第14讲 等边三角形与含30度角的直角三角形【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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知识点1.等边三角形及其性质（重点）
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
知识点2.等边三角形的判定（重点）
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
知识点3.含30°角的直角三角形的性质（重点）
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
考点1.利用等边三角形的性质求角度
【例1】如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．
【变式1-1】如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135°B．125°C．120°D．110°
【分析】利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明△DAC≌△BAE，可得∠ADC＝∠ABE，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∠ADB＝DBA＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BOC＝∠BDO+∠DBA+∠ABE
＝∠BDO+∠DBA+∠ADC
＝∠ADB+∠DBA
＝60°+60°
＝120°，
∴∠BOC的度数是120°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转性全等是解题的关键．
【变式1-2】（2023秋•兴国县期末）如图，已知在等边三角形中，，，连接并延长，交的延长线于点，求的度数．
【分析】根据等边三角形的性质得出，再利用等式的性质进行解答即可．
【解答】解：在等边三角形中，
（等边三角形的意义），（已知），
（等腰三角形三线合一），
（等边三角形的性质），
（等量代换），
（已知），
（等边对等角），
在中，（三角形的内角和等于180度），
（等式的性质），
在中，（三角形的内角和等于180度），
（等式的性质）．
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三边相等和三线合一的性质分析．
【变式1-3】为等边三角形，点是边上任意一点，点是边上任意一点，且，与相交于点，求度数．
【分析】根据证明得出，再由，即可推出结果．
【解答】解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
考点2.利用等边三角形的性质证明线段相等
【例2】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.
解析：要证BM＝EM，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE为等腰三角形即可．
证明：连接BD，∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)×60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴BM＝EM.
方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法．
【变式2-1】如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为．
求证：（1）；
（2）是的中点．
【分析】（1）由等边的性质可得：，然后根据等边对等角可得：，最后根据外角的性质可求，根据含角的直角三角形的性质即可求证；
（2）连接，由等边三角形的三线合一的性质可得：，由（1）可得：，然后根据等角对等边，可得：，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得是的中点．
【解答】证明：（1）三角形是等边，
，
又，
，
又，
，
，
；
（2）连接，
等边中，是的中点，
由（1）知
又
是的中点．
【点评】此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．
【变式2-2】．（2023秋•赵县期末）如图是等边三角形，是中线，延长到，使．求证：．
【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到．
【解答】证明：是等边三角形，是中线，
．
（等腰三角形三线合一）．
又，
．
又，
．
．
（等角对等边）．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．
【变式2-3】．（2023秋•凉州区校级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，求的周长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论；
（2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：为等边三角形，是中线，
，，
，
，
．
；
（2）解：，
，，
，
．
为等边三角形，是中线，
，
的周长．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，关键是等边三角形性质定理的应用．
考点3.等边三角形的性质与全等三角形的综合运用
【例3】△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠BQM＝∠ABC＝60°.
解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝BC，,∠ABC＝∠C，,BM＝CN，))
∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．
【变式3-1】（2023秋•忻州期末）如图：和是等边三角形．证明：．
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到．
【解答】证明：和是等边三角形（已知），
，，（等边三角形的性质）．
（等式的性质），即．
在与中，
，
．
（全等三角形的对应边相等）．
【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
【变式3-2】为正三角形，点是射线上任意一点，点是射线上任意一点，且，与相交于点，等于多少度？
【分析】先根据已知利用判定，再根据全等三角形的性质求得．
【解答】解：（1）点在的内部时，如图：
为正三角形
，
在和中
，
，
，
，
又（全等三角形对应角相等），
，
又，
，
，
，
（全等三角形对应角相等）．
（2）当点在的外部时，如图：
同理可得：，
，
则，
综上，或．
备注：（1）也可以采取以下方法：
为正三角形
，
在和中
又（全等三角形对应角相等）
又
．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．
【变式3-3】如图，是等边三角形，点是上任意一点，点是上任意一点，且，直线与相交于点，就下面给出的两种情况，猜测等于多少度，并利用图②说明结论的正确性．
【分析】根据等边三角形的性质得出，，根据推出，根据全等得出，求出，即可得出答案．
【解答】解：
是等边三角形，
，，
在和中
，
，
又，
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
考点4.等边三角形的判定
【例4】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
解析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.在△ABP与△ACQ中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AC，,∠ABP＝∠ACQ，,BP＝CQ，))∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
【变式4-1】．（2023秋•崆峒区期末）如图，在等边三角形中，点、、三点在同一条直线上，且，．判断是什么形状，并说明理由．
【分析】利用证明得到，再证明即可证明是等边三角形．
【解答】解：是等边三角形，理由如下：
是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
，即，
是等边三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握这些判定是解题的关键．
【变式4-2】．（2023秋•白河县期末）如图，在中，，过点作，若，求证：是等边三角形．
【分析】根据两种方法进行证明三角形是等边三角形即可．
【解答】证明：证法一：，
，
，
在中，
，
．
是等边三角形；
证法二：，
．
，
．
在中，
．
是等边三角形．
【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据两种方法解答．
【变式4-3】．（2023秋•蛟河市期末）如图，已知为的中点，，，点，为垂足，且，，求证：是等边三角形．
【分析】利用“”证明和全等，再根据全等三角形对应角相等可得，然后根据等角对等边得到，再求得，即可解答．
【解答】证明：是的中点，
，
，，
和都是直角三角形，
在和中，
，
，
，
（等角对等边）．
，，
，
是等边三角形．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明．
考点5.等边三角形的性质和判定的综合运用
【例5】图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
解析：(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．(2)先求∠MCN＝60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE＝CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．
解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝MC，,∠ACN＝∠MCB，,NC＝BC，))∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.
