15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定-课件-2025-2026学年2024人教版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：15.1.2.1 线段的垂直平分线的性质与判定副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]衔接提示：上节课我们学习了轴对称及其性质，了解到对称轴与对应点、对应线段等的关系。而线段作为图形的基本构成部分，其垂直平分线有着独特的性质与判定方法，这将为我们进一步研究几何图形的对称特性提供有力工具。幻灯片 2：复习导入回顾轴对称图形与两个图形成轴对称：展示等腰三角形（轴对称图形）和两个全等且关于某直线对称的三角形（两个图形成轴对称）的图片；提问：轴对称图形和两个图形成轴对称的定义分别是什么？它们有哪些联系与区别？（引导学生回顾：轴对称图形是一个图形沿直线折叠能自身重合；两个图形成轴对称是两个图形沿直线折叠后能重合；联系是二者都有对称轴，都有折叠重合的特性；区别在于研究对象，一个是一个图形，一个是两个图形）引出线段的垂直平分线：强调线段本身也是轴对称图形，其对称轴就是线段的垂直平分线；提问：那线段的垂直平分线究竟有怎样特殊的性质和判定方法呢？今天我们就来深入探究。幻灯片 3：线段垂直平分线的定义定义解析：文字定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称 “中垂线”。图形示例：展示线段 AB，作出其中点 O，过点 O 作直线 MN⊥AB，结合图形说明直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线。关键特征：直线要经过线段的中点；直线与线段垂直。符号语言：若 MN 是线段 AB 的垂直平分线，记线段 AB 中点为 O，则 AO = BO，且 MN⊥AB。小练习：在练习本上画出线段 CD，找出中点 E，尝试作出线段 CD 的垂直平分线，同桌互相检查是否符合定义要求。幻灯片 4：探究线段垂直平分线的性质实验操作：实验准备：每位同学准备一张画有线段 AB 以及其垂直平分线 MN 的纸张，在 MN 上任意取点 P₁、P₂、P₃……测量记录：用直尺测量点 P₁到点 A、点 B 的距离，记录为 P₁A 和 P₁B；同样测量 P₂A、P₂B，P₃A、P₃B……观察发现：引导学生观察测量数据，提问：你们发现了这些点到线段两端点的距离有什么关系？（学生回答：相等）猜想结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。理论证明：已知：如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，垂足为 C，点 P 是直线 MN 上任意一点。求证：PA = PB。证明过程：在△PAC 和△PBC 中，∵MN⊥AB（已知），∴∠PCA = ∠PCB = 90°（垂直的定义）。又∵AC = BC（MN 是线段 AB 的垂直平分线，点 C 为中点），PC = PC（公共边），∴△PAC≌△PBC（SAS）。∴PA = PB（全等三角形的对应边相等）。性质总结：文字表述：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。几何语言：∵直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在 MN 上，∴PA = PB。幻灯片 5：线段垂直平分线性质的应用例题 1（基础应用）：题目：如图，在△ABC 中，AB = 5cm，BC 的垂直平分线 DE 分别交 AB、BC 于点 D、E，△ACD 的周长为 8cm，求线段 AC 的长。解题思路：因为 DE 是 BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得 CD = BD。那么△ACD 的周长 = AC + AD + CD = AC + AD + BD = AC + AB。解题步骤：已知△ACD 的周长为 8cm，即 AC + AB = 8cm。又已知 AB = 5cm，将 AB 的值代入上式，得 AC + 5 = 8。移项可得 AC = 8 - 5 = 3cm。答案：AC 的长度为 3cm。例题 2（拓展应用）：题目：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F。求证：AB = BC + AD。解题思路：先证明△ADE≌△FCE（由 AD∥BC 可得∠D = ∠ECF，又 E 为 CD 中点，即 DE = CE，∠AED = ∠FEC，利用 ASA 可证全等），得到 AD = CF。因为 BE⊥AE，E 为 AF 中点，所以 BE 是线段 AF 的垂直平分线。根据线段垂直平分线的性质，AB = BF。而 BF = BC + CF，AD = CF，所以 AB = BC + AD。解题步骤：（略，可让学生在练习本上完整书写证明过程）答案：得证 AB = BC + AD。幻灯片 6：探究线段垂直平分线的判定思考引入：提问：线段垂直平分线的性质是 “线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，那么它的逆命题是什么呢？引导学生分析得出逆命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。证明逆命题（即线段垂直平分线的判定）：已知：如图，点 P 为平面内一点，且 PA = PB。求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。证法一（作垂直证平分）：过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C。在 Rt△PAC 和 Rt△PBC 中，∵PA = PB（已知），PC = PC（公共边），∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）。∴AC = BC（全等三角形的对应边相等），即 PC 垂直平分 AB，所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。证法二（取中点证垂直）：取 AB 的中点 C，连接 PC。在△PAC 和△PBC 中，∵PA = PB（已知），AC = BC（点 C 为中点），PC = PC（公共边），∴△PAC≌△PBC（SSS）。∴∠PCA = ∠PCB（全等三角形的对应角相等）。