人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.1 全等三角形及其性质练习

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.1 全等三角形及其性质练习，文件包含专题10全等三角形模型之对角互补模型几何模型讲义数学人教版2024八年级上册原卷版docx、专题10全等三角形模型之对角互补模型几何模型讲义数学人教版2024八年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc201321763" PAGEREF _Tc201321763 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc19573" 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°）6
\l "_Tc22003" 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°）11
\l "_Tc10318" 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α）15
\l "_Tc201321773" 20
早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？”
（24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分．
(1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：．
理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则，
请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，．
①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ；
②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ；
若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见详解(2)，，
【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，则，

平分，，
，∴，，
又，∴，
在与中，，．
（2）①．理由如下：方法一：过点作，，垂足分别为，，如图，
则，又∵平分，∴，
在四边形中，，
又∵，∴，又∵，∴，
在与中，，∴，∴．
∴．
在中，，
∴，同理，∴．
方法二：以为一边作，交于点，如图，

∵平分，∴，∴，
∴，，∴是等边三角形，∴，
∵，，∴，
在与中，∴，
∴．∴．
②有结论成立．以为一边，作与交于F点，如图，
∵，为的角平分线，∴，
又∵，∴为等边三角形∴，
∵，，∴，
又∵，，
∴，∴，∴，，
∴，即．
过点C作，垂足分别为M，N，如图，则，
又∵平分，∴，设，
∵， ∴，则，
∵，，
∴，则．
1.全等模型-对角互补模型（90°+90°）
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）

条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，
∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）

条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，
∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，.
2.全等模型-对角互补模型（60°+120°）
1）“等边三角形对120°模型”（1）

条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
2）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC.
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°
∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。
又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，
3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α）
1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。
证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，
∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。
∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。
注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补）
条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。
证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。
∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。
模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°）
例1（24-25八年级上·重庆·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．

(1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______．
(2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．
【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．(2)成立，证明见解析．
【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上
故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．
（2）结论：平分仍然成立；
证明：如解图3，过点A作，，∴，

又∵，∴，∴，
又∵，∴，
在和中，∴∴，
又∵，，∴平分，故（1）结论正确．
例2（2025·河南焦作·一模）【操作判断】如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答．
解：，理由如下：过点作于点于点，则四边形为矩形．
平分，．①
，．，② ．…
（1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______；
【迁移探究】（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明；
【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析；
【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②中所填的关系表达式为；
（2）解：不发生变化，依旧是，理由如下：
过点作于点，作于，
∵为两条互相垂直的射线，∴，
∴四边形是矩形，∴
∵平分，，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴；
例3（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．
(1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______；
(2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
(3)如图3，这种情况下，的数量关系是______．
【答案】(1)(2)（1）中的结论成立；证明见解析(3)
【详解】（1）解：当绕D点旋转到时，∴，
∴四边形是矩形．∴，，
∵为边的中点，∴，，∴，，
∵，∴，∴四边形是正方形．
设的边长， ∴正方形的边长为．
∴，，即；
（2）解：（1）中的结论成立；过点D作，，则，

又∵，∴，，∵D为边的中点，
同理可得：四边形为正方形，∴，，
∵，∴，，∴，
在与中，，∴，∴，
∴，由（1）可得：，∴．
（3）解：如图，连接，∵，，D为边的中点，∴，，
∴，∴，同理可得：，
∴， ∴，∴．
故、、的关系是：．
例4（24-25九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E．
(1)如图①，当时，则的值是________．
(2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)2(2)依然成立(3)的周长为定值，且周长为2
【详解】（1）连 ∵P是的中点，，∴

∵，∴ ∴四边形是矩形， ∴
又∵∴∴；故答案为：2；
（2）结论成立．连接，如图②．是等腰直角三角形，是的中点，
，，．
，．．
又，．≌．
，．
（3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，如图③，
由（2）可知：，，，，．
，
又，≌，．
，．的周长是2．
模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°）
例1（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？
(1)探究一：首先观察点F的特殊位置：
①当点F与点C重合时，如图1所示，此时______，线段与之间的数量关系：________；
②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由；
(2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明．
【答案】(1)①60，；②，，见解析(2)，见解析
【详解】（1）解：①当点与点重合时，
在中，，点为边的中点，
根据等腰三角形三线合一性质可知，
，是等边三角形，
，．故答案为：60，
②解：连接，，点为边的中点，