(2)△CEF是等边三角形．证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.在△ACE和△MCF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CAE＝∠CMF，,AC＝MC，,∠ACE＝∠FCM，))∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．
方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件．
【变式5-1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，点在等边三角形的边上，点在的延长线上，，交于点，．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过作交于，通过证明，得到，再根据等边三角形的性质即可得到答案；
（2）先求出，得到，，得到，由（1）得，是等边三角形，从而得到，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：过作交于，则，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
是等边三角形，
∴；
（2）解：如图，
，
是等边三角形，，
，，
∵，
∴，
∴，
，
由（1）得：，是等边三角形，
，，，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，等角对等边等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式5-2】．（2023秋•娄底期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．
（1）点、运动几秒时，、两点重合？
（2）点、运动几秒时，可得到等边三角形？
（3）当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间．
【分析】（1）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程，的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点、运动秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要三角形就是等边三角形；
（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，，的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】解：（1）设点、运动秒时，、两点重合，
，
解得：；
（2）设点、运动秒时，可得到等边三角形，如图①，
，，
三角形是等边三角形，
，
解得，
点、运动4秒时，可得到等边三角形．
（3）当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时、两点重合，恰好在处，
如图②，假设是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形，
，，，
，
解得：．故假设成立．
当点、在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时、运动的时间为16秒．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
【变式5-3】．（2023秋•黔东南州期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”、“ ”或“” ．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， （填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【分析】（1）由为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2），理由如下，过点作，交于点，由三角形为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证；
（3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可．
【解答】解：（1）当为的中点时，；
（2），理由如下，过点作，交于点，
证明：为等边三角形，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
则；
（3）点在延长线上时，作，则为等边三角形，
如图所示，同理可得，
，，
，
，
则．
故答案为：（1）；（2）
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
考点6.利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
【例6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
【变式6-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】根据三角形内角和可得∠BDC＝30°，进而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，
∴AD＝BD，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝8＝AD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
【变式6-2】如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【分析】连接BE，由等边三角形的性质可求得∠ABC＝60°，∠ABE＝∠CBE＝30°，结合直角三角形的性质可求∠EBC＝∠D＝30°，BE＝2，由等腰三角形的性质可求得ED的长，进而可求解．
【解答】解：连接BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵EF⊥AB，EF＝1，
∴∠D＝90°﹣∠ABC＝30°，BE＝2EF＝2，
∴ED＝BE＝2，
∴DF＝ED+EF＝2+1＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，证明BE＝ED是解题的关键．
【变式6-3】如图，在等边中，点D、E分别为、边上的点，．连接、相交于点F．

(1)求证：
(2)过A作于点H，当，，时，求线段的长度．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)7
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，从而证明，可得，再根据三角形外角的性质可得，即可得出结论；
（2）由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，求得，由直角三角形的性质可得，从而得出，得出，即可得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质证明是解题的关键．
考点7.与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
【例7】如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3 B．2 C．1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝eq \f(1,2)PC＝eq \f(1,2)×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
【变式7-1】如图，，是平分线上一点，过点分别作于点，交于点．若，则的长为
A．1B．2C．3D．4
【分析】作于，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的性质求出．
【解答】解：作于，
，
，
，
点在的平分线上，，，
，
故选：．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式7-2】如图，，平分，过点作交于点．若，则点到的距离为
A．2B．C．3D．
【分析】过作，，根据角平分线的性质得到，，根据平行线的性质得到，求出即可解决问题．
【解答】解：过作，，
平分，
，，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
考点8.利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系
【例8】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解析：由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到CD＝eq \f(1,2)DB.
