初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）13.2.2 三角形的中线、角平分线、高课后作业题

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TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321768" 模型运用5
\l "_Tc30077" 模型1.高分线模型5
\l "_Tc490" 模型2.双垂直模型9
\l "_Tc31842" 模型3.子母型双垂直模型（射影模型）10
\l "_Tc18836" 13
高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。
子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。
（24-25八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究：
如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E．
小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想．
(1)请补全下表：
(2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明；
(3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______．
【答案】(1)见解析(2)，证明见（1）(3)
【详解】（1）解：∵，∴，∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，
∴，
当时， ；
当时， ；
填表如下：
（2）解：由（1）可得，
∵，，∴；
（3）解：由（1）可得，
∵，∴，∴；
由线段垂直平分线的性质可得，∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，∴．
模型1.高分线模型
1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：．
2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．

图1 图2
1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，
∴；
2）证明：如图，过作于，由（2）可知：，
，，，，
，，，．
模型2.双垂直模型
条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，
结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。
证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，
∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。
∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。
模型3.子母型双垂直模型（射影模型）
条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线，
结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。
模型1.高分线模型
例1（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，，分别是的高和角平分线，若，，求和的度数．
【答案】；．
【详解】解：在中，，又，，．
平分，．
是的高，．．．
例2（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线，
(1)请猜想、、的数量关系，并证明你的结论．(2)若，，求的度数．
【答案】(1)，证明见解析(2)
【详解】（1）解：．证明：∵是的高，∴，
∴，∵是的角平分线，∴，
∵，∴
，∴；
（2）解：由（1）知：，
∵，，∴，∴的度数为．
例3（24-25八年级上·湖南·校考期末）在中，，平分．
(1)如图（1），于D，若，求；
(2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由；
(3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________ ；（不用证明）;
(4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明）.
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)(4)
【详解】（1）解：在中，，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴；
（2）解：在中，，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，
∴；
（3）解：过点作，∵，∴，∴，

由（2）可知：，∴；故答案为：；
（4）解：过点作，
∵，∴，∴，由（2）可知：，
∴；故答案为：．
例4（24-25七年级下·河南新乡·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点．
①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；

②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；
(2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．

【答案】(1)①；②(2)不变，理由见解析
(3)对于图3；对于图4
【详解】（1）解：①如图所示：
在中，，，，
是的平分线，，
是的一个外角，，
用三角尺作边上的高，垂足为点，；

②如图所示: 是的一个外角，，
，；
（2）解：不变，理由如下：由（1）可知，，
是的一个外角，，
，；
（3）解：如图所示： 在中，，，，
是的平分线，，
是的一个外角，，
，；如图所示：

在中，，，，
是的平分线，，
，
，；
综上所述，对于图3；对于图4．
模型2.双垂直模型
例1（24-25重庆·八年级统考期中）如图所示，在中，，分别是，边上的高，并且，交于点，若，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：，，，
又，，．故选：A．
例2（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知非直角中，，高和所在的直线相交于点H，求的度数为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【详解】解：①是锐角三角形，如图，

∵、是的高线，∴，
∵，∴，∴；
②是钝角三角形，如图：
∵、是的高线，∴，∴，
∵，∴．综上所述，的度数是或，故选：D．
例3（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，∴，∴．故选B．
模型3.子母型双垂直模型（射影模型）
例1（24-25七年级上·吉林·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：

（1）的度数．（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），
∴______．
∵，
又∵______，
∴____________（等量代换）．
（2）∵（_________），
∴（等式的性质），
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
【答案】（1）90，35，，；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；，
【详解】解：（1）（已知），，
，
又∵，（等量代换）；
故答案为：90，35，，；
（2）（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
（等式的性质），
（已知），（等量代换）．
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；，．
例2（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，D为垂足．
(1)求证：；(2)若，求的值
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）解：在中，，，
，，；
（2）解：，，．
例3（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．

(1)求证：
证明：∵在中，（已知）
∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换），
∵（___________），∴，∴．
(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：；
(3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，．
①___________；（用含m的代数式表示）
②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②．
【详解】（1）证明：∵在中，（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
又∵（已知），∴（等量代换），
∵（三角形内角和定理），∴，∴．
故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；
（2）证明：∵平分，∴，
∵，∴，，∴，
又∵，∴；
（3）解：①∵，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；

②连接，设，则，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴解得：，
∴四边形的面积，故答案为：．
1．（24-25江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得：
解得故选：A．
2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，于点平分交于点．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=×100°=50°，
∵∠C=25°，∴∠AED=∠C+∠EAC=25°+50°=75°，
∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠DAE=90°-75°=15°，故选：A．
3．（24-25河北·八年级校联考阶段练习）如图，，都是的高，则与一定相等的角是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，都是的高， ∴．∴．
A、当时，可得，该选项不符合题意；
B、当时，可得，该选项不符合题意；
C、根据题意可知，该选项符合题意；
D、当时，可得，该选项不符合题意．故选：C．
4．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ．
【答案】【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，故答案为：．
5．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ， ．
【答案】 /40度 /10度
【详解】解：，，，
是高线，，，
，
是角平分线，，，
；故答案：，．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ．
【答案】或
【详解】解：当为锐角三角形时，如图，

