预习课第09讲 轴对称、垂直平分线 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

这是一份预习课第09讲 轴对称、垂直平分线 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024），文件包含预习课第09讲轴对称垂直平分线暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册人教版2024原卷版docx、预习课第09讲轴对称垂直平分线暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册人教版2024解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。
1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 轴对称图形的识别
【题型二】 垂直平分线的定义和性质
【题型三】 垂直平分线的判定及其应用
【题型四】 垂直平分线的尺规作图
【题型五】 三角形的外心
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.了解轴对称和两个图形关于某直线对称的概念；
2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴；
3.了解线段垂直平分线的定义；
4.掌握线段垂直平分线的性质和判定.
1 轴对称图形
(1)轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称.
(2)两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点事对应点，叫做对称点；
轴对称图形与两个图形形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形，而两个图形形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系.
2 垂直平分线的
(1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；
(2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(3)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
(4)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
3 三角形的外心
(1)定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心.
(2)三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心.
如下图，直线m，n，l分别是三角形ABC三边AB、AC和BC的垂直平分线，它们会交于一点O，点O就是三角形ABC的外心.
【题型一】轴对称图形的识别
相关知识点讲解
1 引入
你们看到以上的图像，第一个感觉是什么？你们能讲出来它们的共同特征么？还能举出一些其他与它们具有相同特征的图形么？
2 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称.
【典题1】（2025·云南楚雄·二模）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
变式练习
1（2025·贵州贵阳·二模）2024年，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，列入联合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．春节民间有剪窗花的习俗，人们用剪窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
E．
2（2025年天津市河北区九年级二模数学试题 ）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3（2025·云南德宏·一模）2016年，联合国教科文组织将我国申报的“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
【题型二】垂直平分线的定义和性质
相关知识点讲解
(1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；
如下图，l⊥AB，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线，或称中垂线.
(2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
如下图，若l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，则PA=PB.(利用全等三角形可证明)
【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（ ）

A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
【典题2】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD和AC边的垂直平分线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AM=2,BC=7，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式练习
1（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5．则△BEC的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
2（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在四边形ABCD中，BE是边AD的垂直平分线，BF是边DC的垂直平分线，则下列结论一定正确的是（ ）
A．BE=BF B．AB=BC
C．∠A=∠C D．∠ABC=∠D
3（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在△ABC中，BC=10cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于F，则△BDF的周长是（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
4（2025·山东聊城·二模）在△ABC中，作∠BAC的平分线交BC于点D，作AD的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，连接DE，DF，得到四边形AEDF．若AE=4，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．16B．83C．8+43D．8+83
5（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△AED和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③AE=AF；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ）
A．②③B．②④C．①③④D．②③④
6（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE．
(1)求证：AB=EC；
(2)若△ABC的周长为32cm，AC=12cm，求DC的长．
【题型三】垂直平分线的判定及其应用
相关知识点讲解
垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
如下图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上；(利用全等三角形可证明)
拓展：若PA=PB，QA=QB，则PQ是线段AB的垂直平分线.
【典题1】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点C是∠AOB的平分线上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，连接DE交OC于点F，则下列结论中正确的个数为（ ）
①CD=CE；②DE⊥OC；③OD=OE；④∠OCD=∠OCE；⑤OF=2CF
A．2B．3C．4D．5
【典题2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．
(1)求BC的长；
(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
变式练习
1（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB=OC，若BC=4，则BD的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB=AD，CB=CD，则有（ ）
A．AC与BD互相垂直平分B．AC垂直平分BD
C．BD垂直平分ACD．BD平分∠ABC
3（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G．
(1)求证：AD是EF的垂直平分线；
(2)若△ABC的面积为8，AB=3，DF=2，求AC的长．
【题型四】垂直平分线的尺规作图
相关知识点讲解
尺规作图：作线段AB的垂直平分线.
作法：以A,B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于P，Q，作直线PQ，则直线PQ所求直线.

【典题1】（2025·陕西·模拟预测）如图，已知△ABC，利用尺规作图法作线段AD，使得AD将△ABC的面积平分，且点D在线段BC上．（不写作法，保留作图痕迹）
变式练习
1（24-25八年级上·山西大同·期中）尺规作图．如图，市政府要在S区修建一个旅游打卡地． 按照设计要求，该旅游打卡地到两个社区A，B距离必须相等，到两条市内公路m和n的距离也必须相等．则该旅游打卡地应修建在什么位置？ 在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）

【题型五】三角形的外心
【典题1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线PD，PE相交于点P．
(1)求证：PA=PB=PC；
(2)请判断点P是否也在边AC的垂直平分线上？并说明理由；
(3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可）
变式练习
1（2025·广东深圳·二模）下列尺规作图中，点P到三角形三个顶点的距离相等的是（ ）
A．B．C．D．
2（22-23九年级上·江苏徐州·期末）联欢会上，甲、乙、丙三人分别站在地面上△ABC的三个顶点处，在△ABC内部放置一个圆凳，游戏开始后，三人同时出发，抢先坐到圆凳者获胜．为使游戏公平，圆凳应放置在△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．中心
3（18-19九年级下·山东济南·阶段练习）如图，△ABC的外心坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣1，﹣1）
4（21-22八年级上·河南南阳·期末）定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．如图，直线l1 ，l2，分别是边AB，AC的垂直平分线，直线l1和l2相交于点O，点O是△ABC的外心，l1交BC于点M，l2交BC于点N，分别连结AM，AN，OA，OB，OC．若OA=6cm，△OBC的周长为22cm，则△AMN的周长等于（ ）cm
A．8B．10C．12D．14

【A组---基础题】
1（2025·河南平顶山·三模）草长莺飞二月天，九年级的同学进行了放风筝比赛，下面风筝的简笔画中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC=10，AC=6，则△ACD的周长是（ ）

A．14B．16C．18D．20
3（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（ ）
A．三条高的交点B．三条垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点
4（2025·浙江·二模）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF．若AB=6，BC=7，则△ABF的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
5（2025·湖北武汉·一模）如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，直线EF交AC于点D，连接BD，若∠CDB=40∘，则∠A的大小是（ ）
A．26∘B．24∘C．22∘D．20∘
6（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AE=AF；②AD垂直平分EF；③EF垂直平分AD；④AD平分∠EDF．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7（2025·广东云浮·一模）如图，AD是△BAC的角平分线．
(1)尺规作图：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F，交AD于点G（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求证：AE=AF．
8（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC延长线于G.
(1)求证：BF=CG.
(2)猜想AB、AC、AF的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若AB=10cm，AC=6cm，则BF=________cm.
【B组---提高题】
1（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，则∠EBD的度数为（ ）
A．168°B．158°C．128°D．118°
2（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，P是△BAC内部一点，P关于AB，AC的对称点分别是点P1，点P2，连结P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连结PM，PN，下列结论：①△P1P2A一定是等边三角形；②∠P1AP2=2∠BAC；③△PMN的周长等于线段P1P2的长；④2∠BAC+∠MPN=180°．其中正确的结论是（ ）
A．②③B．①④C．②③④D．①②③④