人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线获奖教学ppt课件

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线获奖教学ppt课件，文件包含143角的平分线第一课时课件pptx、143角的平分线第一课时教学设计docx、143角的平分线第一课时分层练习docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共30页， 欢迎下载使用。
学习目标 /LEARNING GOALS
会用尺规作图作一个角的平分线，理解尺规作角的平分线的方法和原理，增强学生的动手能力，发展空间观念和空间想象力.（重点）通过观察、测量等方法，探索并证明角的平分线的性质，发展抽象能力和推理能力.（难点）通过具体练习能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题，培养学生分析问题、解决问题的能力.
探究新知 /NEW LESSON LEARNING
问题1：折痕 BD 平分∠ABC吗？为什么呢？
拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠.
折痕BD平分∠ABC. 理由如下：折叠是轴对称变换，折叠后∠ABD与∠CBD完全重合，即∠ABD=∠CBD。两个能完全重合的角大小相等，这表明BD将∠ABC分成了两个相等的角，所以折痕BD平分∠ABC.
问题2：如果不能折叠，我们用数学作图工具，能作出角的平分线吗？
想一想：在如图所示的折叠过程中，按照先后顺序保证了哪些条件相等，使得折痕平分∠ABC ？
先 AB = AC，后 AD = DC.
议学追问：那么可否按照折叠中先后顺序的相等条件作图？动手画一画！
求作：∠AOB 的平分线.
问题4：两弧的交点一定在∠AOB的内部吗？
应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
探究新知/NEWLESSONLEARNING
问题5：“画射线OC ”能说成“连接OC ”吗？
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
问题6：已知：平角∠AOB. 如何作平角∠AOB的角平分线？
“画射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
问题1：在刚才折叠的基础上（在折叠状态，未展开）将BC 自身重合对折（点 B 与点 C 重合）观察折叠后的展开图，你发现了什么?
纸上又多了两条折痕，设为 PE 和 PF (如图)，两条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上；观察折痕与边的关系得到：
PE⊥BC，PF⊥AB，PE = PF.
议学追问：对于任意角的平分线是否都有这样的结论？
问题2：在刚作出的∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，过点画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在 OC 上多取几点试试.
议学追问：通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题3：怎样验证猜想呢？
1. 问题：写出上述命题的题设(已知)和结论(求证).
题设：角的平分线上有一点.结论：这一点到角的两边的距离相等.
2. 画出图形，几何语言描述：
∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB
已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD = PE.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO = ∠PEO = 90°.
在 △PDO 和 △PEO 中，
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP，
∴△PDO≌△PEO (AAS).
1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（角的平分线的性质）2. 解释说明：(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据．(2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角的平分线上的已知点向另一边作垂线段．3. 应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，
4. 应用步骤：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类 似的步骤进行：
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)，
所以 ＝ .( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，
所以 = .( )
缺少“垂直距离”这一条件
缺少“角平分线”这一条件
素养考点 1：角平分线的性质的应用
例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
AD 是它的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC
DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
例2 如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
素养考点 2：利用角平分线的性质求线段的长度
例3 （1）如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D，E，PD=4cm，则PE的长度？
提示：存在两条垂线段——直接应用.
（2）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14.
提示：存在一条垂线段——构造应用.
例4 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为?
解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，∴ BC＝35－20＝15 (cm).
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
素养考点 3：利用角平分线的性质求三角形周长、面积
例5 如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14.(1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)；
解：由角平分线的性质，可知 PD = PC = m，
(2) 求△PDB 的周长.（由于数据不严谨，本题解不唯一）
解：由题意可证 △ACP≌△ADP，∴ AC = AD.
例6 如图，已知点 O 为△ABC 的两条角平分线的交点，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，且 OD = 3. 若△ABC 的周长是 14，求△ABC 的面积？
解析：作 OE⊥AB， OF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 OA.
∵ OB，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC，
∴ OD = OE = OF.
∴ S△ABC = S△OBC + S△OAC + S△OAB
课后总结与练习/SUMMARYAFTERCLASSANDTEST
一个点：________________；二距离：________________；两相等：____________________
过角平分线上一点向两边作垂线
属于基本作图，必须熟练掌握
两条垂线段(距离)相等
解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，∵ AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB.∴ DF ＝ DE ＝ 2. 解得 AC＝3.
1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是 (　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
方法归纳：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法.
2.如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是（ ）
A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C.AB 与 CD 互相垂直平分 D.CD 平分∠ACB
3.已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有 种.
4.如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm.
5.如图，已知 AD ⊥ DE 于点 D ， BE ⊥ DE 于点 E ， AC ， BC 分别平分∠ BAD 和∠ ABE ，点 C 在线段 DE 上.若 AD ＝5， BE ＝3，则 AB 的长是 ⁠.
解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N.
∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离.
∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，
∴ PM = PE. 同理，PN = PE.
∴ PM = PN = PE =3.
∴ MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
6.如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离.
7.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E. (1) 哪条线段与 DE 相等？(2)若 AB＝10，BC＝8，AC＝6，求 BE，AE 的长和△AED 的周长.
(2) 解：∵ BD 平分∠ABC，∴∠CBD＝∠EBD. 在△CDB 和△EDB 中， ∠C＝∠BED， ∠CBD＝∠EBD， DB＝DB， ∴△CDB≌△EDB (AAS).∴ BE＝BC＝8. ∴ AE＝AB - BE＝2.∴△AED 的周长为 AE＋ED＋DA＝2＋6＝8.
8. 如图，已知点P为∠EAF 平分线上一点，PB ⊥AE于B，PC⊥AF 于C，点M在线段AB 的延长线上，点N在线段AC上，且PM＝PN .(1)求证： BM ＝ CN ；(2)直接写出线段 AM ， AN 与 AC 之间的数量关系： ⁠ .
AM ＋AN ＝2 AC 　
(1)求证： BM ＝ CN ；