初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定学案

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【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】
1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′.
【典题练习】
【例1】如图，∠A=∠B,AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2,AE和BD相交于点O，求证：△AEC≌△BED．请补全证明过程，并在括号里写上理由．
证明：∵∠1=∠2
∴∠1+__________=∠2+__________
∴∠AEC=__________
在△AEC和△BED中
∵_=__=__=_
所以△AEC≌△BED（________）．
【答案】∠AED；∠AED；∠BED；∠A；∠B；AE；BE；∠AEC；∠BED；ASA
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证∠AEC=∠BED，再由ASA证△AEC≌△BED即可．
【详解】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
∴∠AEC=∠BED，
在△AEC和△BED中
∵∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED
所以△AEC≌△BED (ASA)．
故答案为：∠AED；∠AED；∠BED；∠A；∠B；AE；BE；∠AEC；∠BED；ASA．
【练1】如图，点D是△ABC的边AC延长线上一点，且DC=AC，过D作DE∥CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F，若∠CAB=∠CFA，求证：△ABC≌△EAD．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；由题意易得DE=CA，∠E=∠AFC,∠D=∠ACB，则有∠E=∠CAB，然后问题可求证．
【详解】证明：∵DC=AC，DE=DC，
∴DE=CA，
∵DE∥CB，
∴∠E=∠AFC,∠D=∠ACB，
∵∠CAB=∠CFA，
∴∠E=∠CAB，
∴△ABC≌△EADASA．
【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】
1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
【典题练习】
【例2】如图，∠BAD=∠EAC，∠B=∠E，BC=ED，求证：△ABC≌△AED．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得∠BAC=∠EAD，利用AAS即可判定△BAC≌△EAD．
【详解】证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAC=∠EAD．
在△BAC与△EAD中，
∵∠BAC=∠EAD∠B=∠EBC=ED，
∴△BAC≌△EADAAS．
【练2】如图．已知AD是△ABC边BC的中线．CE∥BF，CE、BF与直线AD的交点分别为点E、F，请说明△CDE与△BDF全等的理由．
【答案】理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到CD=BD，平行得到∠F=∠CED,∠DCE=∠DBF，利用AAS，即可得证．
【详解】解：△CDE与△BDF全等的理由如下：
∵AD是△ABC边BC的中线，
∴CD=BD，
∵CE∥BF，
∴∠F=∠CED,∠DCE=∠DBF，
∴△CDE≌△BDFAAS．
【能力闯关】
【基础关】
1.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事．
A．①B．②C．③D．①③
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去．
【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解“角边角”的内容是解题的关键．
2.如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC=BC，∠ACB=90°，则两面木墙之间的距离为（ ）
A．30cmB．24cmC．20cmD．18cm
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ACD≌△CBEAAS，得出CD=BE=14cm，CE=AD=6cm，即可得解．
【详解】解：由题意得：∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AD=6cm，BE=14cm，
∴∠ACD+∠BCE=∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴CD=BE=14cm，CE=AD=6cm，
∴DE=CD+CE=14+6=20cm，
故选：C．
3.如图，在△ABC中，点D在AB上，E是AC中点，CF∥AB，DE延长线交CF于点F．求证：DE=EF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；
根据CF∥AB可得∠A=∠ECF,∠ADE=∠F，即可证明△ADE≌△CFEAAS，进而得到结论．
【详解】证明：∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F，
∴△ADE≌△CFEAAS，
∴DE=EF．
4.如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB．

(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=__________°．
【答案】(1)答案见解析
(2)20
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用AAS即可证得△ABC≌△BAD；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠DBA的度数，再根据全等三角形的性质即可得出∠CAB的度数．
【详解】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D=90°∠CBA=DABAB=BA，
∴△ABC≌△BAD(AAS)；
（2）解：∵∠DAB=70°，∠D=90°，
∴∠DBA=90°−70°=20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA=20°，
故答案为：20．
5.如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即AO⊥OD），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案：
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______=∠ABO．标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度．
(1)请你先补全方案，再说明这样设计的理由；
(2)若测得BO=1.2m，DO=2.5m，求AC的长度．
【答案】(1)∠DCO，OD，见解析
(2)AC=1.3m
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质．
（1）由垂直的定义可得出∠AOB=∠COD=90°，由题意可知，AB=CD，结合已知条件利用AAS证明△AOB≌△DOC，由全等三角形的性质可得出AN=DN．
（2）利用全等三角形的性质可得出CO=BO，AO=DO，根据AC=AO−CO=DO−BO即可得出答案．
【详解】（1）解：∠DCO，OD
理由：∵AO⊥OD
∴∠AOB=∠DOC=90°
在△AOB与△DOC中
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=DC
∴△AOB≌△DOCAAS
∴OA=OD；
（2）解：∵△AOB≌△DOC
∴OB=OC=1.2m，OA=OD=2.5m，
∴OA−OC=OD−OB=2.5−1.2=1.3m，
即AC=1.3m
【提升关】
6.如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=8，BF=5，EF=3，则AD的长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△CDE，推出AD=AF+DF=10．
【详解】解：∵ AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，
∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，
∵AB=CD，
∴ △ABF≌△CDE(AAS)，
∴AF=CE=8,BF=DE=5，
∵EF=3，
∴AD=AF+DF=8+(5−3)=10．
故选：C．
7.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．已知DE=5，AF=4，则△ABC的面积为 ．
【答案】40
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，三角形的面积公式等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键．
由题意可知△ADF≌△BDG，△AEF≌△CEH，于是可得AF=BG，DF=DG，AF=CH，EF=EH，进而可得BG=CH=AF=4，利用矩形的性质可求得BC=GH=10，然后可求得△ABC的边BC上的高ℎ=AF+CH=8，最后利用三角形的面积公式即可得解．
【详解】解：由题意可知：
△ADF≌△BDG，△AEF≌△CEH，
∴AF=BG，DF=DG，AF=CH，EF=EH，
∴BG=CH=AF=4，
∵四边形BCHG是长方形，
∴∠CHE=90°，
BC=GH
=DG+DE+EH
=DG+EH+DE
=DF+EF+DE
=DE+DE
=5+5
=10，
∴△ABC的边BC上的高ℎ=AF+CH=4+4=8，
∴S△ABC=12⋅BC⋅ℎ
=12×10×8
=40，
故答案为：40．
8.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D,E．
(1)求证：AD=CE；
(2)延长EB至点F，使得BF=DE，连接AF交CE于点G，若AD=9，BE=5，求△EFG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意，证明△ACD≌△CBEAAS，即可求解；
（2）根据△ACD≌△CBE，可得AD=EF=9，再证△ADG≌△FEGAAS，得到EG=12DE=2，由S△EFG=12EG⋅EF=9，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵∠ACB=90°，AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠E=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠E∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴AD=CE；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE=9，BE=CD=5，
∴DE=CE−CD=4，
∵BF=DE，
∴BF+BE=DE+CD，即EF=CE，
∴AD=EF=9，
在△ADG和△FEG中，
∠ADG=∠E∠DGA=∠EGFAD=FE，
∴△ADG≌△FEGAAS，
∴DG=EG，
∴EG=12DE=2，
∴S△EFG=12EG⋅EF=9．
9.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线l，AM⊥l于点M，BN⊥l于点N．
(1)试说明：MN=AM＋BN；
(2)如图②，将（1）中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=α（90°