初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线学案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线学案设计，文件包含第09讲角的平分线--原卷版人教版2024docx、第09讲角的平分线--解析版人教版2024docx等2份学案配套教学资源，其中学案共29页， 欢迎下载使用。
【知识点1 作已知角的平分线】
已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
【典题练习】
【例1】已知∠CAE是△ABC的一个外角，AB=AC．
(1)尺规作图，作∠CAE角平分线AD．（不写作法，保留痕迹）；
(2)求证：AD∥BC．
【练1】如图，已知∠AOB=50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP=25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）
【知识点2 角的平分线的性质】
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
结论：PD=PE.
【典题练习】
【例2】如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP的长不可能是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4

【练2.1】如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=3，AD=4MD，则AM= ．
【练2.2】已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上一点，点C，D分别在射线OA,OB上，连接PC,PD．
(1)如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是______；
(2)如图②，点C，D分别在射线OA,OB上运动，且∠AOB=90°．当∠PCO+∠PDO=180°时，PC与PD在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由．
【知识点3 角的平分线的判定】
内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点.
【典题练习】
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求证：AD平分∠CAB．
【练3】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线．

【能力闯关】
【基础关】
1．如图，在△ABC中，∠C=90°,∠A=50°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G，连接BG并延长，交AC于点D，则∠ADB的度数是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
2.作∠AOB的平分线的过程如下：
①在OA,OB上分别截取OD,OE，使OD=OE；
②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
用三角形全等的判定解释作图原理，下列最为恰当的是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
3.如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD=5cm，DE=5cm，∠ACB=58°，则∠DCE=（ ）
A．26°B．29°C．58°D．32°
4.已知，点P是△ABC边BC上一点，且到AB、AC的距离相等，则线段AP一定是（ ）
A．△ABC的角平分线 B．△ABC的中线
C．△ABC的高 D．AP所在直线是BC的中垂线
5.如图，在△ABC中∠C=90°，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BA，BC于点E，D，分别以D，E为圆心，以大于12DE长为半径作弧，两弧交于点O；作射线BO交AC于点F．CF=2，点P是AB上的动点，则FP的最小值为 ．
6.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．
(1)求证：CF=EB；
(2)试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
【提升关】
8.如图，点D是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC面积为27cm2，点D到边AC的距离是3cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cmB．9cmC．36cmD．30cm
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm，O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，则点O到AB的距离为 ．
10.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H2a−1,a+1，则a= ．
11.如图，在△ABC中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC=10，BC=7，△BCG的面积为9，则△ACG的面积为 ．
12.如图，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠CPD与∠AOB互补．若∠CPD在绕点P旋转的过程中，其两条边分别与OA，OB相交于M，N两点．则以下结论：
①OM+ON的值不变；
②∠PMN=∠POB；
③MN的长度不变；
④四边形PMON的面积不变；
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
13.如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，点G为BC的中点，DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于点D，DE⊥AB于点E， DF⊥AC交AC的延长线于点F．
(1)求证：BE=CF；
(2)求AE的长．
14.学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理．
【理解定理】
（1）如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB=_____；
【问题解决】
（2）如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°．求证：AD平分∠BAC；
【变式应用】
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED= ∠AFD．求△BDE和△CDF的面积和．