第11讲 轴对称（5个知识点+10个考点）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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知识点1.轴对称图形（重点）
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点归纳：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
知识点2.轴对称（难点）
两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点归纳：
若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
知识点3.线段的垂直平分线（重点）
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
求做线段AB的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点归纳：
作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
知识点4.轴对称和轴对称图形的性质（难点）
在轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点归纳：
轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
知识点5.对称轴的画法（重点）
画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤(1)找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点;
(2)连接这对对应点;
(3)画出对应点所连线段的垂直平分线
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
注意：画对称轴的依据是轴对称图形或两个图形成轴对称的性质，即对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
考点1.轴对称图形的识别
【例1】下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对称图形，只有(3)是轴对称图形．故选B.
方法总结：要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式1-1】（2023•益阳）如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
【解答】解：由轴对称图形定义可知D选项中的图形是轴对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．
【变式1-2】（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式1-3】在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．
【分析】根据轴对称图形的定义，结合题意，补充图形即可
【详解】如图：有5种方法：
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
考点2.判断对称轴的条数
【例2】下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )
A．正方形 B．等腰三角形 C．长方形 D．圆
解析：A.正方形有四条对称轴；B.等腰三角形有一条对称轴；C.长方形有两条对称轴；D.圆有无数条对称轴．故选C.
方法总结：判断对称轴的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏．
【变式2-1】如图所示的图形是轴对称图形，其对称轴共有（ ）
A．1条B．2条C．4条D．无数条
【答案】C
【解析】略
【变式2-2】（22-23八年级上·江苏·期中）在“线段、锐角、等边三角形、圆、正方形”这五个图形中，对称轴最多图形的是 ．
【答案】圆
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．写出每个图形的对称轴的数量即可得答案.
【详解】解：线段是轴对称图形，有2条对称轴；
锐角是轴对称图形，有1条对称轴；
等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴；
圆是轴对称图形，有无数条对称轴；
正方形是轴对称图形，有四条对称轴；
故在“线段、锐角、等边三角形、圆、正方形”这五个图形中，对称轴最多的图形是圆．
故答案为：圆．
【点睛】此题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．同时要熟记一些常见图形的对称轴条数．
【变式2-3】.如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【解答】解：如图，
将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，
故选：C．
考点3.应用轴对称的性质求值或证明
【例3-1】如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( )
A．130° B．150° C．40° D．65°
解析：∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°－150°－40°－40°＝130°.故选A.
方法总结：轴对称其实就是一种全等变换，所以轴对称往往和三角形的内角和、外角的性质综合考查．
【例3-2】如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半，∵正方形ABCD的边长为4cm，∴S阴影＝eq \f(1,2)×42＝8(cm)2.故选B.
方法总结：正方形是轴对称图形，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
【例3-3】如图，O为△ABC内部一点，OB＝eq \f(7,2)，P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点．
(1)请指出当∠ABC是什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时等于7的理由．
(2)承(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
解析：(1)连接PB、RB，根据轴对称的性质可得PB＝OB，RB＝OB，然后判断出点P、B、R三点共线时PR＝7，再根据平角的定义求解；(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．
解：(1)如图，∠ABC＝90°时，PR＝7.证明如下：连接PB、RB，∵P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点，∴PB＝OB＝eq \f(7,2)，RB＝OB＝eq \f(7,2).∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠CBR＝∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR＝2×eq \f(7,2)＝7；
(2)PR的长度小于7，理由如下：∠ABC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB＋BR＞PR，∵PB＋BR＝2OB＝2×eq \f(7,2)＝7，∴PR＜7.
