14.3.2角的平分线的判定-课件-2025-2026学年2024人教版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：14.3.2 角的平分线的判定副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]衔接提示：上节课我们学习了 “角平分线上的点到角两边的距离相等” 这一性质，今天将探索它的逆命题 ——“到角两边距离相等的点是否在角的平分线上”，即角平分线的判定方法。幻灯片 2：课程导入旧知回顾：角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等（符号表示：∵P 在∠AOB 平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE）；互逆命题概念：若原命题为 “若 p，则 q”，则逆命题为 “若 q，则 p”（如性质的逆命题：若点 P 到∠AOB 两边的距离相等（PD=PE），则点 P 在∠AOB 的平分线上）。问题引导：角平分线性质的逆命题是否成立？即 “到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上吗？”生活中，如何利用 “距离相等” 确定角的平分线？比如：考古人员发现一块角形残片，想确定角的顶点位置，可通过测量残片上点到两边的距离来判断。带着这些疑问，我们开始探究。幻灯片 3：探究角平分线的判定实验目的：验证 “到角两边距离相等的点在角的平分线上” 是否成立。实验器材：∠AOB 图纸、直尺、直角三角板、量角器。实验步骤：在∠AOB 内部取一点 P，过 P 作 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，用直尺测量得 PD=PE（如 PD=PE=2cm）；连接 OP，用量角器测量∠AOP 和∠BOP 的度数；在∠AOB 内部再取另一点 P'，重复步骤 1（确保 P'D'=P'E'），连接 OP'，测量∠AOP' 和∠BOP' 的度数；实验结论：测量发现∠AOP=∠BOP，∠AOP'=∠BOP'，即 OP、OP' 均为∠AOB 的平分线，因此 “到角两边距离相等的点在角的平分线上” 成立。幻灯片 4：角平分线的判定定理（理论证明）已知：如图，点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD=PE。求证：OP 平分∠AOB（即∠AOP=∠BOP）。证明过程：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义），△PDO 和△PEO 均为直角三角形；在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中：OP = OP（公共斜边），PD = PE（已知），∴Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL，直角三角形斜边和一条直角边分别相等）；∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）；∴OP 平分∠AOB（角平分线的定义）。判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（核心定理，需与性质对比记忆）。幻灯片 5：角平分线性质与判定的对比表格对比：类别条件（已知）结论（求证 / 推导）作用图形特征角平分线性质点在角的平分线上；点到角两边的距离（垂线段）距离相等（PD=PE）由 “点在平分线上” 推 “距离相等”已知角平分线，证线段相等角平分线判定点在角的内部；点到角两边的距离相等（PD=PE）点在角的平分线上（OP 平分∠AOB）由 “距离相等” 推 “点在平分线上”已知线段相等，证角平分线关键提醒：判定定理中 “点在角的内部” 是前提条件（若点在角的外部，到两边距离相等的点不在角的平分线上，可画图举例说明）；两者均需满足 “距离”（即垂线段）的条件，非垂线段长度相等不适用。幻灯片 6：角平分线判定的几何语言表达规范表述：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为 D、E，且 PD=PE，点 P 在∠AOB 内部，∴OP 平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）。易错强调：必须注明 “点在角的内部” 和 “PD⊥OA，PE⊥OB”，缺少任一条件都会导致结论不严谨；几何语言需清晰体现 “距离相等” 与 “角平分线” 的因果关系。幻灯片 7：例题讲解（判定定理应用）例题 1（基础应用）：如图，在△ABC 中，∠B=∠C，D 是 BC 中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：AD 平分∠BAC。解题步骤：推导距离相等：∵∠B=∠C，D 是 BC 中点（BD=CD），DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（AAS，∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，BD=CD），∴DE=DF（全等三角形对应边相等）；应用判定定理：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，且 D 在∠BAC 内部，∴AD 平分∠BAC（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）。例题 2（实际应用）：如图，某工厂要在∠AOB 内部建一个污水处理站 P，要求 P 到 OA、OB 的距离相等，且 P 到 A、B 两点的距离也相等（PA=PB），请用尺规确定 P 的位置。解题步骤：确定角平分线：用尺规作∠AOB 的平分线 OC（依据：角平分线上的点到两边距离相等）；确定垂直平分线：用尺规作线段 AB 的垂直平分线 MN（依据：垂直平分线上的点到线段两端距离相等）；确定 P 点：OC 与 MN 的交点即为所求的 P 点（P 既在∠AOB 平分线上，又在 AB 垂直平分线上，满足 PA=PB 且 P 到 OA、OB 距离相等）。幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）基础题：如图，BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，BE=CF，求证：AD 平分∠BAC（提示：先证 Rt△BFD≌Rt△CED，得 DF=DE）。提升题：2. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，AE 平分∠BAD，且 AE=CF，求证：CF 平分∠BCD（提示：过 E 作 EG⊥AD 于 G，由角平分线性质得 EB=EG，再证 EG=FD，进而得 FC=FD，最后用判定定理）。