等式不含分母或括号，可直接移项合并（如例题 1）；分母为倍数关系时，选择较大分母作为公倍数简化计算。符号处理技巧：去括号和移项时，牢记 “负号变号” 原则；系数化为 1 前先判断系数正负，避免方向错误。数轴表示技巧：先确定边界点类型（实心 / 空心），再确定方向（左 / 右），可简记为 “大于右，小于左，含等号实心，不含等号空心”。注意事项去分母漏乘：去分母时需给不等式两边的每一项都乘最小公倍数，包括常数项（如例题 2 中 - 1 需乘 6）。符号错误：去括号时括号前是负号，括号内各项未全变号；移项时忘记变号。系数化为 1 错误：除以负数时未改变不等号方向，这是最常见的错误（如例题 4 中 - 5x＞3，解得 x＜-\(\frac{3}{5}\)）。数轴表示不规范：边界点类型错误（含等号用空心，不含用实心）或方向画反。课堂练习练习 1解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）2 (x + 1)＞5x - 7 （2）\(\frac{x}{2}\) - 1≤\(\frac{x}{3}\)练习 2解下列不等式：（1）\(\frac{3x - 1}{4}\)＞\(\frac{2x + 5}{3}\) （2）\(\frac{1 - x}{3}\)≥\(\frac{x + 1}{2}\) - 1练习 3当 x 为何值时，代数式 2x - 5 的值：（1）大于 0 （2）小于等于 3练习 4已知关于 x 的方程 2x + a = 5 的解是 x = 1，求关于 x 的不等式 ax + 3＞0 的解集。课堂小结一元一次不等式的定义：含一个未知数，次数为 1，整式不等式。解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1（注意不等号方向）→数轴表示解集。与一元一次方程解法的核心区别：系数化为 1 时，若系数为负数需改变不等号方向。关键技巧：准确处理符号，牢记 “乘除负数变方向” 的原则，规范数轴表示。课后作业课本 Pxx 页习题 11.2 第 x、x 题。解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）3x - 2＜4x + 1 （2）\(\frac{2x - 1}{5}\)≤\(\frac{x + 1}{2}\)（3）\(\frac{x + 3}{2}\)＞\(\frac{2x - 1}{3}\) （4）1 - \(\frac{x - 1}{2}\)＞\(\frac{x + 2}{3}\)当 x 取何值时，代数式\(\frac{3x - 1}{2}\)的值大于代数式 x - 2 的值？已知关于 x 的不等式 (2 - a) x＞1 的解集是 x＜\(\frac{1}{2 - a}\)，求 a 的取值范围。思考：解一元一次不等式时，如何避免去分母漏乘和符号错误？一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为 1 且两边都为整式的等式什么叫作一元一次方程? 结合一元一次方程和不等式的定义思考并探究什么叫一元一次不等式. 某次知识竞赛中共有 10 道题，对于每一道题，答对了得 10 分，答错了或者不答扣 5 分，已知某同学答对了 x 道题，得了 70 分.问题1：请写出情境中 x 所满足的关系式.10x－5(10－x)＝70一元一次方程；只含有一个未知数，未知数的次数为 1 且两边都为整式的等式叫作一元一次方程.问题 2：这个关系式我们称之为什么? 什么是一元一次方程?追问：如果把某同学得了 70 分改成至少得 70 分，其他条件不变. 你又能得出什么关系式? 这个关系式叫什么?10x－5(10－x)≥70.一元一次不等式活动：请同学们观察下列不等式：① x－2＜3； ③1一3(x＋1)＞5； ④ x＋1≤2x.问题1：上述不等式中各含有几个未知数? 未知数的次数都是几次? 不等号两边的式子有什么特点?含有一个未知数，且未知数次数是 1 的不等式，不等号两边的式子都是整式.问题2：你能依据一元一次方程的概念说出什么叫一元一次不等式吗?① 不等式两边都是整式；② 每个不等式都只含有一个未知数；③ 未知数的次数都是 1.例1 已知 是关于 x 的一元一次不等式，则 a 的值是_______．1典例精析例2 下列不等式是一元一次不等式吗?为什么？(1) 3x + 2 > x - 1； (2) 5x + 3 < 0； (3) (4) x(x - 1) < 2x.是是不是不是左边不是整式去括号后是x2 - x < 2x典例精析解一元一次不等式活动：你能否仿照解方程的步骤去解不等式?解方程：4x - 1 = 5x + 15.解：移项，得4x - 5x = 15 + 1.合并同类项，得-x = 16.系数化为 1，得x = -16.解不等式：4x - 1 < 5x + 15.解：移项，得4x - 5x < 15 + 1.合并同类项，得-x < 16.系数化为 1，得x > -16.不等式的性质 2、3. 是否变号视情况而定.问题1：解不等式移项是根据什么性质? 不等号变不变?性质1. 不变问题 2：解不等式系数化为 1 是根据什么性质? 不等号变不变?思考：解方程和解不等式有何异同点?追问：你觉得解不等式在哪些地方容易出错? 和同学讨论归纳一下.符号问题、变号问题等合作探究解方程和解不等式异同点例3 解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1) 3(x－1)＜x－2； (2) .  (2) 解：去分母，得 3(x－5)＋2×12≥2(5x＋1).去括号，得 3x－15＋24≥10x＋2.移项，得 3x－10x≥2＋15－24.合并同类项，得 －7x≥－7.系数化为 1，得 x≤1.这个不等式的解集在数轴上的表示如图.  对比例1中第 (1) 小题和第 (2) 小题的解题过程，系数化为 1 时应注意些什么？要看未知数系数的符号：若未知数的系数是正数，则不等号的方向不变；若未知数的系数是负数，则不等号的方向改变；想一想   1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是(　D　)D2. 不等式2x＋1≤5的解集，在数轴上表示正确的是(　C　)C3. 不等式1－2x＜5－x的负整数解有(　C　)4. 若(m－2)x2m＋1－1＞5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ⁠.Cx＜－3　 解：x＜2.     ∵x＋y＜3，∴2a＋1＋2a－2＜3.∴4a＜4.∴a＜1.1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有( )  AA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 AA. B. C. D. 返回 4    返回    返回 17  返回    返回10. 如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式.根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是( )C  返回 D  返回12. [2024蚌埠月考] 已知三个连续正整数的和小于18，则这样的数共有( )DA. 7组B. 6组C. 5组D. 4组  返回 BA. B. C. D.   返回 2 024 返回  阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086