又∵∠PCA + ∠PCB = 180°，∴∠PCA = ∠PCB = 90°，即 PC⊥AB，所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。判定总结：文字表述：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言：∵PA = PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。幻灯片 7：线段垂直平分线判定的应用例题 3（基础应用）：题目：如图，AC = AD，BC = BD，求证：AB 垂直平分 CD。解题思路：由 AC = AD，根据线段垂直平分线的判定，可知点 A 在线段 CD 的垂直平分线上。由 BC = BD，同理可知点 B 也在线段 CD 的垂直平分线上。因为两点确定一条直线，所以直线 AB 就是线段 CD 的垂直平分线，即 AB 垂直平分 CD。解题步骤：证明：∵AC = AD，∴点 A 在线段 CD 的垂直平分线上（与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。∵BC = BD，∴点 B 在线段 CD 的垂直平分线上。∴直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线（两点确定一条直线），即 AB 垂直平分 CD。例题 4（实际应用）：题目：如图，有 A、B、C 三个村庄，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。解题思路：学校到 A、B、C 三个村庄的距离相等，那么学校的位置应该在△ABC 三边垂直平分线的交点处。因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。解题步骤：分别作出 AB、BC、AC 三边的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹）。三条垂直平分线相交于一点 O，点 O 即为学校的位置。幻灯片 8：三角形三边垂直平分线的性质实验探究：实验准备：每位同学准备一张三角形纸片（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均可）。实验步骤：分别作出三角形三边的垂直平分线。观察三条垂直平分线的位置关系，发现它们相交于一点。用圆规测量交点到三角形三个顶点的距离，记录数据。更换不同类型的三角形纸片，重复上述操作。实验结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。理论证明：（选讲内容，根据学生情况决定是否讲解）以锐角三角形 ABC 为例，设 AB、AC 边的垂直平分线相交于点 O。因为点 O 在 AB 的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，所以 OA = OB。又因为点 O 在 AC 的垂直平分线上，同理可得 OA = OC。由 OA = OB，OA = OC，可得 OB = OC，所以点 O 也在 BC 的垂直平分线上，即三角形三边的垂直平分线相交于点 O，且 OA = OB = OC。应用举例：如例题 4 中确定学校位置，就是利用三角形三边垂直平分线的性质，找到到三个村庄距离相等的点。在画三角形的外接圆时，圆心就是三角形三边垂直平分线的交点，半径为交点到顶点的距离。幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）基础题：已知线段 AB，点 P 满足 PA = PB，则点 P 在线段 AB 的__________上。如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，若 AD = 3cm，则 BD =______cm。判断题：若直线 l 上有一点 P 到线段 AB 两端点的距离相等，则直线 l 是线段 AB 的垂直平分线。（ ）提升题：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠A = 40°，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，求∠DBC 的度数。已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，CB = CD，求证：AC 垂直平分 BD。解题提示：第 1 题：垂直平分线。第 2 题：3。第 3 题：错误（直线 l 上需有两点到线段 AB 两端点距离相等，直线 l 才是线段 AB 的垂直平分线）。第 4 题：先求出∠ABC = ∠C = 70°，因为 MN 是 AB 的垂直平分线，所以 AD = BD，∠ABD = ∠A = 40°，则∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 70° - 40° = 30°。第 5 题：由 AB = AD，可知点 A 在线段 BD 的垂直平分线上；由 CB = CD，可知点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，所以 AC 垂直平分 BD。幻灯片 10：易错点与注意事项性质与判定混淆：误将性质当判定，如已知 PA = PB，直接得出过点 P 的某直线就是线段 AB 的垂直平分线（应是点 P 在线段 AB 的垂直平分线上）；或将判定当性质，如已知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，却用与线段两端点距离相等来证明直线 l 是垂直平分线。证明垂直平分线条件不足：证明一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两个点到线段两端点的距离相等，仅一个点满足条件是不够的。实际应用理解偏差：在实际问题中，如确定到多个点距离相等的位置，要准确理解是运用三角形三边垂直平分线的性质，找到交点，而不是随意猜测。幻灯片 11：课堂小结核心知识梳理：类别具体内容定义经过线段中点且垂直于线段的直线，叫线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上三角形三边垂直平分线性质三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等思想方法：体会从特殊到一般（通过具体例子探究性质和判定）、转化（利用性质和判定进行线段相等、位置关系等的转化证明）的数学思想。