解题提示：第 1 题：先证 Rt△BFC≌Rt△CEB（HL，BE=CF，BC=CB），得 BF=CE，再证△AFD≌△AED，或直接用判定定理；第 2 题：利用角平分线性质得 EB=EG，结合∠B=∠D=90° 和 AE=CF，证 Rt△ABE≌Rt△CGF，得 CF 平分∠BCD。幻灯片 9：易错点与注意事项忽略 “点在角内部”：误将角外部到两边距离相等的点当作角平分线上的点（可画图展示：∠AOB 外部一点 P，PD⊥OA 延长线，PE⊥OB 延长线，PD=PE，但 OP 不是∠AOB 的平分线）；混淆 “距离” 与 “线段”：未证明线段垂直于角的两边，直接用线段长度相等推导角平分线（如仅知 PD=PE，未证 PD⊥OA，PE⊥OB，不能用判定定理）；判定与性质混用：需要证角平分线时用了性质，需要证距离相等时用了判定（如例题 1 中，目标是证 AD 平分∠BAC，应先用判定，而非直接用性质）。幻灯片 10：课堂小结核心知识梳理：内容具体要点判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上（需满足 “内部”“垂直”“距离相等” 三条件）与性质的关系互逆定理：性质 “点在平分线上→距离相等”，判定 “距离相等→点在平分线上”应用场景1. 证明某射线是角的平分线；2. 确定满足 “距离相等” 条件的点的位置（如实际选址）几何语言规范先写 “垂直”“距离相等”“点在内部”，再写 “点在平分线上”思想方法：体会 “逆命题探究”“理论证明与实际应用结合” 的思想，学会用判定定理解决角平分线的证明及位置确定问题。幻灯片 11：课后作业完成课本对应练习题（如习题 14.3 第 4、5 题）；实践任务：在纸上画一个角，任意取角内部一点，测量该点到角两边的距离，若距离相等，验证该点与角顶点的连线是否为角平分线；拓展思考：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD 平分∠EDF（提示：结合等腰三角形性质和角平分线判定定理）。【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.探索并证明角的平分线的判定定理，感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力；2.能够运用角的平分线的判定定理解决相关问题.几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE.角的平分线上的点到角两边的距离相等. 回顾复习 叙述角的平分线的性质定理.（不必再证全等）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么?S这个点应该在角的平分线O例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？回顾旧知ODPP到OA的距离PDP到OB的距离PE.P是角平分线上的点几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.∴ PD= PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 叙述角平分线的性质定理.不必再证全等E角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ， ∴ PD= PE.几何语言：猜想:这个结论正确吗？已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP，∴点P在∠AOB的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO 中，. （全等三角形的对应角相等） OP=OP，（公共边）PD= PE，（已知 ） ∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.∴∠AOP=∠BOP猜想证明判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点P 在∠AOB的平分线上.例 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ， D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上．33如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是 的平分线与 的平分线的交点．∠ABC∠BCD 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明这个结论吗？已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D E F 证明结论 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D E F 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求点O到△ABC三边的距离和. EO过点O作ON⊥BC , OE⊥AB,垂足分别为点N，点E .由题意得， ON + OE + OM =12.BCAP解：连接OC.(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.巩固练习如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：距离面积周长条件例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)A．110° B．120° C．130° D．140°A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°. 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．角的平分线的性质OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定归纳总结（第1题） A  返回 （第2题）A. 平行线之间的距离处处相等B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上√ 返回（第3题）    返回（第4题） 54【点拨】   返回   返回   返回（第7题） DA. 一处B. 两处C. 三处D. 四处 返回（第8题） ①③④  返回      返回         返回角平分线的判定定理内容角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上作用判断一个点是否在角的平分线上结论三角形的角平分线相交于内部一点 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！