初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.1 图形的轴对称15.1.2 线段的垂直平分线优质课课件ppt

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3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.
1. 理解线段垂直平分线的性质和判定．
2. 能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?
在某路段的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？
　　你能用不同的方法验证这一结论吗？
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3 ……到点A 与点B 的距离之间的数量关系.
线段的垂直平分线的性质定理
猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”
用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．
证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB．　　 又 AC =CB，PC =PC，　　 ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．　　 ∴ PA =PB．
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
如图，在△ABC中，BC=8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则△ADE 的周长等于___．
解：∵AD⊥BC，BD =DC， ∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB =AC． ∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC =CE．
如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
　∴AB =AC =CE． ∵AB =CE，BD =DC， ∴AB +BD =CD +CE．即AB +BD =DE ．
　　反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
线段的垂直平分线的判定定理
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，∵ PA =PB，PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
用数学符号表示为：∵　PA =PB，∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
　　到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
这些点能组成什么几何图形？
　　 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　　在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合．
例 如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.
证明：∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上. 又AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， 即A，O均在BC的垂直平分线上， ∴AO⊥BC.
如图，已知在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，并且OA=OC．求证：点O在 BC的垂直平分线上.
∴点O在BC的垂直平分线上.（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∵ ON是AB的垂直平分线,（已知）
∴ OA=OB.（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）
∵ OA=OC,（已知）
∴ OB=OC.（等量代换）
　　如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点 D和E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长 为半径作弧，两弧相交于点F.
直线CF就是所求作的垂线.
过直线外一点作已知直线的垂线
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
如图，求作点P，使PA＝PB，且点P到∠MON两边的距离相等．
解：(1)作∠MON的角平分线；(2)作线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交于点P，那么，点P即为所求作的点.
1.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（　　）A．50°B．70°C．75°D．80°
2.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　 　度．
2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(　　)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定
3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 cm.
4. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段 __________ 的垂直平分线上．
解析：∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.
1. 如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？
答：△ABC 三边垂直平分线的交点上.
2.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.
证明：∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C，∴ED＝EC在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）∴OD＝OC.∴O，E都在CD的垂直平分线上.∴OE垂直平分CD.
如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.∵AC＋AD＋DC＝14 cm，∴AC＋AD＋BD＝14 cm.即AC＋AB＝14 cm.设AB＝x cm，AC＝y cm.根据题意，得 解得∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.