初中数学小结学案设计

这是一份初中数学小结学案设计，文件包含专题3全等三角形常见几何模型--原卷版人教版2024docx、专题3全等三角形常见几何模型--解析版人教版2024docx等2份学案配套教学资源，其中学案共22页， 欢迎下载使用。
【知识点1 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.
【常见模型】
【典题练习】
【例1】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，BC∥EF，BC=EF．判断AC与DF的位置关系，并说明理由．
【答案】AC∥DF，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出∠ABC=∠E，根据等式的性质得出AB=DE，根据SAS证明△ABC≌△DEF，得出∠A=∠EDF，然后根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】解：AC∥DF
理由：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
BC=EF∠ABC=∠EAB=DE，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠EDF，
∴AC∥DF．
【练1】如图，已知：∠D=∠B，AD∥BC，AE=CF．
(1)求证：△ADF≌△CBE
(2)若AC=20,CE=17，求EF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)14
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）先由平行线的性质得到∠A=∠C，再证明AF=CE，据此可利用AAS证明△ADF≌△CBE；
（2）由全等三角形的性质可得AF=CE=17，再求出CF的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
又∵∠D=∠B，
∴△ADF≌△CBEAAS；
（2）解：∵△ADF≌△CBE，
∴AF=CE=17，
∴CF=AC−AF=3，
∴EF=CE−CF=14．
【知识点2 对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.
【常见模型】
【例2】如图，在四边形ACBD中，点P在对角线AB上，连结PC、PD．已知∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求证：△BDP≅△BCP；
（2）求证：AD=AC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据等角的补角相等可得∠DPB=∠CPB，再根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得DP=CP，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】（1）∵∠1=∠2，∠1+∠DPB=∠2+∠CPB=180°，
∴∠DPB=∠CPB，
在△BDP和△BCP中，∠DPB=∠CPBPB=PB∠3=∠4，
∴△BDP≅△BCP(ASA)；
（2）由（1）已证：△BDP≅△BCP，
∴DP=CP，
在△ADP和△ACP中，AP=AP∠1=∠2DP=CP，
∴△ADP≅△ACP(SAS)，
∴AD=AC．
【点睛】本题考查了等角的补角相等、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
【练2】如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB=DF，∠A=∠D，∠ACF=∠DEB．如图①，易证：BC+BE=BF．
(1)如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
(2)请选择（1）中任意一种结论进行证明；
(3)若CE=2，S△ABC=20，点D到直线BC的距离为5，则BF=________．
【答案】(1)图②：BC+BE=BF；图③：BE−BC=BF
(2)证明见解析
(3)14或18
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段的和差，
（1）先判断两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可；
（2）先证两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可；
（3）根据三角形的面积求出BC的长，进而求出BF即可．
【详解】（1）解：图②：BC+BE=BF．
图③：BE−BC=BF．
（2）解：图②中
∵∠ACF=∠DEB
∴∠ACB=∠DEF
在△ABC和△DFE中，
∵ AB=DF∠A=∠D∠ACB=∠DEF，
∴ △ABC ≌ △DFE，
∴BC=FE，
∴BF=BC+CE+EF=BC+CE+BC，
即BC+BE=BF．
或图③中，BE−BC=BF
在△ABC和△DFE中，
∵ AB=DF∠A=∠D∠ACF=∠DEB，
∴ △ABC ≌ △DFE，
∴BC=FE，
∵BE=BF+EF，
∴BE−BC=BF+EF−BC=BF+BC−BC=BF
即BE−BC=BF．
（3）解：∵S△ABC=20，点D到直线BC的距离为5
∴BC=2×205=8
又∵CE=2，
∴由图①或图②可得：BF=8+8−2=14，或BF=8+8+2=18，
故答案为：14或18．
【知识点3 手拉手模型】
【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形.