方法总结：利用轴对称的性质可以将线段进行转化，然后结合三角形的任意两边之和大于第三边的性质予以解答，总之熟记各性质是解题的关键．
【变式3-1】．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，E为上一点，A和E关于对称，B点和C点关于对称，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据对称的性质得到．根据对称的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵A和E关于对称，
∴，
∵B点和C点关于对称，
∴，
∴，
设，则，
在中，
解得，即．
故选：B．
【变式3-2】．（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，若，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质；
先根据三角形内角和定理求出，再根据轴对称的性质得出的度数，然后可计算的大小．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是轴对称图形，
∴，
∴，
故选：A．
【变式3-3】．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，已知和关于直线对称，延长，，分别交，于点D，E，则与有什么数量关系，请说明理由．
【答案】
【分析】此题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定和性质，利用轴对称的性质找出两个三角形中对应角和对应边相等是解题关键．根据轴对称的性质，再利用与所在的两个三角形全等解答即可．
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴，．
在和中， ，
∴，
∴．
考点4.轴对称在折叠问题中的应用
【例4】如图，将长方形纸片先沿虚线AB向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是( )
解析：∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A.∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D，排除B与C.故选D.
方法总结：对于此类问题，要充分发挥空间想象能力，或亲自动手操作答案即可呈现．
【变式4-1】将一个正方形纸片依次按图a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开
铺平，所得到的图形是图中的 （ ）
【思路点拨】根据轴对称的性质将最后一个图形一步一步的还原，做出他关于某条对称轴的对称图形，即可得到最后的答案.
【答案】D；
【解析】
【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就能找到答案，或者就真正的实际动手操作一下，这里推荐利用我们所学过的轴对称的知识解决问题．
【变式4-2】（2023秋·八年级课时练习）如图，将长方形沿翻折，使点D落在边上的点F处，，那么等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由由翻折可知，，推出，．据此求解即可．
【详解】解：方法一 ∵四边形是长方形，
∴．
由翻折可知，，
∴，．
∵，
∴，
∴；
方法二 ∵四边形是长方形，
∴，，
∴．
由翻折可知，，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于利用折叠的性质进行解答．
【变式4-3】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长交于点E，利用四边形的内角和定理得到：，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得的值，即可求解．
【详解】解：延长交于点E，设交于点F，如图，
∵四边形的内角和为，
∴，，
∴．
由折叠的性质可得：．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握四边形的内角和为360度和折叠的性质是解题的关键．
考点5.应用线段垂直平分线的性质求线段的长
【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故选C.
方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
【变式5-1】（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线的交点恰好在上，且，则的长为

【答案】
【分析】根据垂直平分线的性质可得，问题随之得解．
【详解】解：∵的垂直平分线与的垂直平分线的交点恰好在上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．
【变式5-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，则的周长为 ．
【答案】11
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：11．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【变式5-3】（2023春·江西九江·八年级校考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为10，，求与的长．

【答案】，
【分析】根据题意可知，然后根据，可得出的长度，即可获得答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∵的周长为10，即，
∴，即，
∵，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
考点6.线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用
【例6】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
【变式6-1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．

(1)若的周长为19，的周长为7，求的长．
(2)若，，求∠CDE的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式6-2】．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)请你判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，垂直平分线的性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）先利用判定，从而得出；
（2）再利用全等的性质可得，再有，从而得出，两边和大于第三边从而得出．
【详解】（1）
证明：，
．
为的中点，
又，
在与中，
．
．
（2）证明：．
，
，．
又，
（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
在中，，
即．
考点7.线段垂直平分线与角平分线的综合运用
【例7】如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；
(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝AD，,OC＝OD，,AO＝AO，))∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
【变式7-1】．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，垂直平分于点D．

(1)求证：
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
本题考查全等三角形判定及性质，角平分线的性质定理及线段垂直平分线的性质定理；
（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）根据线段垂直平分线的性质定理可知，然后问题可求解．
【详解】（1）
解：，平分，，
，
在和中，
，
；
（2）
解：由（1）可知：，
∵垂直平分，
∴，
．
【变式7-2】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，与的周长之差为8cm，且的面积为，求的面积．
【答案】(1)
(2)的面积为
【分析】（1）由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，由三角形外角的性质可求出，最后由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，，由与的周长之差为8cm计算可得，由角平分线的性质可得，由三角形的面积可求得，最后由三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴．
垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：垂直平分，
∴，，
∵与的周长之差为8cm，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴的面积，
答：的面积为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义与性质、三角形内角和定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
考点8.线段垂直平分线的判定
【例8】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解析：先利用角平分线的性质得出DE＝DF，再证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF.
