人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.2 三角形全等的判定课后练习题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.2 三角形全等的判定课后练习题，文件包含专题06全等三角形模型之倍长中线与截长补短几何模型讲义数学人教版2024八年级上册原卷版docx、专题06全等三角形模型之倍长中线与截长补短几何模型讲义数学人教版2024八年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc201321763" PAGEREF _Tc201321763 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型1
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321767" 模型拓展5
\l "_Tc201321768" 模型运用5
\l "_Tc26291" 模型1.倍长中线模型5
\l "_Tc168" 模型2.截长补短模型 PAGEREF _Tc168 \h 11
\l "_Tc201321773" 17
倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。
倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。
截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。
（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）

【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）在和中，∵，，，
∴，∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接，

∵平分，∴，
在和中，∵，，，
∴，∴，，
∵，，∴，∴，
∴，∴；
选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接，
∵平分，∴，在和中，
∵，，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，∴；
（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围．
【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．
请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是
【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ．
【答案】（1） ；（2），（3） 8
【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴，

又，∴，故答案为：；
（2）∵，，∴，，
又，∴，即，∴，∴，故答案为：；
（3）延长至点F，使，同（1）可证，
∴，，，
又，∴，∴，∴，∴，
∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8．
1.截长补短模型
截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。
证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）
∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，
∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。
法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）
∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，
∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。
2-1.倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2-2.倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型）
条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。
证明：延长FE，交DC的延长线于点G。
∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）
若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。
模型1.倍长中线模型
例1（24-25八年级上·福建·校考期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题，如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长到，使，请补充完小明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：∵延长到点，使在和中
（已作）
（____________）
（线段中点的定义）
∴．（____________）
（2）通过探究得出的取值范围是_________________．
【小结】将上面题中“，”改为“，，”，则的取值范围是__________（用、的代数式表示）
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”等字样，可以考虑延长线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】（3）如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）对顶角相等，；（2）；小结：；（3），理由见解析
【详解】（1）证明：延长到点，使，
在和中（己作），（对顶角相等），（线段中点的定义）
∴ 故答案为；对顶角相等，；
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，故答案为；；
小结；同理可得，故答案为；；
（3），理由如下：如图所示，延长到，使得，
同理可证，∴，∴，
∵，∴三点共线，∵平分，∴，
∴，∴，∴．
例2．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）阅读以下材料，完成以下两个问题，
[阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：AE平分．
结合此题，，点B是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示．以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE至G，使，连结CG．
在和中，，∴．
∴，．
∵，∴．∴．∴．
∵，∴．∴，∴平分．
问题：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
【答案】见解析
【分析】根据题干图（1）的证明，可延长AE至G，使，连接DG．在和中利用“SAS”易证，得到结论，．由，可间接证明，最后由平行线的性质即可间接证明出，即AE平分．
【详解】图（2）的证明：
证明：延长AE至G，使，连接DG，如题干图（2）所示：
在和中，，∴．∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴AE平分．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义．阅读材料，根据图（1）的证明理解图（2）的辅助线作法是解答本题的关键．
例3（24-25八年级上·吉林·专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图，
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2），且，证明见解析；（3），理由见解析
【详解】解：（1）如图2，延长到，使得，连接，
是的中线，，
在和中，，，，
在中，，，，
，故答案为：；
（2），且，
证明：由（1）知，，，，；
（3），理由：如图2，延长到，使得，连接，
由（1）知，，，
，，由（2）知：，，
，，，
在和中，，，，
，，，，即：．
例4（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）：
(1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中；
③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________．
感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明；
(3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
【答案】(1)(2)(3) 证明见解析．
【详解】（1）解：如图1，延长到Q，使得，连接，

∵是的中线， ∴，
在和中， ∴， ∴，
在中， ∴，即， ∴，
（2）， 理由是：由（1）知，， ∴， ∴
（3）理由：如图2，过作于 延长交于
∵是的中线，则 ∵
∴ ∴ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴
∴相交所成的角为直角，即 综上：
模型2.截长补短模型
例1（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践
【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题．
【解决问题】如图①，在中，平分，交于点，且．求证：．
【方法应用】(1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整．
平分，，
在和中，，
（ ① ），，．
，．
是的一个外角，，
， ② ，（ ③ ）
，．
(2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长．
【答案】(1)；；等角对等边(2)
【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整．
平分，，在和中，，
，，，，，
是的一个外角，，，（等角对等边），
，．故答案为：；；等角对等边；
（2）在上截取，连接，
由题意可得，
，，
在和中，，，，
，，，
，，
在和中，，，，
，，．
例2（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题
方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题

(1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：；

【答案】(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析．
【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴，
在和中，，，，∴
∴，，
∵，∴，∴，∴，∴；
方法二：延长到点E，使得，连接，

∴，则，
∵，∴，∵平分，∴，
在和中，，，，∴，∴，
∵，∴；
（2）在上取，连接，∵于∴∴
∵，∴，∴
∴；
（3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，，
∴∴，∴
∴∴
过作，交于点，∴，
∵是的中点，∴，又∴
∴ ，，而，
∴，
又∵∴∴ 即 ．
例3（24-25浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，在上截取
平分

平分

例4（24-25八年级上·江苏·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．
(1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______．
(2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
(3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里
【详解】（1）解：延长到点，使，连接，
∵，∴，
∵∴，∴，
∵，，∴，
∴，即，
又∵∴，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接，
，，
在和中，
，
在和中，
，，；

（3）解：如图，连接，延长交于点，
，，，
，，符合探索延伸中的条件，
结论成立，即海里，
答：此时两舰艇之间的距离是120海里．
1．（24-25·江苏·八年级期中）如图，在中，，，求边上中线的范围为_____．
【答案】
【详解】解：延长到E，使得，连接，如图，
在和中，，∴，∴．
∵，∴，∴．故答案为：．
2．（24-25广东八年级课时练习）如图所示，平分平分；
（1）求与的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．
【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析
【详解】 理由是：过作于 ∵CE为角平分线


同理可证

成立 理由：在上截取 ∵CE为角平分线

又
又是角平分线

3．（2024·贵州·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
∵AB-BE