初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）一元一次不等式精品第2课时学案设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）一元一次不等式精品第2课时学案设计，共6页。学案主要包含了探究新知，突破核心，实操巩固，强化技能，拓展应用，深化理解，总结提升，梳理收获，销售问题等内容，欢迎下载使用。
第2课时 一元一次不等式的应用(1)
复习铺垫，导入新课（5分钟）
1. 师生互动：教师提问“我们之前学过等式，谁能说出等式的定义？”，引导学生回忆——用等号“=”连接两个代数式，表示相等关系的式子叫做等式，随后板书例题：2x+3=7、5y-1=4，让学生快速判断并说明理由，唤醒旧知，强调“等式的核心是‘相等关系’”。2. 情境导入：展示实际问题：“某班同学去公园春游，门票每人8元，现有50元，最多能买几张门票？”，引导学生思考：设能买x张门票，可列出关系式8x≤50，提问“这个式子和我们之前学的等式有什么不同？”，进而引出课题——不等式及其解集，明确本节课学习任务：理解不等式、不等式的解与解集的概念，会用数轴表示不等式的解集。
二、探究新知，突破核心（15分钟）
本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究不等式及其解集的相关概念，注重实例分析、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。
1. 不等式的定义：结合导入环节的8x≤50，以及补充例题：3x+2>5、2y-3、50，所以x=7不是它的解。强调“不等式的解可以有多个”，与等式只有一个（或几个）解区分开，引导学生尝试说出8x≤50的几个解，加深对解的概念的理解。
3. 不等式的解集与数轴表示：讲解“一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，强调“解集是所有解的集合，是一个范围，而不是单个解”。结合8x≤50，讲解其解集是x≤6.25（因为x表示门票张数，实际中x应为非负整数，即0≤x≤6）；重点讲解用数轴表示不等式解集的方法，分步骤演示：① 画数轴：标出原点、正方向和单位长度；② 定边界：解集是x≤6.25，边界点是6.25，因为包含6.25，所以用实心圆点表示；③ 定方向：不等号是“≤”，表示不大于6.25，所以数轴上从6.25向左的部分（包括6.25），用射线表示。补充说明：x>3的解集，边界点3用空心圆圈（不包含3），方向向右；x≥2用实心圆点，方向向右；x0的解，x=1不是它的解，求a的取值范围；③ 用数轴表示不等式-23的整数解，让学生进一步区分“解集”和“特殊解”。
3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程和数轴表示，要求规范书写、标注清晰，师生共同评价，肯定优点，指出数轴表示和概念理解中的错误和不足，对思路清晰、表述规范的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固所学知识。
五、总结提升，梳理收获（5分钟）
1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了哪些核心概念？如何用数轴表示不等式的解集？”，让学生自主发言，梳理不等式、不等式的解与解集的定义，强调解与解集的区别，回顾数轴表示解集的关键（边界点虚实、方向）。
2. 梳理收获：教师补充总结，强调“不等式的核心是‘不等关系’，解集是所有解的集合，数轴是表示解集的重要工具”，提醒学生注意区分解与解集，规范数轴表示的步骤，避免常见易错点，同时说明不等式是后续学习一元一次不等式（组）的基础，鼓励学生课后多练习，熟练掌握概念和操作方法。
3. 布置作业：让学生课后巩固不等式及其解集的概念，完成基础判断题、解集书写题和数轴表示题，结合生活实际列出一个简单的不等式，并写出它的解集、用数轴表示出来，下节课上台展示，进一步强化技能，深化对概念的理解。
整个教学过程注重直观性和实操性，层层递进，从概念探究到实操练习，再到拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点，确保学生能理解不等式、不等式的解与解集的概念，会用数轴表示不等式的解集，同时培养学生的数感、逻辑推理能力和规范书写习惯。
【学习目标】
1. 会在实际问题中寻找数量关系，并列出相应的一元一次不等式，加强抽象能力. 养成用数学眼光观察的习惯，进一步渗透模型思想.
2.在利用一元一次不等式解决实际问题的过程中，体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，学会分类讨论，培养发散性思维.
【学习重点】一元一次不等式在实际问题中的应用.
【学习难点】在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系.
【自主学习】
1. 应用一元一次方程解实际问题的步骤：

那么如何运用一元一次不等式解决实际问题呢？
【合作探究】
探究点一、销售问题
例1 (教材P133例2)七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
解：设初赛答对了 x 道题.
根据“初赛成绩超过 90 分”晋级决赛，列得不等式
10x－5(20－x)＞90.
去括号，得10x－100＋5x＞90.
移项，合并同类项，得 15x＞190
系数化为 1，得x＞21 eq \f(2,3) .
由 x 为正整数，可得 x 至少为 13.
答：初赛至少要答对 13 道题才能成功晋级.
归纳总结：利用一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么？你会列一元一次不等式解决实际问题吗？
练一练：1. 某校围绕亚运知识举办了一场知识竞赛，共设置了 25 道题，答对一题得 4 分，不答或答错都扣 1 分．若小明的总得分不低于 92 分，则他至少答对了多少道题？
解：设他答对了 x 道题．
根据题意，得 4x－(25－x)≥92.
去括号，得 4x－25＋x≥92.
移项，合并同类项，得 5x≥117.
系数化为 1，得 x≥ eq \f(117,5)
∵ x 为正整数，
∴ x≥24.