∵，是它的两条高，∴；
当为钝角三角形时，如图，
∵，是它的高，∴，
∵是的高，∴，
综上所述：或，故答案为：或．
7．（24-25七年级下·天津·阶段练习）如图，，则点C到直线的距离是 ．
【答案】
【详解】解：设点C到直线的距离是h，∵，∴，
∵，∴，解得：，
即点C到直线的距离是．故答案为：
8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，和交于点F，．(1)求的度数；(2)若，求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴．
9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，中，是边上的高线，是的角平分线，与交于F，已知．求与的度数．
【答案】，
【详解】解：∵是边上的高线，是的角平分线，
∴，，
∵，∴，，
∴，．
10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，．
(1)求的度数；(2)斜边AB在直线EF上，求的度数、
【答案】(1)55°(2)145°
【详解】（1）解：∵CD是斜边AB上的高，∴CD⊥AB，即∠CDB=90°，
又∵∠BCD=35°，∴∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=55°；
（2）解：∵△ABC是直角三角形，AB是斜边，∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=35°，∴∠CAE=180°-∠BAC=145°．
11．（24-25八年级上·云南西双版纳·阶段练习）在中，已知，是上的高，是上的高，H是和的交点，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，∴．
又∵是边上的高，CF是AB边上的高，∴，
∴．
又∵是的一个外角，∴．
12．（24-25八年级上·山东·期中）如图，在中，，是边上的高线，，求，，的度数．
【答案】，，
【详解】解：在中，，，，，
是边上的高线，，
，，，．
13．（24-25·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．

【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，，，∴．
14．（24-25八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在中，为的高，为平分线交于点E，．
(1)求的度数；(2)与之间有何数量关系？
(3)若将题中的条件“”改为“”（如图②），其他条件不变，则与之间又有何数量关系？请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，∴
又∵为的平分线，∴
∵为的高，∴，，∴；
（2）解：由图知，；
（3）解：
理由如下：由三角形内角和知，
∵为的平分线，∴
∵为的高，∴
又∵，∴
∴．
15.（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数．
（2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）；
（3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】解：（1）是边上的高线，，
是的角平分线，，，
又，；
（2）解为的角平分线，，
是边上的高，，；
（3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F，
证明：在中，，，
又平分，，．
又平分，，
，，，
，．
16．（24-25七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线．
(1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个；
(2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，．
①求的度数；②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数．
【答案】(1)2(2)①；②
【详解】（1）∵，∴，∴，
∵的长为偶数，∴或6，∴符合条件的共有2个，故答案为：2；
（2）①如图1，过点A作于M，

在中，，
∵是的角平分线，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
②过点A作于M，
由①可知，∵，∴，∴．
17.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，是高，是角平分线．

(1)若，求：①的度数；②的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)①，②；(2)．
【详解】（1）解：∵，，
是角平分线，，
是高，，，，
；
（2）解：∵，∴，
即，∴.
18．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是上一点，且．
（1）求证：．
证明：在中，∵（已知）∴（ ）
又∵（已知）∴（等量代换）∴（ ）
（2）如图②，若的平分线分别交，于点，求证：．
（3）如图③，若为上一点，交于点，，，．
①求的值；②四边形的面积是 ．
【答案】（1）直角三角形两锐角互余；三角形内角和；（2）见解析；（3）①；②
【详解】（1）在中，
∵（已知）∴（直角三角形两锐角互余）
又∵（已知）∴（等量代换）
∴（三角形内角和）
故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和；
（2）∵平分，∴，
又∵，，，∴，
又∵，∴；
（3）①∵BC=3CE，∴，∵AB=4AD，∴，
∴；
②连接，设，则，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴解得：，
∴四边形的面积是：．
19．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在中，，平分，点F为射线上一点（不与点E重合），且于点D．
(1)如图1，如果点F在线段上，且，，则_____°；
(2)如果点F在的外部，分别作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若点F与点A重合，、分别平分和的外角，连接，过点P作交延长线于点G，交的延长线于点H，若，且，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，，，
是的角平分线，，，
，，，故答案为：10；
（2），理由：平分，，
平分，，
，
，，平分，，
，即；
（3）设，，，，，
、分别平分和的外角，，
是的外角，是的外角，，
，，，
平分，，，，
即，，，
，，
，，在四边形中，．
20．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系．
(1)【问题初探】小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入，的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）
上表中________，猜想得到与，的数量关系为______
(2)【深入研究】证明（1）中猜想得到的与，的数量关系；
(3)【类比运用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为_________度；
(4)【学以致用】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，．则的大小为________（用含的式子表示）
【答案】(1)，(2)证明过程见详解(3)(4)
【详解】（1）解：∵平分，∴，
∵，∴，
当时，，
∴，∴，
∴，∴，根据上述说明猜想，，
理由：
，
∴，故答案为：，；
（2）证明：根据题意，
，∴，∴（1）中猜想正确；
（3）解：∵平分，，∴，且，
∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；
（4）解：根据题意可得，，
∵平分，平分，∴，
∴，
如图所示，过点作于点，延长线交于点，设交于点，
∵，平分，∴，，
∴由（1）可知，，
∵，∴，
整理得，，故答案为：．
……
……

______
______
……
……
……

……
60
70
70
75
80
20
10
30
45
20
20
30
20
30