初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）13.2.2 三角形的中线、角平分线、高测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）13.2.2 三角形的中线、角平分线、高测试题，文件包含专题03三角形中的倒角模型之燕尾飞镖型风筝模型翻角模型几何模型讲义数学人教版2024八年级上册原卷版docx、专题03三角形中的倒角模型之燕尾飞镖型风筝模型翻角模型几何模型讲义数学人教版2024八年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321767" 模型拓展5
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc30077" 模型1.飞镖（燕尾）模型6
\l "_Tc490" 模型2.鹰爪（风筝）模型10
\l "_Tc31842" 模型3.翻角模型14
\l "_Tc18836" 16
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燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌
‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。
翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌
普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！
（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即．
【探究推理】方法一：如图②，连结．
∵在中，，∴．
又∵在中，，∴，
∴，∴．即．
方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，…
（1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程．
【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度．
（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．
独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 ，请说明理由；
深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由；
结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．的度数为 ；
1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。
即：，故。

图1 图2 图3 图4 图5
2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA；
∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。
3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA；
∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）
=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。
条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；
证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。
条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。
证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；
∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）
=∠EC’F+∠FCE=2∠C。

图1 图2
飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。
飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。
证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，
∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB，
∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B），
∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，
∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B）
模型1.飞镖（燕尾）模型
例1（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．
“智慧小组”通过互学证明了这个结论：
方法一：如图2，连接，则在中，，即，
又：在中，，∴，即．
“创新小组”想出了另外一种方法
方法二：如图3，连接并延长至F，
∵和分别是和的一个外角，…………
任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______；
(2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．
例2（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明：
（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】①如图2，已知，求的度数；
【拓展延伸】②如图3，已知，求的度数．
例3（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，①如图，请直接写出与、、之间的关系：
②如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果；
③如图，平分，平分，若，，求的度数；
例4（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）实验探究：
（1）动手操作：①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ；
②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ；
（2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4，平分，平分，若，，求的度数；
②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 .
例5（24-25广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）.

模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型
例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ．
例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．（1）【定理证明】已知：如图①，求证：．

（2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点．
（3）若，，则_______．（4）若，则_______．
【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点．
（5）若，，则_________．
（6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________．
（7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．

例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设．
(1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数；
(2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由．
模型3.翻角模型
例1（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）．
A．B．C．D．
例2（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例3（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）【原题再现】课本有这样一道题：如图1，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
小明提出一种正确的解题思路：连接，则、分别为、的外角，……
请你按照小明的思路解决上述问题．

【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形内点的位置”变为“点A落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由．
【结论运用】将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数．
1．（24-25成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ）
A．80°B．75°C．60°D．45°
2．（24-25四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①③
4．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（ ）
A．65°B．55°C．45°D．35°
5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ．
10．（24-25湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A＋∠B＋∠C ．
【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】
11．（24-25·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】
已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系．
【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是．
【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________；
【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P．
①若，，则________°；②若且，则________°；
③直接写出与、之间的数量关系；
（2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）．
12.（24-25八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图，锐角内部有一点，在其两边和上各取任意一点，，连接，，求证：．
任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：______；
(2)下列说法正确的是______．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了本题结论
B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，本题的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了本题结论
D．小红的证法只要将点在的内部任意移动次，重新测量进行验证，就能证明本题结论
(3)如图，若点在锐角外部，与相交于点，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出，，，之间的关系并证明．
14.（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题
(1)若中，①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ．
②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ．
(2)若中，；①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ．
②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度．
③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）；(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，

①如图4，若设，，则 ；
②如图5，若设，，请在图中画出，则 ；
③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由．
14.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在四边形ABCD中，，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，令．
初探：(1)如图①，若点P在线段CD上，且，则________°；
(2)如图②，若点P在线段CD上运动，试探究与之间的关系，并说明理由；
再探：(3)如图③，若点P在线段DC的延长线上运动，则之间的关系为________；
(4)若点P运动到四边形ABCD的内部，直接写出此时之间的关系为_________．
15.（24-25七年级下·山东淄博·期中）中，，点D，E分别是边，上的点，点P是一动点．设，，．
(1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则___________°；
(2)若点P在线段上运动，如图（2）所示，则，，三者之间的关系为：___________．
(3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则，，三者之间有何关系？请写出你的猜想并说明理由；(4)若点P运动到外且在直线的上方、直线的左侧范围内运动时，请探究，，之间的关系（画图并直接写出结果）．
16．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把沿折叠，
(1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律．
(2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ．
(3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ．
17．（23-24八年级上·山东济宁·期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图②，把纸片沿折叠，当点A落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图③，把四边形沿折叠，当点A、D分别落在四边形内部点、的位置时，请直接写出、、与之间的数量关系．
18．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，．
(1)若点在线段上，如图1所示，，求的值；
(2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________；
(3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由．
小丽的证法
小红的证法
证明：如图，连接并延长至点，，
（依据），
又∵，，
∴．
证明：
∵，，，（量角器测量所得），
∴，（计算所得）．
∴（等量代换）．