答：他至少答对了 24 道题．
例2 某市去年万元地区生产总值能耗为 0.320 t 标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于 5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，即
eq \f(去年万元地区生产总值能耗－今年万元地区生产总值能耗,去年万元地区生产总值能耗)×100%≥5%.
解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤．
根据题意，列得不等式 eq \f(0.320－x,0.320)×100%≥5%.
去分母，得0.320－x≥0.320×5%.
移项，合并同类项，得－x≥－0.304.
系数化为1，得x≤0.304.
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304 t标准煤．
练一练：2. 某品牌护眼灯的进价为 240 元，商店以 320 元的价格出售. “五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于 20% 的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价多少元？
解：设该护眼灯可降价 x 元，
根据题意，列得不等式 eq \f(320－x－240,240)×100%≥20%.
去分母，得 320－x－240≥240×20%.
移项，合并同类项，得 －x≥－32.
系数化为 1，得 x≤32.
答：该护眼灯最多可降价 32 元.
例3 某商品的进价是 120 元，标价为 180 元，但销量较小，为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品?
分析：本题涉及的数量关系是什么?
售价(标价×折扣）－进价≥进价×利润率
解：设最多可以打 x 折出售此商品，由题意得
180×0.1x－120≥120×20%，
移项，合并同类项，得 18x≥144
系数化为 1，得 x≥8.
答：最多可以打 8 折出售此商品.
练一练：3. 某童装店按每套 90 元的价格购进 40 套童装，应缴纳的税费为销售额的 10%. 如果售卖这些童装要获得不低于 900 元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
分析：本题涉及的数量关系是：
纯利润 = 销售额－成本－税费≥900 元.
解：设每套童装的售价是 x 元.
则 40x－90×40－40x · 10％≥900.
移项，合并同类项，得 36x≥4500.
解得 x≥125.
答：每套童装的售价至少是 125 元.
常用关键词与不等号
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用
题的步骤类似：
(1)审：认真审题，分清 、 及其关系，要抓住题设中的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系列出 ⁠；
(4)解：求出所列不等式的 ⁠；
(5)答：写出 ，并检验是否符合题意.
课堂检测
1. 如图①，一个最大容量为 500 cm3 的杯子中装有200 cm3 的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②.设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为( )
A. 200＋4x＜500 B. 200＋4x≤500
C. 200＋4x＞500 D. 200＋4x≥500
2. 为了举行班级晚会，小明准备去商店购买20个乒乓球作为道具，并买一些乒乓球拍作为奖品.已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元. 如果购买金额不超过 200 元，设购买球拍x个，那么x的最大值为___________.
4. 小宏准备用100元钱买甲、乙两种饮料共18瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买________瓶甲饮料.
5. 某次知识竞赛共20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜的得分要超过90分，则她至少要答对_________ 道题.
6. 植树节期间，某单位欲购进A，B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元.
(1)求购进的A，B两种树苗的单价；
(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵.
参考答案
【合作探究】
探究点一、销售问题
例1 解：设初赛答对了 x 道题.
根据“初赛成绩超过 90 分”晋级决赛，列得不等式
10x－5(20－x)＞90.
去括号，得10x－100＋5x＞90.
移项，合并同类项，得 15x＞190
系数化为 1，得x＞21 eq \f(2,3) .
由 x 为正整数，可得 x 至少为 13.
答：初赛至少要答对 13 道题才能成功晋级.
练一练：1. 解：设他答对了 x 道题．
根据题意，得 4x－(25－x)≥92.
去括号，得 4x－25＋x≥92.
移项，合并同类项，得 5x≥117.
系数化为 1，得 x≥ eq \f(117,5)
∵ x 为正整数，
∴ x≥24.
答：他至少答对了 24 道题．
例2 解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤．
根据题意，列得不等式 eq \f(0.320－x,0.320)×100%≥5%.
去分母，得0.320－x≥0.320×5%.
移项，合并同类项，得－x≥－0.304.
系数化为1，得x≤0.304.
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304 t标准煤．
练一练：2. 解：设该护眼灯可降价 x 元，
根据题意，列得不等式 eq \f(320－x－240,240)×100%≥20%.
去分母，得 320－x－240≥240×20%.
移项，合并同类项，得 －x≥－32.
系数化为 1，得 x≤32.
答：该护眼灯最多可降价 32 元.
例3 解：设最多可以打 x 折出售此商品，由题意得
180×0.1x－120≥120×20%，
移项，合并同类项，得 18x≥144
系数化为 1，得 x≥8.
答：最多可以打 8 折出售此商品.
练一练：3.
解：设每套童装的售价是 x 元.
则 40x－90×40－40x · 10％≥900.
移项，合并同类项，得 36x≥4500.
解得 x≥125.
答：每套童装的售价至少是 125 元.
课堂检测
1.A 2.A 3. 2×5＋(10－2)x≥72 4. 9 5. 13
6.(1)解：设A种树苗的单价为x元，B种树苗的单价为y元，
3x+5y=2100①4x+10y=3800② 解得 x=200 y=300
答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.
（2）解：设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗为(30－a)棵，可得200a＋300(30－a)≤8000，解得a≥10.答：A种树苗至少需购进10棵.
7. 解：设可以打x折出售此商品.由题意得160×x/10 －100≥100×20％，解得x≥7.5.答：最多可以打七五折出售此商品.
词汇
不等号
大于、多余、高于、超过等
＞
小于、少于、低于、不足等
＜
不小于、不少于、不低于、不亚于、至少等
≥
不大于、不多于、不高于、不超过、至多等
≤