人教版（2024）八年级上册（2024）13.2 与三角形有关的线段习题

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类型一、利用三角形的三边关系化简
例1．若，，是的三边，试化简： ．
【变式1-1】已知a，b，c是三角形的三边长，化简.
【变式1-2】已知的三边分别为a,b,c．
(1)若为整数，求的周长．
(2)化简：．
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
例2．如图，是的中线，是的高，，，，．
(1)求高的长；
(2)求的面积．
【变式2-1】如图，在锐角中，两条高线相交于点O．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数；
(3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________．
【变式2-2】【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【变式2-3】在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵__________，
∴__________．
∵，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
【变式2-4】【问题情境】
如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】
如图2，点D在的边上，点P在上．
①若是的中线，______．
②若，则______．

(2)【拓展延伸】
如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．
①：直接写出，与之间的等量关系；_______
②：若，则_______．
类型三、三角形折叠中的角度问题
例3．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【变式3-1】在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；
(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．
①若，则______；
②若，求证：；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
【变式3-2】综合与探究

(1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数．
(3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示．
【变式3-3】（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；

（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______；
（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，
①的度数是多少？请说明理由；
②如果，求的度数．
类型四、与三角形的内外角有关的问题
例4．如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线相交于点Q，延长相交于点F．
(1)若，求的度数；
(2)在中，若，求∠A的度数．
【变式4-1】[实验探究]
（1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______；
（2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______．
[猜想证明]
如图3，试猜想之间的关系，并证明．
[结论应用]
请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数．
【变式4-2】如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，．
(1)若点在线段上，如图1所示，，求的值；
(2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________；
(3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由．
【变式4-3】在中，与的平分线相交于点P．

(1)如图1，，，求的度数．
(2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D．
①试探究，之间的数量关系．
②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数．
一、单选题
1．如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在直角三角形中，，把三角形沿方向平移得到三角形平分分别交于点、、．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
5．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ．
6．已知的三边分别为，化简：
7．在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ．
8．如图，，点E在的延长线上，交于点F，，，点P为线段上一点，点Q为上一点，且．
（1） ；（用含x的代数式表示）
（2）若平分，则的度数为 ．
三、解答题
9．已知：的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断的形状．
10．如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
11．数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度．
(2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求．
(3)小宇：如图3，已知平分，，，求．
12．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
13．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，．

初探：
（1）如图1，若点P在线段上，且，则________；
（2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．
（5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由．
14．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”．
（1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）；
（2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程：
设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1334" 典例详解
\l "_Tc17188" 类型一、利用三角形的三边关系化简
\l "_Tc30601" 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
\l "_Tc4350" 类型三、三角形折叠中的角度问题
\l "_Tc23843" 类型四、与三角形的内外角有关的问题
\l "_Tc14810" 压轴专练
定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
1. 性质运用：折叠属于轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴且垂直平分对应点连线。可据此推导线段长度与角度关系，如在直角三角形折叠中，利用对应边相等结合勾股定理求边长。
2. 角度计算：通过对应角相等，结合三角形内角和180°、外角性质等知识，推导折叠产生的新角度。如折叠后出现的重叠角、翻折角，需分析其与原三角形内角的数量关系。
3. 辅助线与方程思想：复杂折叠常需作辅助线连接对应点，构造全等三角形或直角三角形。对于求边长、角度等未知量，常设未知数，根据折叠性质和几何定理建立方程求解，将几何问题代数化 。
1.内角和定理：三角形三个内角的和恒为180°。此定理是基础，可用于已知两角求第三角，或结合方程思想，设未知数求解含参数的三角形角度问题，如等腰三角形中已知顶角与底角关系求各角度数。
2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个与它不相邻的内角。利用该性质可实现角的等量代换和大小比较，常用于几何证明与角度推导，如证明三角形中角的不等关系。
3.内外角关系：三角形的一个内角与相邻外角互补，其度数之和为180°。同时，三角形外角和为360°，无论三角形形状如何，这一规律始终成立，可用于快速检验角度计算结果的正确性或解决多边形外角相关拓展问题。