幻灯片 12：课后作业完成课本对应练习题（如习题 15.1 第 3、4 题）。实践任务：在家中找一个三角形物体（如衣架等），尝试作出它三边的垂直平分线，观察交点位置与物体形状的关系，记录在作业本上。拓展思考：如图，在△ABC 中，AB = AC，DE 是 AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为 16，BC = 6，求 AB 的长。（提示：利用线段垂直平分线的性质，将△BCE 的周长转化为与 AB、BC 相关的式子）【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 回顾导入情境导入 中兴公园附近有两个小区，现在要在建一座商场，要求从商场到两个小区的距离差不多，请问该商场要建在哪里才能符合要求？　　你能用不同的方法验证这一结论吗？ 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3 ……到点A 与点B 的距离之间的数量关系.相等． 猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”猜想与证明用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．证明：当点P与点C不重合时，∵　l⊥AB，∴ ∠PCA =∠PCB．又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．∴ PA =PB．线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．例 如图，在△ABC中，BC=8，AB 的垂直平分线交BC于点D，AC 的垂直平分线交BC 于点E，则△ADE 的周长等于___．8解：∵AD⊥BC，BD =DC，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB =AC．∵点C 在AE 的垂直平分线上，∴AC =CE．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？∴AB =AC =CE．∵AB =CE，BD =DC，∴AB +BD =CD +CE．即AB +BD =DE. 把线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？成立.点P 在线段AB 的垂直平分线上． 已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，∵ PA =PB，PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．用数学符号表示为：∵　PA =PB，∴　点P 在AB 的垂直平分线上．　　与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 这些点能组成什么几何图形？ 　　 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 　　在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合．l试一试：例 如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.证明：∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上， ∴AO⊥BC.如图，已知在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，并且OA=OC．求证：点O在 BC的垂直平分线上.∴点O在BC的垂直平分线上.（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）ABCON证明：连接OB.∵ ON是AB的垂直平分线,（已知）∴ OA=OB.（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）∵ OA=OC,（已知）∴ OB=OC.（等量代换）命题1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.命题2：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.观察上面两个命题，它们的题设和结论有什么关系？这两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两种命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.你还学习过其他具有类似关系的命题吗？请举例.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.（1）两直线平行，同位角相等；逆命题：同位角相等，两直线平行.（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.（3）全等三角形的对应角相等.逆命题：对应角相等的三角形全等.总结：原命题成立时，逆命题不一定成立.成立.不成立.不成立. C  返回2. 下列说法中错误的个数是( )①任何一个命题都有逆命题；②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；③任何一个定理都有逆定理；④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.BA. 4B. 3C. 2D. 1 返回3. ［2025无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的( )BA. 三边中线的交点处B. 三边垂直平分线的交点处C. 三条角平分线的交点处D. 三边上高的交点处 返回（第4题） B （第4题）     （第4题） 返回（第5题）  （第5题）   返回         返回 B  返回（第8题） B 线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上集合定义线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合互逆命题题设、结论相反的两个命题叫作互逆命题必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！