解：CD＝eq \f(1,2)DB.理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝eq \f(1,2)∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)BD，即CD＝eq \f(1,2)DB.
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
【变式8-1】如图，在中，，，过点作，恰好是的平分线，求证：
（1）；
（2）
【分析】（1）根据垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1），
，
恰好是的平分线，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，，
，
在直角三角形中，，
．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角和为的性质．
【变式8-2】已知：如图，在中，，，过点作，恰好是的平分线，求证：．
【分析】由条件先证，得，，再根据直角三角形的性质，两锐角的和为，求得即可得证．
【解答】解：，
，
是的平分线，
，又，
，
，，
，
，
，，
，
在直角三角形中，，
．
【点评】本题利用了：①全等三角形的判定和性质，②直角三角形的性质．
【变式8-3】．（2023秋•崇明区期末）已知：如图．在中．．，．求证：．
【分析】根据可知与的关系，由可知的度数，由，又由，可得的度数，由，可得与的关系，从而可以得到与的关系．
【解答】证明：在中．．，
，．
又，
．
．
，，
．
，
．
．
【点评】本题考查三角形的内角和和在直角三角形中角所对的直角边与斜边的关系，关键是明确题意，进行正确的分析，最终得出结论．
考点9.利用含30°角的直角三角形解决实际问题
【例9】某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？
解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
解：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝eq \f(1,2)AB＝20m，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×50×20＝500(m2)．已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．
方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
【变式9-1】（2023秋•阜平县期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为
A．6米B．9米C．12米D．15米
【分析】根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】解：如图，根据题意米，
，
（米，
（米．
故选：．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
【变式9-2】．（2023秋•绥阳县期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为
A．B．C．D．
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：，是的中点，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
【变式9-3】．（2024•郓城县模拟）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是
A．B．C．D．
【分析】过作直线于，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，代入求出即可．
【解答】解：过作直线于，则，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，能根据含角的直角三角形的性质得出是解此题的关键．
一．选择题（共7小题）
1．（2024春•金水区校级期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．上述三种情形都有可能
【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．
【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形．
故选：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握．
2．（2023秋•德庆县期末）中，，，则等于
A．4B．6C．8D．10
【分析】由在中，，，可判定是等边三角形，继而可求得答案．
【解答】解：在中，，，
是等边三角形，
．
故选：．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握有一个角是的等腰三角形是等边三角形定理的应用是解此题的关键．
3．（2023秋•西岗区期末）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于
A．B．C．D．
【分析】由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解．
【解答】解：为等边三角形，
，
是等边三角形的中线，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解的度数是解题的关键．
4．（2023秋•武都区期末）如图，在中，，是高，，，则的长为
A．4B．6C．8D．10
【分析】利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
5．（2024•雁塔区校级三模）如图，是等边的中线，作，交的延长线于点．若，则的长为
A．8B．6C．5D．4
【分析】由等边三角形的性质推出，，，由垂直的定义得到，求出，得到，得到，因此，即可得到．
【解答】解：是等边三角形，
，，
是等边的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出．
6．（2024•临夏州一模）如图所示，在等边三角形中，，为上一点，，则等于
A．B．C．D．
【分析】先根据等腰三角形的性质可知是的垂直平分线，得出，．可求出的值．
【解答】解：在等边三角形中，，
是的线段垂直平分线，
是上一点，
，
，
，
，
又，，
，
故选：．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形外角和内角的关系；熟练掌握并灵活运用这些知识是解决问题的关键．
7．（2023秋•夏津县期末）在中，若，，则的值为
A．3B．4C．5D．6
【分析】先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到．
【解答】解：，
，
为等边三角形，
．
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于．
二．填空题（共6小题）
8．（2023秋•宁江区期中）如图，已知，是射线上的一个动点，．当 5 时，为等边三角形．
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
【解答】解：，
当时，为等边三角形．
故答案为：5．
【点评】本题考查了等边三角形的判定．等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
9．（2024春•浦东新区期末）已知，是等边的边上的高，是边上的中线，与相交于点，那么的度数是 ．
【分析】如图，由已知根据等边三角形的性质知，底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合，可知，所以．
【解答】解：如图，是等边三角形，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质；得到为角平分线是正确解答本题的关键．