解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DAE＝∠DAF，,∠AED＝∠AFD，,AD＝AD，))∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．
【变式8-1】（2023秋·八年级课时练习）如图，为的角平分线，，请判断线段所在的直线是否为线段的垂直平分线，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

【分析】方法一 ：定义法：如图，设与的交点为O．通过证明，得到，．进而得出．即可得出线段所在的直线是线段EF的垂直平分线．
方法二：判定定理法：通过证明，得出．则点D在线段EF的垂直平分线上．根据，得出点A在线段的垂直平分线上．即可得出线段所在的直线是线段EF的垂直平分线．
【详解】线段所在的直线是线段EF的垂直平分线．
证明如下：
方法一：定义法：
如图，设与的交点为O．
∵是的平分线，
∴．
在和中，
∴，
∴（此处得到后，也可根据判定定理法证明），．
又∵，
∴，即．
∴线段所在的直线是线段EF的垂直平分线．
方法二：判定定理法：
∵是的平分线，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∴点D在线段的垂直平分线上．
又∵，
∴点A在线段的垂直平分线上．
∴线段所在的直线是线段EF的垂直平分线．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；垂直平分线上的点到两端距离相等．
【变式8-2】（2023秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F
(1)求证∶
(2)若，求证：点P在的垂直平分线上．
【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）连接、，通过证明，得到，即可求证．
【详解】（1）证明：∵点P为的平分线上一点
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
（2）证明：连接、，如下图：
由（1）可得：
又∵，
∴
∴
∴点P在的垂直平分线上
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
【变式8-3】（2023春·湖南郴州·八年级统考开学考试）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F．

(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若的面积是，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质得出，说明点D在的垂直平分线上，证明，得出，说明点A在的垂直平分线上，即可证明结论；
（2）根据，，得出求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵为的平分线，，，
∴，
∴点D在的垂直平分线上，
∵，
∴，
∴，
∴点A在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）解：∵，
∴
，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握垂线平分线的判定和角平分线上的点到角的两边距离相等．
考点9.垂直平分线的作法
【例9】如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB的垂直平分线)
解析：本题其实就是作线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可．
解：作法：(1)分别以点A、B为圆心，以大于eq \f(1,2)AB的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点；
(2)作直线EF，EF即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
方法总结：要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．
【变式9-1】如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
解析：(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．
解：(1)如图所示：
(2)在△AMP和△BNP中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AM＝PN，,PM＝BN，,AP＝BP，))∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.
方法总结：解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．
【变式9-2】如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?
解析：作线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A，B的距离相等．
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
【变式9-3】如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解析：到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．
解：如图，点P为所求．
方法总结：通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．
考点10.对称轴的画法
【例10】画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色)．
解析：利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可．
解：如图所示：
方法总结：画轴对称图形的对称轴，先找出对称点，然后作对称点的垂直平分线即可．
【变式10-1】作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
【答案】见解析
【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．
【详解】解：根据分析画各图的对称轴如下：
．
【点睛】本题考查了画对称轴，根据轴对称图形的特征，作一个图形的对称轴时，可连结两个对称点，对称轴就是对称点连线的垂直平分线．
【变式10-2】试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地，一个正n边形有多少条对称轴？
【答案】3条，4条，5条，6条，8条；一个正n边形有n条对称轴．
【分析】根据图形的性质，分别找出对称轴的条数
【详解】正三角形的对称轴为三条高线所在的直线，共3条对称轴，
正方形的对称轴为两条对角线所在的直线，和两条对边中点连线所在的直线，共4条对称轴，
正五边形的对称轴为各边中点与其所对的角的顶点的连线所在的直线，共5个顶点，则共5条对称轴，
正六边形的对称轴与正方形的类似，3条对角线所在的直线，和3条对边中点连线所在的直线，共6条对称轴，
正八边形的对称轴与正方形，正六边形的类似，4条对角线所在的直线，和4条对边中点连线所在的直线，共8条对称轴，
一般地，一个正n边形有n条对称轴．
【点睛】本题考查了正多边形的对称轴的条数，理解轴对称的性质是解题的关键．
【变式10-3】如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．
