数学八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.2 三角形全等的判定学案

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【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】
1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
【典题练习】
【例1】如图，A,B,C,D四点共线，AB=CD，CF=BE，AF=DE．求证：△ACF≌△DBE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形SSS判定即可证明．
【详解】证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=DB，
在△ACF和△DBE中，
AC=DBCF=BEAF=DE，
∴△ACF≌△DBESSS．
【练1】如图所示，AD=BC,AC=BD，AC与BD交于点O．试说明：∠DAO=∠CBO．
【答案】见解析
【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．连接DC，利用SSS证明△ADC≌△BCD，即可求证．
【详解】解：连接DC．如图．
在△ADC和△BCD中．
AD=BCAC=BDDC=CD，
∴△ADC≌△BCDSSS
∴∠DAO=∠CBO．（全等三角形对应角相等）．
【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】
1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．
2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
【典题练习】
【例2】如图，已知点E、F在线段BD上，AB=CD，BE=DF，AB∥CD，求证：AF=CE．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，先证明BF=DE，再由平行线的性质得到∠ABF=∠CDE，则可利用SAS证明△ABF≌△CDE，则AF=CE．
【详解】证明：∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF
∴BF=DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠ABF=∠CDEBF=DE，
∴△ABF≌△CDESAS，
∴AF=CE．
【练2】如图，BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE．求证：∠A=∠D．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．根据∠ABD=∠CBE可证∠ABC=∠DBE，利用SAS可证△ABC≌△DBE，根据全等三角形对应角相等可证结论成立．
【详解】证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
AB=DB∠ABC=∠DBEBC=BE，
∴△ABC≌△DBESAS，
∴∠A=∠D．
【能力闯关】
【基础关】
1.如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，可直接利用“SSS”判定（ ）
A．△ABD≌△ACEB．△ABE≌△DCE
C．△ABE≌△ACED．△BED≌△CED
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，AAS，ASA，SSS．根据已知条件和全等三角形的判定定理结合图形得出选项即可．
【详解】解：根据AB=AC，BE=EC，AE=AE可以推出△ABE≌△ACE，理由是SSS，
其余△ABD≌△ACE是错误的，△BED≌△CED不能直接用SSS定理推出，△ABE和△EDC不全等，
故选：C．
2.在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件是解题的关键．
由题意可证△AOB≌△DOCSAS，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，OB=OC，∠AOB=∠DOC，OA=OD，
∴△AOB≌△DOCSAS，
故选：B．
3.如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，AE=BF，CE=DF，如果要运用“SSS”来证明△AEC≌△BFD，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况）
【答案】AC=BD（或AB=CD等）
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“SSS”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可．
【详解】解：∵AE=BF，CE=DF，
要运用“SSS”来证明△AEC≌△BFD，
可以添加的条件需要使得AC=BD即可，
故添加的条件是：AC=BD，
故答案为：AC=BD．
4.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为 ．
【答案】7
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是证明△ADE≌△ADC．
5.如图，AC=AE，BC=DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED=180°．求证：AB=AD．

【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据邻补角性质先得到∠AED=∠ACB，通过SAS证明△ABC≌△ADE，即可作答.
【详解】证明：∵∠ACF+∠AED=180°， ∠ACF+∠ACB=180°
∴∠AED=∠ACB
在△ABC和△ADE中
AC=AE∠AED=∠ACBBC=DE
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴AB=AD.
6.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．

【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在△ABC 中，∠B=50°，∠C=20°，
∴∠CAB=180°−∠B−∠C=110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC=90°．
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°，
∴∠DAF=∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
AD=AC∠DAF=∠CABAF=AB，
∴△DAF≅△CABSAS．
∴DF=CB．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【提升关】
7.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．先证明△ABC≌△DEC，再由全等三角形的性质可得对应角∠1=∠CDE，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
在△ABC和△EDC中，
BC=EC∠ABC=∠DEC=90°AB=DE，
∴ △ABC≌△DECSAS，
∴ ∠1=∠CDE，
则∠1+∠2=∠CDE+∠2=45°．
故选：B．
8.如图，在△ABC中，∠B=∠C，M，N，P分别是边AB，AC，BC上的点，且BM=CP，CN=BP，∠A=92°，则∠MPN的度数为 °．

【答案】44
【分析】先根据SAS证明△BPM≌△CNP，可得∠BPM=∠CNP，再根据∠BPM+∠MPN+∠CPN=180°，∠CNP+∠CPN+∠C=180°，可得∠C=∠MPN，进而得出答案．
【详解】在△BPM和△CNP中，
BM=CP∠B=∠CBP=CN，
∴△BPM≌ △CNP，
∴∠BPM=∠CNP．
∵∠BPM+∠MPN+∠CPN=180°，∠CNP+∠CPN+∠C=180°，
∴∠C=∠MPN．
∵∠A=92°，
∴∠B=∠C=180°−92°2=44°，
∴∠MPN=∠C=44°．
故答案为：44．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等，灵活选择全等三角形的判定定理是解题的关键．
9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(﹣2，0)，C(2，0)，作△DOC，使△DOC与△AOB全等，则点D的坐标可以为 ．
【答案】(0，4)或(0，-4)或(2，4)或(2，-4)
【分析】由于OB＝OC，∠AOB＝90°，OA＝4，若OD＝4，∠DOC＝90°时，可判断△DOC≌△AOB，从而得到此时D点坐标；若CD＝4，∠OCD＝90°时，可判断△DCO≌△AOB，从而得到此时D点坐标．
【详解】解：
∵B（−2，0），C（2，0），
∴OB＝OC，
∵∠AOB＝90°，OA＝4，
∴当OD＝4，∠DOC＝90°时，△DOC≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（0，4）或（0，−4）；
当CD＝4，∠OCD＝90°时，△DCO≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（2，4）或（2，−4）．
故答案为（0，4）或（0，−4）或（2，4）或（2，−4）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．解题关键是掌握全等三角形的判定．
10.如图，AD＝CB，E，F是AC上两个动点，且有DE＝BF．

(1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有AF＝CE，则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
【答案】(1)见解析；
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）由AF=CE知AF+EF=CE+EF，即AE=CF，又AD=CB、DE=BF可证△ADE≌△CBF；
（2）由AF=CE知AF-EF=CE-EF，即AE=CF，又AD=CB、DE=BF可证△ADE≌△CBF；
【详解】（1）证明：∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∵AD=CBDE=BFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SSS）；
（2）△ADE≌△CBF成立，
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∵AD=CBDE=BFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SSS）；
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由AF=CE得出AE=CF是关键．
11.综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=5，求AD的取值范围；
(2)如图2，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，D为BC的中点，求证，EF=2AD；
【答案】(1)1.5