10．（2023秋•通河县期末）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ．
【分析】先根据等边三角形的性质得出，，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：等边中，
，平分，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．
11．（2023秋•潜山市期末）如图，在中，，点，，，在同一直线上，点在上，且，，若，则 ．
【分析】由等腰三角形的性质，三角形外角的性质推出，而，判定是等边三角形，即可得到．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到，判定是等边三角形．
12．（2024春•龙华区校级月考）如图，在中，，，则与的数量关系是 ．
【分析】由三角形内角和定理得出，，由含角的直角三角形的性质得出，由三角形外角的定义及性质得出，由等角对等边得出，即可得出答案．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质、等角对等边、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，
13．（2024春•上海期末）如图，点是线段上一点，，与都是等边三角形，联结、交于点，过点作，，垂足为、，联结，如果的面积是，的长是，那么 ．（用含字母和的代数式表示）
【分析】先求出，进而得，由此可依据“”判定和全等得，，再证明和全等得，，进而可得，由此得，则为等边三角形，，然后根据得，即，由此即可得出答案．
【解答】解：和都是等边三角形，
，，，，
，
，，
即，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，的面积是，
，
即，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，列代数式，理解等边三角形的判定和性质，利用三角形的面积公式列出代数式是解决问题的关键，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的难点．
三．解答题（共6小题）
14．（2023秋•红旗区校级期中）已知：如图，平分，，交的延长线于点，且．求证：是等边三角形．
【分析】先由得，再根据角平分线的定义得，然后根据平行线的性质得，，进而得，据此可得出结论．
【解答】证明：，
，
平分，
，
，
，，
，
是等边三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解答此题的关键．
15．（2023秋•安顺期末）如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【分析】（1）是边上的垂直平分线推，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数；
（2）利用角平分线的性质求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）是边上的垂直平分线，
，
．
平分，
，
，
；
（2）平分，，，
，
垂直平分，
．
在 中，
．．
．
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
16．（2023秋•安康期末）如图，是等边三角形，在直线的下方有一点，且，连接交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）过点作，，，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）由（1）证得，进而根据平行线的性质证得，再利用外角的性质求出，利用等角对等边求出．
【解答】（1）证明：是等边三角形，
，
，
垂直平分；
（2）解：是等边三角形，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的相关性质．
17．（2024春•青山湖区期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）当为何值时，为等边三角形？
（2）当为何值时，为直角三角形？
【分析】用含的代数式表示出、．
（1）由于，当时，可得到关于的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于的一次方程，求解得结论．
【解答】解：（1）在中，，，
，
，
，，．
当时，为等边三角形，
即，
；
当时，为等边三角形；
（2）若为直角三角形，
①当时，，
即，
，
②当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形．
【点评】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质，分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于的一次方程是解决本题的关键．
18．（2023秋•息县期末）如图，，与相交于点，．
（1）求证：垂直平分；
（2）过点作交的延长线于，如果；
①求证：是等边三角形；
②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系．
【分析】（1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明；
（2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证；
②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系．
【解答】（1）证明：，，
，，
在的垂直平分上，，
，
在的垂直平分上，
垂直平分；
（2）①证明：设，
，
，
是的外角，
，
由（1），，
，
，
，
，
，
，即，
则，
，
，
是等边三角形；
②为最小值时，与的数量关系是，
理由：
延长至，使，
，
与关于成轴对称，过作于交于，连接，
，
，此时为最小，
由①知：，即，
即，
在中，，
，
为最小值时，与的数量关系是．
【点评】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键．
19．（2023秋•重庆期末）如图，为等腰直角三角形，，为等边三角形，连接．
（1）求的度数；
（2）如图2，作的平分线交于，为线段右侧一点，满足，求证：平分．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到，由等边三角形的性质得到，，则，，由此根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案；
（2）如图所示，过点作于，交延长线于，连接，由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，证明，得到，，则由周角的定义得到，根据四边形内角和定理求出，则，由此证明，得到，即可证明平分．
【解答】（1）解：为等腰直角三角形，，
，
是等边三角形，
，，
，，
；
（2）证明：如图所示，过点作于，交延长线于，连接，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
，，，
，
，
又，
，
，
平分．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等边对等角，四边形内角和定理，角平分线的判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点)
2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点)
3．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)
4．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)