解析：根据轴对称的性质画出图形即可．
解：如图所示：
方法总结：解答此类问题，一般要先设计出轴对称图形，然后根据图形的特点，画出对称轴．
一．选择题（共5小题）
1．（2024•大连一模）下列手机中的图标是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2024•河北）如图，与交于点，和关于直线对称，点，的对称点分别是点，．下列不一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据和关于直线对称得出，，，然后逐项判断即可．
【解答】解：如图，连接、，
和关于直线对称，
，，，
，
故、、选项正确，
不一定垂直，故选项不一定正确，
故选：．
【点评】本题考查轴对称的性质，关于某条直线对称的两个三角形全等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
3．（2023秋•海口期末）如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为19，则的周长为
A．13B．14C．15D．16
【分析】根据垂直平分线的性质，得，；根据的周长为19，则，可得到，即可得到的周长．
【解答】解：是的垂直平分线，
，，
，
的周长为19，
，
，
的周长为，
故选：．
【点评】本题考查线段的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的周长公式．
4．（2023秋•太和县期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是
A．B．C．D．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解．
【解答】解：如图所示，根据题意作对称图，
故选：．
【点评】本题主要考查轴对称的图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
5．（2023秋•凤山县期末）如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，则与成轴对称且以格点为顶点三角形共有
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】解答此题首先找到的对称轴，、、，等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【解答】解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有、、、，共5个，
故选：．
【点评】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2023秋•阳谷县期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．
【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
7．（2023秋•闵行区期末）如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点、，垂足为、，若，则 40 度．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：，
，
边，的垂直平分线分别交于点，，
，，
，，
，
，
故选：40．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2024春•新郑市期末）如图，中，的垂直平分线交于点，若的周长14，的周长24，则 5 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：是的垂直平分线，
，，
的周长14，
，
，
的周长24，
，
，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（2024•碑林区校级模拟）正十边形有 十 条对称轴．
【分析】根据正十边形的轴对称性解答．
【解答】解：正十边形有十条对称轴．
故答案为：十．
【点评】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟记正十边形的轴对称性是解题的关键．
10．（2024春•市北区期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的长为，则的周长等于 20 ．
【分析】由的垂直平分线交于点，交边于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长．
【解答】解：是的垂直平分线，
，
，的长为，
的周长．
故答案为：20．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
三．解答题（共4小题）
11．（2024春•松江区校级月考）如图：已知中，，中，，连接并延长交于．试说明的理由．
【分析】根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，可得点、在线段的垂直平分线上，易得垂直平分线段，即可证明结论．
【解答】证明：，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分线段，
延长线交于，
．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质定理是解题关键．
12．（2024春•临川区校级月考）如图，在中，，于点，于点，，相交于．试判断所在直线与的位置关系并说明理由．
【分析】由等腰三角形的性质和垂线定义证，再由等腰三角形的判定即可得出；证直线是的垂直平分线，即可得出结论．
【解答】解：直线是的垂直平分线，理由如下：
，
，
于点，于点，
，，，
，
，
，
直线是的垂直平分线，
直线．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
13．（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，与相交于点，则点即为所求．
【解答】解：如图所示：
（1）连接，分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为线段的垂直平分线；
（2）以为圆心，以任意长为半径画圆，分别交、于、，再分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为的平分线（或的外角平分线）；
（3）与相交于点，则点即为所求．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线及角平分线的作法及性质，熟知此知识是解答此题的关键．
14．（2023秋•嵩县期末）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．
（1）如图，的周长为18，求的长．
（2）求，，求的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算；
（2）根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）垂直平分，
，
，
又，
，
又的周长，
，
；
（2），
，
又垂直平分，
，
，
又，
，
，
．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
了解轴对称图形、两个图形成轴对称的意义会识别轴对称图形及轴对称。
掌握线段垂直平分线的判定和性质，会用集合的观点解释线段的垂直平分线。
能用尺规准确地作出线段的垂直平分线，并会作轴对称图形及成轴对称的两个图形的对称轴。