人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线精品第1课时同步练习题

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类型一、利用角的平分线的性质求角度或线段长
1．如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（ ）
A．3B．6C．8D．9
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，，
，
，
．
故选：A．
2．如图，在四边形中，，连接，．若是边上一动点，则的长不可能是（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
过点D作交于点H，根据角平分线的性质得出，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点D作交于点H，
，
，
又，，，，
，
是的角平分线，
又，
，
又，
，
又∵点D是直线上一点，
∴当点P在上运动时，点P运动到与点H重合时最短，其长度为的长，即的长最小值为3，
，
的长不可能是，
故选：A．
3．如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解．
【详解】解：作，，，
点是的三个内角平分线的交点，
，
点到边的距离是，
面积为，
即，
，
，
即的周长为．
故选：．
4．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ．
【答案】32.5
【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴平分，
∴．
故答案为：．
5．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质．
【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点，
，的外角的平分线与内角平分线交于点，
，，
，
是的平分线，
∵，
∴，
∴，
平分，平分，
，，
，，
，
；
故答案为：．
6．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断平分，根据角平分线的性质可得出，结合已知即可求解．
【详解】解∶由作图知∶ 平分，
∵，，，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为∶9．
7．如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线交直线于点；若，则 度．
【答案】58
【分析】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质.由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案．
【详解】解：由作图得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
8．如图，在四边形中，，，平分交于点E，连接，若点E是边的中点，求的度数．
【答案】
【分析】过点E作于点F，利用角的平分线的性质和判定解答即可．
本题考查了角的平分线的性质和判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如解图，过点E作于点F，
∵，平分，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．
9．如图，在中，，平分，交于点，若，求点到的距离．
【答案】6
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是关键，根据角平分线的性质定理，过点作于点，得到即可求解．
【详解】解：过点作于点，
∵平分，，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴，即点到的距离为．
类型二、利用角的平分线的性质求面积
10．如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（ ）

A．12B．24C．18D．20
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解．
【详解】解：在上取点G，使得，连结，
，，，
，
，
平分，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
即阴影部分面积为12．
故选：A．
11．如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作于点，由角平分线的性质可得，由线段中点可得，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
平分，，
，
点E为的中点，，
，
的面积，
故选：A．
12．如图，在中，平分，则的面积为（ ）
A．7B．10C．12D．14
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：过点作于点，如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
13．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
由作图可得：平分，
∵，，
∴，
∴的面积是，
故答案为：．
14．如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ．
【答案】
【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，根据角平分线的性质得到，证明得到，证明得到，证明，得到，再证明，得到．则可求出，设，根据，可得；根据，可得，据此可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接，
平分，
，
同理可得，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，（平行线间间距相等），
，
，
在和中，
，
，
．
的周长
，
∴，
设，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
类型三、角的平分线的性质的实际应用
15．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）．
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案．
【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
16．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（ ）