即为的角平分线，，
，，，，
，，
∴；
（2）方法1：过点D作，，垂足分别为M，N，
点为边的中点，，，，，
，，，，
在四边形中，，，，
在和中，，，；
方法2：在上截取，点为边的中点，，
，，，，，
在四边形中，，，
则，，，又，．
例2（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析.
【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，
∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，
(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；
(3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，
∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．
例3（24-25九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．
【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB
【详解】解：（1）如图1中，

∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，
∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°，
又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1．
（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB．
（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，
∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB．
模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α）
例1（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②；③的值不变；④四边形面积随着点M、N的位置的变化而变化．其中正确结论的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【详解】解：作于E，于F，如图所示：

，，
，，，
平分，于E，于F，
，，∴，
在和中，，，，
在和中，，，
，，，
，是等边三角形，故正确；
，定值，故错误；
，故②正确；
M，N的位置变化，的长度是变化的，故③错误；综上所述：正确的结论是①②．故选：C．
例2（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．
(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；
(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)，
【详解】（1），，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，

∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°，
同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证；
（2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证；
（3）成立，，，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证．
例3（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为： ．
（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．
（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）DB=DC，理由见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）AB=AC+2BE，理由见解析．
【详解】解：（1）结论：DB=DC．理由：∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠B=∠C=90°，
∵∠DAC=∠DAB，AD=AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD=CD．故答案为BD=CD．
（2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB．
（3）结论：AB=AC+2BE．理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE．
1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：∵点在的角平分线上，∴，
如图所示，过点作于点，作于点，
∴，，，∴在四边形中，，
∵，∴，即，
∴，∴，∴，故①正确；
由①正确可得，，∴，故②正确；
由可得，∴，
∴四边形的面积是定值，故③正确；
如图所示，连接，由上述结论可得，，，，，
∴，即的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C ．
2．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，且于D，，下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②③
【详解】解：如图，过点作，垂足为点．连接，

，，，，
在和中，，，，
，且，，，
，∴，故①正确；
在和中，，，
，，故②正确；，，，故③正确；
，，，，
．故④不正确．综上可得：①②③均正确．故答案为：①②③．
3．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ．
【答案】9
【详解】解：如图，连接，
∵为的中点，∴，
∴，，∴是等腰直角三角形，∴，
根据题意得：，∴，∴，即，
在和中，∵，，，∴，∴，
∴四边形的面积．故答案为：9
4．（24-25九年级上·重庆·课后作业）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．写出图中相等的角，并说明理由．
【答案】，见解析
【详解】解：，理由：延长至点E，使，连接，如图，
∵四边形是邻等对补四边形，，
，，，，
，，，．
5．（24-25八年级上·湖北鄂州·期中）如图，为的平分线上的一点，于点，为上一点，为上一点，．（1）求证：；（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）作于F
∵为的平分线上的一点，于点，于F ∴，
∵，∴
在△PCD和△PFE中∴∴；
（2）∵∴ ∵∴
∴∴ ∵∴．
6．（24-25七年级下·山东·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点．
(1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由．
(2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析
【详解】（1）解：．理由：过点作于点，
∵点在的角平分线上，且于，，∴，，
∵，∴，，∴，
在和中，，∴（），∴．
（2）解：结论：，理由如下：如图，过点作于点，
同（），可证，，∴，
∵，∴，∴，∴，∴．
（3）解：，理由如下：如图，过点作于点，
同（），可证，，∴，
∵，∴，∴，∴，∴．
8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
(1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________；
(2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
(3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．
【答案】(1)S△DEF＋S△CEF＝S△ABC(2)上述结论S△DEF＋S△CEF＝S△ABC成立，证明见解析
(3)S△DEF－S△CEF＝S△ABC
【详解】（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．
设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为a．
∴S△ABC=a2，S正方形DECF=（a）2=a2即S△DEF+S△CEF=S△ABC；故答案为：S△DEF+S△CEF=S△ABC；
（2）（1）中的结论成立；证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，

又∵∠C=90°，∴DM∥BC，DN∥AC，∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC，∵AC=BC，∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，∴∠MDE=∠NDF，
在△DME与△DNF中，，∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S△DME=S△DNF，∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF，
由以上可知S四边形DMCN=S△ABC，∴S△DEF+S△CEF=S△ABC．
（3）连接DC，证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°，
∴S△DEF=S五边形DBFEC，=S△CFE+S△DBC，=S△CFE+，∴S△DEF-S△CFE=．
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC．
9．（24-25.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【详解】解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，
∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）
10．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线．
问题发现：(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？
问题探究：(2)如图2，小新在确认射线OP是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)小新的观点正确，理由见解析；(2)OE＝2OD，理由见解析．
【详解】（1）解：小新的观点正确；
理由：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（SSS），
∴∠POD＝∠POE，即射线OP是的角平分线；
（2）OE＝2OD；理由：如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT．
∵OP平分∠AOB，∴∠POD＝∠POT，
在△POD和△POT中，，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP＝∠OTP，
∵PDOB，∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°，
∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，
∴∠OTP＝∠ODP＝120°，∴∠PTE＝60°，∴∠TPE＝∠PET＝60°，∴TP＝TE，
∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，∴OT＝TP，∴OT＝TE，∴OE＝2OD．
11．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）问题情境
如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，

