初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）13.2.2 三角形的中线、角平分线、高综合训练题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）13.2.2 三角形的中线、角平分线、高综合训练题，文件包含专题04三角形中的倒角模型之“8”字模型“A”字模型与三角板模型几何模型讲义数学人教版2024八年级上册原卷版docx、专题04三角形中的倒角模型之“8”字模型“A”字模型与三角板模型几何模型讲义数学人教版2024八年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用5
\l "_Tc28484" 模型1.“8”字模型5
\l "_Tc20466" 模型2.“A”字模型8
\l "_Tc17191" 模型3.三角板模型10
\l "_Tc18836" 15
“8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。
该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。
‌
（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴；故选：B．
（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：；
(2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；
②若，，求的度数（用含，的代数式表示）；
(3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)①，；②
(3)
【详解】（1）证明：，，；
（2）①，，；
，，；
故答案为：，；
②如图所示：和的平分线和相交于点，，，
由(1)得，，，．
，，；
（3）解：，理由如下：与分别平分与，
，，
和的平分线和相交于点，，，
，，
，，
，，，
四边形，，
，，
，，，
，，．
（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．无法比较和的大小
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，即，故选：．
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。

图1 图2 图3 图4
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
3）A字模型
条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
模型1.“8”字模型
例1（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、对顶角相等可得，A说法正确，不符合题意；
B、，，说法正确，不符合题意；
C、与是对顶角，，不能得出，说法错误，符合题意；
D、，，，，
，说法正确，不符合题意；故选：C．
例2（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，∵，∴，
∵，∴，∴，故选：B．
例3（24-25八年级上·重庆永川·期中）如图，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
∵，，∴，
∴，
故选D．
例4（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题．
(1)如图1，试说明：．(2)如图2，若，，求的度数．
(3)在图2中，若，，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析(2)；(3)
【详解】（1）证明：∵，
又∵，∴；
（2）解：由（1）可得，①， ②，
∵和的平分线和相交于点，∴，，
由①+②，得，即，
又∵，，∴，∴；
（3）解：由（1）得①，② ，
∵和的平分线和相交于点，∴，，
由，得，
∵，，∴．
例5（24-25·广东·七年级校考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解
【详解】（1）解：，理由如下：
，，，即；
（2）证明：平分，，
在和中，，，；
（3）证明：在上取一点，使，连接交于点，
是的角平分线，，
在和中，，，，同理可证，
，，，即，
，．
模型2.“A”字模型
例1（24-25八年级下·广西桂林·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中， 按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形 中，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，∵，∴，故选：．
例2（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，那么等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图所示 ∵∴，
∵∴故选：C．
例3（24-25七年级下·广东·期末）如图，的度数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，∵，
又∵，∴．故选：A．
例4（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，证明见解析
【详解】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，∴∠B+∠A=180°-90°=90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．故选：C；
（2）∵△ABC中，∠A=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．故答案是：220°；
（3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；
（4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：如图：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
模型3.三角板模型
例1（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，由题意可知，
，，，故选：D．
例2（24-25七年级下·陕西渭南·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图：
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，故选：A．
例3（24-25七年级下·河南南阳·期末）一副三角板如图所示摆放，、、三点共线，若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：．
例4（24-25·四川·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（ ）

A．①②B．①③C．①②③D．①②④
【答案】D
【详解】解：①，，，故①正确；
②，，，，
，，，故②正确；

③如图，，，
，，
，，与不垂直，故③错误；
④，，，
，，，故④正确，
①②④正确，故选：．
例5（24-25·湖南·七年级校考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒．

(1)当______秒时，；当______秒时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值；
(3)当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)当为6或15或24时，有两个内角相等(3)是定值，，理由见解析
【详解】（1）如图，当时，
平分，，，
又为的一个外角，，；

如图，当时，，，
，，．故答案为：3；21．
（2）①如图，当时，，，；
②如图，当时，
，，，；

③如图，当时，
，，
综上所述：当为6或15或24时，有两个内角相等．
（3）是为定值105，理由如下：
是的一个外角，是的一个外角，
，，
又，，
，，．
1．（24-25·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【答案】D
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．
2．（24-25广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，
∵，∴，故选：A．
3．（24-25广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50° 故选C．
4.（2025·陕西·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）

A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【详解】解：∵，∴．
∵是的外角，∴．故选：A．
5．（24-25七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，∵，∴．故选：D
6．（24-25广西南宁·七年级校考阶段练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：①如果，则；②；
③如果，则；④如果，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④共3个，故选：C．
7．（24-25·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，，，，，，
，，，．