A．一处B．二处C．三处D．四处
【答案】D
【分析】此题考查了角平分线的性质．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处．
综上，可选择的点有四处．
故选：D．
17．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ．
【答案】三条角平分线的交点处
【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可．
【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处．
故答案为：三条角平分线的交点处．
类型四、与角的平分线有关的尺规作图
18．如图，在中，．
(1)请用无刻度直尺和圆规作的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的作图下，若的面积是24，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，等积法求出线段的长，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键：
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）根据角平分线的性质，得到到的距离等于的长，分割法求三角形的面积，进行求解即可.
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
（2）∵平分，，
∴点到的距离相等，均为的长，
∵，，
∴.
19．如图，在中，，，请用尺规在边上作一点D，点D不与点A重合，使的三个内角分别为，，．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作角平分线．作的平分线交于点，连接，则即为所求．
【详解】解：如图即为所求
∵，平分，
∴，
∴，
（画法不唯一，也可作的垂直平分线）
20．如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可．
【详解】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
21．如图，已知中，于D．
(1)尺规作图，作的角平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角的平分线的基本作图解答即可．
（2）根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可．
【详解】（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：
则即为所求．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，高线，三角形内角和定理，角的平分线的应用，熟练掌握定理，基本作图是解题的关键．
类型五、利用角的平分线的性质证明
22．如图，在中，为边上的高，是的角平分线， 点为上一点，连接．
(1)求证：平分；
(2)连接交于点，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先由角平分线定义得到，再由三角形外角性质得到，则，从而推出即可得证；
（2）过点作于点于点，如图所示，先由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到，接着证明，得到，数形结合，由角度之间的关系得到即可得证．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：过点作于点于点，如图所示：
∵平分，，
∴，
∵，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查几何综合，涉及角平分线定义、三角形外角性质、角平分线的判定、角平分线的性质定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．熟记相关几何判定与性质，数形结合找准相关角度之间的关系是解决问题的关键．
23．如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键；
先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论．
【详解】证明：，，，
为的角平分线，
，
，
在和中，
，
，
平分．
24．如图，，，点P为中点，平分．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
过点P作于E，由角平分线性质得，进而可得，根据角平分线的判定定理即可得出结论．
【详解】证明：过点P作于E，
，，
，即，
平分，，，
，
∵点P是的中点，
，
，
又，，
平分．
25．如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作于点．
(1)求证：；
(2)判断的形状并说明理由．
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据角平分线的定义可得，，进而结合已知条件根据证明即可；
（2）过作，与的延长线交于点，证明，便可得出结论；
（3）设，证明，用表示，进而表示，再由线段和差求得结果．
【详解】（1）证明：平分，
，
在和中，
，
，
（2）是等腰三角形．
证明：过作，与的延长线交于点，如图，
，，，
，
，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）设，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
1．如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则；
（）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长；
【详解】（1）证明：如图所示，连接，，
∵是的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
2．如图，是的角平分线，，垂足为，，．
(1)与的面积之比为____________；
(2)若的面积为，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）过点作于，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式即可求出与的面积之比；
（2）根据（1）求出的与的面积之比，得到的面积，根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】（1）解：过点作于，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴与的面积之比为，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
3．如图，在四边形中，平分，交的延长线于点M，于点N．
(1)请说明的理由；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得，利用“”可得结论；
（2）根据全等三角形的判定得出，得出，结合图形及线段间的数量关系即可求解
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
1．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值．
过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：

∵平分于点于，
∴，
∴是最小值，此时与重合与重合，
∵三角形的面积为，
∴，
∴，
即的最小值为6．
故选：B．
2．如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键．
【详解】解：①∵和的平分线相交于点，
，，
∴，故①符合题意；
②过作于点，于点，如图：
和的平分线相交于点，
∴点在的平分线上，
，
，故②符合题意；
③∵，
∴，
∵分别是与的平分线，
，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取一点，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
故选：D．
3．如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点作于，则的值为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交的延长线于点，证明，结合已知数据，求出和的长度，即可解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则，
，
，
，
，
平分，
，
四边形的对角互补，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：7
4．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论：
①的值不变；
②；
③的长度不变；
④四边形的面积不变；
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案．
【详解】解：作于，于，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
∴，
，
在和中，
，
，
，，
，
为定值，故①正确，
∵，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
，
定值，故④正确，
在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形，
的长度是变化的，
的长度是变化的，故③错误；
则正确的有①②④．
故答案为：①②④．
5．如图①是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图②，将仪器放置在上，使点与顶点A重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点，是的平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图③，在（1）的条件下，过点作于点，若，，，求的面积．
【答案】(1)是的平分线，理由见解析
(2)54
【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法、角平分线的性质定理等知识点，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题的关键．
（1）利用三条对应边相等证明来得到即可解答．
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：是的平分线，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线．
（2）解：如图：过P作，
∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴．
6．【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、的长分别为，且满足，点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．
（1）的坐标为_________，的坐标为_________．
【数学理解】
（2）如图2，连接，当平分时，求出的值．（提示：利用面积求解）
【深入探究】
（3）过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，当时（全等无需证明），画出图形，并求出的值．
【答案】（1），；（2）；（3）1或7
【分析】（1）先根据绝对值、偶次方和算术平方根的非负性求出的值，由此即可解答；
（2）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，表示出的长，根据全等三角形的性质可得，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：（1）∵，
且，
∴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，．
（2）过点作于点，
由（1）得，，，，
当点运动秒时，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得．
（3）①当点在线段上时，则，
∵，
∴，即，
解得；
②当点在的延长线上时，则，
∵，
∴，即，
解得；
综上所述，当时，t的值为1或7．
【点睛】本题考查了绝对值、偶次方和算术平方根的非负性，坐标与图形，全等三角形的性质，角平分线的性质定理等知识，掌握分类讨论思想是解题关键．