初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.1 图形的轴对称15.1.2 线段的垂直平分线导学案及答案

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【知识点1 线段垂直平分线的定义及性质】
1.定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。（垂直平分线又叫中垂线）
2.性质：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．
证明：当点P与点C不重合时，
∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．
【典题练习】
【例1】如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）

A．21B．14C．13D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，
∴AD=BD，
∴△BDC的周长=BD+BC+CD=BC+CD+AD=BC+AC=8+5=13，
故选：C．
【练1】如图，把△ABC折叠，使点B与点C重合，展开后得到折痕与BC交于点M，交AB于点N，连接AM,CN，则下列结论正确的是（ ）
A．AM平分∠BACB．AM⊥BCC．BN=CND．AM=CN
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
由题中折叠可知，MN为线段BC的垂直平分线，可得到BN=CN，即可求解．
【详解】解：由题中折叠可知，MN为线段BC的垂直平分线，
∴BN=CN，故C正确，符合题意，
其余选项均不能证明，不符合题意，
故选：C．
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
【典题练习】
【例2】如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．
先由线段垂直平分线的性质得到PA=PB,PB=PC，则PA=PC，再由线段垂直平分线的判定即可证明．
【详解】证明：∵边AB,BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB,PB=PC．
∴PA=PC．
∴点P必在AC的垂直平分线上．
【练2】如图，已知：AB=AC，DB=DC，点E在AD的延长线上．
(1)求证：AE垂直平分BC；
(2)求证：△BDE ≌△CDE
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质．
（1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题;
（2）由线段垂直平分线的性质定理推出BE=CE，即可证明△BDE≌△CDESSS．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，DB=DC，
∴点A和D都在线段BC的垂直平分线上，
∴AE垂直平分BC；
（2）证明：由（1）知AE垂直平分BC，
∴BE=CE，
在△BDE和△CDE中，
BE=CEDE=DEBD=CD，
∴△BDE≌△CDESSS．
【能力闯关】
【基础关】
1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线性质可推出∠EAC=∠C，通过直角三角形性质和三角形外角定义即可求出∠C的度数.
【详解】解：∵ ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C.
∵ ∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=80°，
∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=40°.
故选：B.
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角定义，解题的关键在于熟练掌握线段的垂直平分线性质.
2.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF=6，CD=5，则△ABC的周长为（ ）
A．24B．22C．20D．18
【答案】B
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到AC=CF=6，AB=AC=6，CD=BD=5，进而求解即可．
【详解】∵CE垂直平分AF，CF=6
∴AC=CF=6
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC=6，CD=BD=5
∴△ABC的周长为AC+AB+CD+BD=6+6+5+5=22．
故选：B．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC+BC=____________.
【答案】50cm
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，进而可得△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50cm，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50cm，
4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC．
(2)若∠B=35°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)75°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）连接AE，利用线段垂直平分线的性质证得AE=BE，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论；
（2）由三角形的外角的性质可得∠AEC=2∠B，进而得到∠C，然后在△ABC中，利用三角形内角和定理即可解答．
【详解】（1）证明：连接AE，
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴AE=BE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC．
（2）解：∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=35°，
∴∠AEC=2∠B=70°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2∠B=70°，
在△ABC中，∠C=70°，∠B=35°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=75°．
5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．
(1)求证：AD是EF的垂直平分线；
(2)若AB=4，AC=5，ED=2，求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
（1）根据AAS证明△ADE≌△ADF，得出AE=AF，DE=DF，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证；
（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD求解即可．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
又AD=AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF，DE=DF，
∴A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD是EF的垂直平分线；
（2）解：∵AB=4，AC=5，ED=2=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
=12AB⋅DE+12AC⋅DF
=12AB⋅DE+12AC⋅DE
=12DEAB+AC
=12×2×9
=9．
【提升关】
6.如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）

A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三边的垂直平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可．
【详解】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，
∴凉亭应选的位置是△ABC三边的垂直平分线的交点，
故选：C
7.我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（ ）
A．BO=DO，AC⊥BDB．∠DAC=∠BAC，AD=AB
C．∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCAD．∠ADC=∠ABC，BO=DO
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识；
根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明△ADC≌△ABC可判断B、C选项，由∠ADC=∠ABC，BO=DO不能判断AB=AD，CB=CD即可判断D选项，进而可得答案.
【详解】解：A、∵BO=DO，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AD=BD,CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形；
B、∵AD=AB，∠DAC=∠BAC，AC=AC，
∴△ADC≌△ABC，
∴CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形；
C、∵∠DAC=∠BAC，AC=AC，∠DCA=∠BCA，
∴△ADC≌△ABC，
∴AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形；
D、由∠ADC=∠ABC，BO=DO不能判断AB=AD，CB=CD，故不能判断四边形ABCD是筝形；
故选：D.
8.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在线段 的垂直平分线上.
【答案】AC
【分析】根据到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可直接判断.
【详解】解：∵BC=BD+AD,
∴AD=BC-BD,
∵CD=BC-BD,
∴AD=CD,
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
故答案为AC.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理.
9.如图AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，连接BE，DE．若∠CDE=65°，则∠ABE的度数为 ．
【答案】65°/65度
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．连接AE，CE，证明△ABE≌△CDESSS，则∠ABE=∠CDE=65°，即可得到答案．
【详解】解：连接AE，CE，
∵线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，
∴AE=CE,BE=DE，
∵AB=CD，
∴△ABE≌△CDESSS，
∴∠ABE=∠CDE=65°，
故答案为：65°
10.已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

(1)求证：BE=CF；
(2)若AF=8，BC=10，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质；
（1）连结CD，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出BD=CD，DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDFHL，即可得出结论；
（2）证明△AED≌△AFDAAS，可得AE=AF=8，然后求出△ABC的周长为AF+AE+BC，计算即可．
【详解】（1）证明：连接CD，

∵D在BC的中垂线上，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∴Rt△BDE≌Rt△CDFHL，
∴BE=CF；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△AFDAAS，
∴AE=AF=8，
由（1）可知BE=CF，
∴△ABC的周长为：AC+AB+BC=AF−CF+AE+BE+BC=AF+AE+BC=8+8+10=26．