【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。
【例3】如图，∠BAE=∠CAF=90°，EC、BF相交于点M，AE=AB，AC=AF．
(1)求证：①EC=BF；②EC⊥BF．
(2)若条件∠BAE=∠CAF=90°改为∠BAE=∠CAF=m°m≠90，则（1）中的①、②两个结论还成立吗？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)结论（1）成立，结论（2）不成立，理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①由∠BAE=∠CAF=90°可得∠EAC=∠BAF，证明△ACE≌△AFB，根据全等三角形的性质即可证明；②设AB、CE相交于点D，由△ACE≌△AFB可得∠AEC=∠ABF，结合∠BAE=90°，可得∠AEC+∠ADE=90°，最后结合对顶角的定义和三角形内角和定理，即可证明；
（2）由∠BAE=∠CAF=m°m≠90可得∠EAC=∠BAF，证明△ACE≌△AFB，根据全等三角形的性质即可证明结论（1）成立；设AB、CE相交于点D，由△ACE≌△AFB可得∠AEC=∠ABF，根据∠BAE=m°可得∠AEC+∠ADE=180°−m°，最后结合对顶角的定义和三角形内角和定理，可得∠BMD=180°−∠ABF+∠BDM=m°，可判断结论（2）不成立．
【详解】（1）证明：①∵ ∠BAE=∠CAF=90°，
∴ ∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，
在△ACE和△AFB中，
AE=AB∠EAC=∠BAFAC=AF，
∴ △ACE≌△AFBSAS，
∴ EC=BF；
②如图，设AB、CE相交于点D，
∵ △ACE≌△AFB，
∴ ∠AEC=∠ABF
∵ ∠BAE=90°，
∴ ∠AEC+∠ADE=90°，
∵ ∠ADE=∠BDM，
∴ ∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°−∠ABF+∠BDM=180°−90°=90°，
∴ EC⊥BF．
（2）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：
∵ ∠BAE=∠CAF=m°m≠90，
∴ ∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC， 即∠EAC=∠BAF，
在△ACE和△AFB中，
AE=AB∠EAC=∠BAFAC=AF，
∴ △ACE≌△AFBSAS，
∴ EC=BF；
如图，设AB、CE相交于点D，

由（1）知△ACE≌△AFB，
∴ ∠AEC=∠ABF，
∵ ∠BAE=m°，
∴ ∠AEC+∠ADE=180°−m°，
∵ ∠ADE=∠BDM，∠AEC=∠ABF，
∴ ∠ABF+∠BDM=180°−m°，
在△BDM中，∠BMD=180°−∠ABF+∠BDM=180°−(180°−m°)=m° m≠90，
故不能得到EC⊥BF．
【练3】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），E是△ABC外一点，连接AD、AE，已知AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE．
(1)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠ACE=______度：
(2)如图2，当点D在线段BC上，试判断∠ADE与∠ACE之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段CB的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)45
(2)∠ADE=∠ACE，理由见解析
(3)（2）中的结论不成立，当点D在CB的延长线上时，∠ADE+∠ACE=180°．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键．
（1）证△BAD≌△CAE即可求解；
（2）证△BAD≌△CAE即可求解；
（3）证△BAD≌△CAE即可求解．
【详解】（1）解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，
即：∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE
∴∠ADE=∠ACE
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACE=∠ABD=45°
故答案为：45
（2）解：∠ADE=∠ACE，理由如下：
∵AB=AC,AD=AE,，
∴∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED
∵∠DAE=∠BAC，
又∵∠ABC=12180°−∠BAC,∠ADE=12180°−∠DAE，
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC
即：∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ABC=∠ACE
∴∠ADE=∠ACE；
（3）解：（2）中的结论不成立，当点D在CB的延长线上时，∠ADE+∠ACE=180°．理由如下：
如图所示：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
即：∠DAB=∠EAC，
在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE
∵AB=AC,AD=AE,
∴∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED
∵∠DAE=∠BAC
又∵∠ABC=12180°−∠BAC,∠ADE=12180°−∠DAE，
∴∠ABC=∠ADE,
∵∠ABD+∠ABC=180°
∴∠ADE+∠ACE=180°．
【知识点4 半角模型】
【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍
分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形.
