人教版（2024）八年级上册（2024）13.2.2 三角形的中线、角平分线、高精练

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例1．如图，在中，，与是的两条角平分线，与交于点，求的度数．
【变式1-1】的两条角平分线、相交于点 I．
(1)如图1：
①若求 的度数；
②若直接写出 °(用含β的式子表示)；
(2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ；
与一定相等的角有 ．
【变式1-2】模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在中，、分别是和的角平分线．
解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案）
(2)若，求出的度数；
拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系．
【变式1-3】“如图①，在中，，和的平分线相交于点，求的度数．”小白在解决这个问题的过程中，发现当取不同的数值时，的大小并不改变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为一个项目做进一步探究．
【项目模型】如图②，直线与直线相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．连接，和的平分线交于点．探究与的数量关系．
【特例发现】如图②，当时，__________度；当时，_____________度．
【规律探索】如图②，当度数为时，用含的代数式表示的大小，并写出推导过程．
【拓展应用】如图③，当时，和的平分线交于点，和的角平分线交于点．在点和点的运动过程中，当的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出的度数．
类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
例2．如图，在中，分别是与的角平分线，点D在的延长线上，则 ．
【变式2-1】问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【变式2-2】特例感知
（1）如图1，是的平分线，是外角的角平分线．
①若，则________；
②判断与的数量关系，并说明理由．
类比迁移
（2）如图2，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点（为正整数）．设，则________．
拓展应用
（3）如图3，在中，是的外角，的三等分线与的三等分线交于点．若，，请直接写出的度数．（用含、的式子表示）
类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
例3．如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．

【变式3-1】如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线．

(1)若，则________， ________；
(2)当变化时，的值是否变化？请说明理由．
【变式3-2】如图①，在中，与的平分线相交于点．
(1)若，则的度数是 ；
(2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系．
类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
例4．在中，，，是的角平分线．

（1）如图1，若是的高，则的度数为 ．
（2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ．
【变式4-1】在中，是边上的高．
(1)如图1，若是边上的中线，，求的长．
(2)如图2，若是的角平分线，时，求的度数．
【变式4-2】已知：在中，，平分交于点．

(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；
(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
一、单选题
1．如图，，分别是的角平分线，则（ ）

A．B．C．D．
2．如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，的角平分线交于点P，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．如图，已知，点E为上方一点，、分别为，的角平分线，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在中，与的角平分线交于点D，且、，则与的数量关系可表示为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．如图，点P是的外角和的角平分线的交点，若，则

7．如图，是的角平分线，是线段延长线上一点，于点，当时，的度数为
8．如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．

9．如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）．
10．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交干点，与的平分线交于点，…，与的平分线相交于点．

（1）的度数为 ；
（2）若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为 ．
三、解答题
11．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．
(1)的度数为______．
(2)若，求的度数．
12．如图，在中，是的角平分线，P为线段上的一个动点，交直线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)当P点在线段上运动时，若是锐角，请对说明理由．
13．如图①，在中，与的平分线相交于点P．
(1)若，则的度数是 ；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系；
(3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ．
14．如图1，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的角平分线，延长线交于点G．
(1)若，则 ；
若，则 ；
(2)若．请求出的度数；（用含n的代数式表示）
(3)如图2，若，过C作直线与交F．若时，求的度数．
15．如图①，的角平分线相交于点．

(1)如果，求的度数；
(2)如图②，过点作直线，分别交和于点和，且平行于，试求的度数（用含的代数式表示）；

(3)将（2）中的直线绕点旋转，分别交线段于点（不与重合），交直线于，请探索并直接写出三者之间的数量关系．

目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14784" 典例详解
\l "_Tc25412" 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
\l "_Tc12626" 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
\l "_Tc6923" 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
\l "_Tc1826" 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
\l "_Tc6215" 压轴专练
1）两内角平分线的夹角模型

图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。
证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。

图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。
∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．
证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。
∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn=

图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°-（180°+∠A）=90°+∠A。
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。
证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,
1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：．
2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．

图1 图2
1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，
∴；
2）证明：如图，过作于，由（2）可知：，
，，，，，，
，．