(1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由．
变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论．
【答案】(1)；证明见解析(2)①，理由见解析；②，理由见解析
【详解】（1）解：，证明如下：过点作于，于，如图：

平分，，，，，
，，
，，
在和中，，，．
（2）①结论：．理由：过点作于，于，如图：
平分，，，，，
，，，
，，
在和中，，，．
②结论：．
理由：由①得：，，，
在和中，，，，
，，，
在中，，，
，，．
12．（24-25八年级下·江西萍乡·期中）已知是的平分线，点P是射线上一点，，点C、D分别在射线、上，连接、．
(1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________．
(2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由．
(3)在问题（2）中，则四边形的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由
【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)不会发生变化，S=9
【详解】（1）解：根据角平分线的性质可得
（2）证明：如图②，过点P点作于E，于F．
∵是的平分线，∴，
∵，∴
而∴，∴，∴．
（3）解：不会发生变化，理由是：
∵OP平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠POF=45°∴∠OPF=∠POF=45°
∴PF=OF=3由（2）可知，
∴四边形OCPD的面积=四边形OEPF的面积=．
13．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．
①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到．
②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：．
【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）①选择小强同学，
证明：如图2，过点作于，于，平分，
，，，，，
在与中，，；
②选择小颖同学，证明：如图3，过点作，交于点，则，
，平分，，且，
，，，，
在和中，，，．
（2）如图，过点作，，垂足分别为，，，

又平分，，，，
在四边形中，，
又，，
又，，且，，，；
（3）取中点，连接，点、分别是、边上的中点，，
是等边三角形，，，，
，，，，
14．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，．
(1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？
(3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】(1)，原因见解析(2)，原因见解析(3)最小值为15
【详解】（1）解：，，；
（2）解：过点作，，分别交于，，如图所示：

是线段的中点且为等腰三角形，平分，
，，，，
在和中，，，；
（3）解：由（2）可知，
，为等边三角形，，求的最小值，即为求的最小值，
作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，
求最小值即为求最小值，最小值为的长度，
则最小值为的长度，由对称的性质可得．
，，，为等腰三角形，，，
，为等边三角形，由等边三角形对称性可得，
是线段的中点，，
，，，，最小值为15．
15．（24-25八年级下·福建宁德·阶段练习）小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知，平分，点B、D分别在所在直线上．
(1)小明猜想：，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明：
过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵平分，∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等），
∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴，
又∵，∴______=______，
又∵，∴，∴．
(2)如图2，当绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B．请证明（1）中的结论依然成立．
(3)如图3，若，写出线段之间的数量关系，并证明．（证明方法不限）
(4)如图4，为等边三角形，边长为4，点O为边中点，，其两边分别交和的延长线于E、F．求______．

【答案】(1)，(2)证明见解析(3)，证明见解析(4)6
【详解】（1）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵平分，∴（角平分线上一点到这个角两边的距离相等），
∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴，
又∵，∴，
又∵，∴，∴．
故答案为：，
（2）证明：过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，则，
∵平分．∴，由四边形的内角和等于，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，∴；

（3）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵，平分，∴，
∴，∴，由（2），∴，
∴；∴；
（4）连接，过点O分别作的垂线，垂足分别为G、H，如图，
∵为等边三角形，点O为边中点，∴，平分，
∵，∴，则由（3）的结论可得：，
∵为等边三角形，边长为4， ∴，
∵点O为边中点，∴，
∴，∴，∴；故答案为：6．
16．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探索
在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．
(1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______．
(2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
(3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里
【详解】（1）解：延长到点，使，连接，∵，∴，
∵∴，∴，
∵，，∴，∴，即，
又∵∴，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接，
，，
在和中，，
在和中，，
，；

（3）解：如图，连接，延长交于点，
，，，
，，符合探索延伸中的条件，
结论成立，即海里，
答：此时两舰艇之间的距离是120海里．