【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系
【例4】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，猜想BE，EF，FD之间的数量关系，并证明
【答案】EF=BE+DF；
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意证△ABE≌△ADGSAS，推出AE=AG，∠BAE=∠DAG，然后利用∠EAF=60°，∠BAD=120°，以及角的和差关系得到∠GAF=60°，从而证明△EAF≌△GAFSAS，推出EF=FG，结合FG=DG+DF=BE+DF，即可得到结论；
【详解】解:在△ABE和△ADG中
DG=BE∠B=∠ADGAB=AD
∴△ABE≌△ADGSAS
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF
又∵∠EAF=60°，∠BAD=120°
∴∠GAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=120°−60°=60°
∴∠EAF=∠GAF=60°
在△EAF和△GAF中
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF
∴△EAF≌△GAFSAS
∴EF=FG
∵FG=DG+DF=BE+DF
∴EF=BE+DF
【练4】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF，则∠FEC与∠BAE的数量关系为_______________．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF，请直接写出EF、BE、DF三条线段间的数量关系_________________．
【答案】（1）∠FEC=2∠BAE．（2）EF=BE+DF．
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的．
（1）设∠BAE=α，则∠AEB=90°−α，延长CB到点D′，使BD′=DF，连接AD′，证明△AED′≌△AEFSAS，即可解答；
（2）延长CB到点D′，使BD′=DF，连接AD′，证明△ABD′≌△ADFSAS，△AED′≌△AEFSAS，即可解答；
【详解】解：（1）∠FEC=2∠BAE，理由如下：
设∠BAE=α，则∠AEB=90°−α，
如图1，延长CB到点D′，使BD′=DF，连接AD′，

∵∠ABE=∠D=90°，
∴∠ABD′=∠D=90°，
∵AB=AD，
∴△ABD′≌△ADFSAS，
∴AD′=AF，∠DAF=∠D′AB，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠EAF=∠BAE+∠DAF，
∴∠EAF=∠BAE+∠D′AB=∠EAD′，
∵AE=AE，
∴△AED′≌△AEFSAS，
∴∠AEF=∠AEB=90°−α，
∴∠FEC=180°−290°−α=2α，
∴∠FEC=2∠BAE；
故答案为：∠FEC=2∠BAE；
（2）EF、BE、DF三条线段间的数量关系为：EF=BE+DF，理由如下：
如图2，延长CB到点D′，使BD′=DF，连接AD′，
∵∠ABE+∠D=180°，∠ABE+∠ABD′=180°，
∴∠D=∠ABD′，
∵AB=AD，
∴△ABD′≌△ADFSAS，
由（1）同理得：△AED′≌△AEFSAS，
∴EF=ED′，
∵ED′=BE+BD′，BD′=DF，
∴ED′=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF；
【知识点5 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.

【常见模型】
【例5】【模型构建】
如图①，已知∠B=∠C=∠AED=90°，如果AE=DE，那么△ABE≌△ECD．我们把这种图形叫做“一线三直角”．
【初步探究】
我们发现，如果∠B、∠C和∠AED不是直角，但都相等，且AE=DE，结论也依然成立．请在下面两题中，选择一题进行解答．
（1）如图②，已知∠B=∠C=∠AED>90°，且AE=DE，求证：BC=AB+CD．
（2）如图③，已知∠B=∠C=∠AED90°，
∴∠A+∠AEB=180°−∠B，∠AEB+∠CED=180°−∠AED，
∴∠A+∠AEB=∠AEB+∠CED，
∴∠A=∠CED，
又∵AE=DE，
∴△ABE≌△ECDAAS，
∴AB=CE，BE=CD，
∴BC=BE+CE=AB+CD；
（2）∵∠B=∠C=∠AED