8．（24-25广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
【答案】D
【详解】解：如图所示，
∵，∴，
∵，，∴
∵∴，
同理可得：，∴，故选：D．
9．（24-25·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中 （填“增大”或“减小”） 度．
【答案】 减小 15
【详解】解：如图，延长EF到H与CD交于H，
∵∠DCE=∠ACB=180°-∠A-∠B，∠A=70°，∠B=50°，
∴∠DCE=60°，∴∠DHE=∠E+∠DCE=100°，
∵∠DFE=∠D+∠DHF，∴∠D=∠DFE-∠DHF=120°-100°=20°，
∴∠D从35°减小到20°，减小了15°，故答案为：减小，15．
10．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图， 度．
【答案】
【详解】解：如图，连接，记、的交点为，
，，，
，，
，故答案为：．
11．（24-25七年级下·山东·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度．
【答案】34
【详解】解：∵，分别平分和，∴，，
根据三角形内角和定理可得：，，
∴由得：，
∵，，∴，∴，故答案为：．
12．（24-25七年级下·福建·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ．
【答案】235°/235度
【详解】解：∵，∴，
∴，故答案为：．
13．（24-25贵州·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．

【答案】
【详解】解：如图可知：，，，，
，故答案为：．

14．（24-25陕西·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）

【答案】①②④
【详解】解：如图，由题意得：，∵，∴，

∵， ∴，
∴，，故结论③错误；
∵，∴，∴平分，故结论④正确；
∵，∴，∴，故结论①正确；
∵，∴，∴，故结论②正确；故答案为：①②④．
15．（24-25广东·八年级月考）如图，若，则 ．
【答案】230°
【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°．
16．（24-25广东·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；

（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；
（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1）结论为：，理由如下：∵，
又∵，∴；故答案为：
（2）交点有点、、，以为交点有1个，为与，
以为交点有4个，为与，与，与，与，
以为交点有1个，为与，综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为：
（3）由（1）可知：，，
∵和的平分线和相交于点，∴，，
得：，∴，
又∵，，∴，∴；
（4）关系：，由（1）可知：，，
∴，，
∵、分别是和的角平分线，∴，
∴，即，
∴，整理得，．
17．（24-25江苏·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．

(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，、分别平分、，说明：．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．


【答案】(1)见解析(2)①；②；③
【详解】（1）解：∵分别平分，∴，∴，
由题干的结论得：，∠，
∴，∴，
∴，即；
（2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知，
∵分别平分，∴，
∵∴，
∴，同理可得，由题干的结论可得，∴；

②如图所示，分作的角平分线交于H，
由（1）的结论可知，，同理可得，，
∴；
③由题干的结论可得，
∵平分，平分的外角，∴，
∵，∴，
由题干的结论可知，∴，
∴
．
18．（24-25七年级下·河南·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

①尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：．理由：∵与分别为的两个外角，
∴．∴．
∵三角形的内角和为，∴．∴．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
②初步应用：（1）如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则 ；
（2）如图3，在中，分别平分外角，则与有何数量关系？ ；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析
【详解】解：（1）由题意得：在纸片中剪去，
∵，，∴，故答案为：；
（2），由尝试探究得，
∵分别平分外角，∴，
∴，
∴ 故答案为：；
（3）数量关系为：，理由如下：如图，延长线段、线段交于点，
，
∵通过（2）得，∴，
∵，又∵，
∴，∴．
19．（24-25成都·七年级校考期末）一副直角三角板按照如图所示放置，注意观察和的数量关系.（1）如图①，和的数量关系是______；
（2）如图②，将两个直角三角板的直角顶点置于一点，无论如何旋转其中一个直角三角板（两直三角板无重叠），和的数量关系是______；
（3）如图③，将两个直角三角板的直角顶点置于一点，旋转后使两直三角板有重叠，请直接写出和的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3），见解析.
【详解】（1）∵∠AOC+∠AOB+∠BOD=180°，又∠AOB=90°，∴.
（2）∵∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠DOC=360°， 又∠AOB=∠DOC=90°，∴.
（3）. 理由：因为，
所以.
20．（24-25吉林·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．

(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度．
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值．
【答案】(1)105(2)(3)或
【详解】（1）解：，，，
，，
，故答案为：；
（2）解：如图1，延长，交于G，平分，，

由题意得：，，
，；
（3）解：如图2，，，，
当点A运动到时，，综上所述：或．