初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定导学案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定导学案，文件包含第08讲三角形全等的判定HL--原卷版人教版2024docx、第08讲三角形全等的判定HL--解析版人教版2024docx等2份学案配套教学资源，其中学案共12页， 欢迎下载使用。
【知识点1 作一个角等于已知角】
已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′ =∠AOB．
1.作法： (1) 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点 C、D；
(2) 画一条射线 O′A′，以点 O′ 为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′A′ 于点 C′；
(3) 以点 C′ 为圆心，CD 长为半径画弧，与第 (2) 步中所画的弧交于点 D′；
(4) 过点 D′ 画射线 O′B′，则∠A′O′B′ =∠AOB．
2.依据：SSS
【典题练习】
【例1】已知∠AOB，下面是“作一个角等于已知角，即作∠A′O′B′= ∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【答案】B
【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作∠A′O′B′= ∠AOB”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作∠A′O′B′= ∠AOB”的尺规作图的依据是SSS．
故选：B．
【练1】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，请结合三角形全等的判定定理进行证明.
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图（作一个角等于已知角），解题的关键是根据“用直尺和圆规画一个角等于已知角”的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．据此可得结论．
【详解】解：如图，设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；画一条射线ME，端点为M；以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线ME于C点；以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；作射线MD，
则∠CMD即为所作．
由以上过程知：OB=OA=MC=MD，CD=AB，
在△CMD和△AOB中，
MC=OAMD=OBCD=AB，
∴△CMD≌△AOBSSS，
∴∠CMD=∠AOB．
【知识点2 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
【典题练习】
【例1】已知：如图，∠E=∠F=90°，AB=AC，AE=AF．

(1)当∠C=30°，∠BAC=25°时，求∠CDB的度数；
(2)求证：△ACN≌△ABM．
【答案】(1)85°
(2)详见解析
【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可．
（1）根据三角形内角和为180°，∠F=90°，求出∠FAC的角度，再根据三角形的内角和，求出∠CNB=55°，根据全等三角形的判定，则Rt△AEB≌Rt△AFC，则∠B=∠C，最后根据是三角形的外角和，即可；
（2）由（1）得∠B=∠C，根据全等三角形的判定，即可．
【详解】（1）∵∠E=∠F=90°，∠C=30°，
∴∠FAC=180°−∠F−∠C=60°，
∵∠BAC=25°，
∴∠FAB=35°，
∵∠F+∠FAB+∠ANF=180°，
∴∠ANF=180°−∠F−∠FAB=55°，
∴∠CNB=55°，
在Rt△AEB和Rt△AFC中，
∴AE=AFAB=AC，
∴Rt△AEB≌Rt△AFC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠CDB=∠C+∠CNB=30°+55°=85°．
（2）由（1）得，∠B=∠C，
在△ACN和△ABM中，
∠B=∠CAC=AB∠CAN=∠BAM，
∴△ACN≌△ABMASA．
【练2】如图，BE⊥CD于点E，BE=DE,BC=DA．

(1)求证∶∠D=∠B；
(2)判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)DF⊥BC，理由见解析
【分析】（1）利用HL证明Rt△BCE与Rt△DAE全等即可得到∠D=∠B；
（2）由（1）得∠D=∠B，进而由∠D+∠EAD=90°可得∠B+∠FAB=90°，从而得出DF⊥BC．
【详解】（1）∵BE⊥CD
∴∠BEC=∠DEA=90°
在Rt△BCE与Rt△DAE中BE=DEBC=DA
∴Rt△BCE ≌Rt△DAE（HL）
∴∠D=∠B
（2）DF⊥BC
理由如下：由（1）可知，∠D=∠B
∵∠D+∠EAD=90°，∠DAE=∠BAF
∴∠B+∠FAB=90°，
即DF⊥BC．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，选择恰当的判定条件证明三角形全等是解题的关键．
【能力闯关】
1.下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′=∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.
本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.
【详解】解：根据上述基本作图，可得OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
2.如图，已知∠C=∠D=90°，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件 ．
【答案】AC=AD或BC=BD
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键．
已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解．
【详解】补充AC=AD，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
AB=ABAC=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABDHL，
补充BC=BD，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
AB=ABBC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABDHL．
故答案为：AC=AD或BC=BD．
3.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
(2)求∠DEC的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)90°．
【分析】此题考查直角三角形的判定、直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题．
（1）利用等角对等边，推出DE=EC，再根据HL即可证明Rt△ADE≌Rt△BEC;
（2）由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，从而∠ADE=∠BEC，∠ADE+∠AED=90°，进而得∠AED+∠BEC=90°，从而即可得解。
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，
∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，
AE=BCDE=EC，
∴Rt△ADE≌Rt△BECHL．
（2）解：由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=180°−∠AED+∠BEC=90° ．
4.如图，AB=CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：AB∥CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键．
（1）先证明AE=CF，再根据AB=CD，即可证明Rt△ABE≌Rt△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得出∠A=∠C，根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AF=CE，
∴AE=CF，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
AB=CDAE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)；
（2）证明：Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD．
5.如图，点C，D均在线段AB上，且AD=BC，分别过点C，D 在AB 的异侧作FC⊥AB，ED⊥AB，连接EF交AB于点G，AE=BF．
(1)求证：DE=CF．
(2)求证：G是线段AB的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）由FC⊥AB，ED⊥AB得∠FCB=90°，∠EDA=90°，证明△FCB≌△EDAHL，即可证明DE=CF；
（2）证明△FCG≌△EDGAAS，得到CG=DG即可．
【详解】（1）∵FC⊥AB，ED⊥AB，
∴∠FCB=90°，∠EDA=90°，
∵AD=BC，AE=BF，
∴△FCB≌△EDAHL，
∴DE=CF；
（2）∵DE=CF，∠FCG=∠EDG=90°，∠FGC=∠EGD，
∴△FCG≌△EDGAAS，
∴CG=DG，
即G是线段AB的中点．
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；
（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.