第10讲 重难点拓展：“截长补短模型”证明三角形全等【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：
截长法：
⑴过某一点作长边的垂线；
⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法：
⑴延长短边。
⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。
1．模型分析
当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．
问题：
如图，在中，平分交于点，且，求证：．
截长法：
在上截取，连接，证明即可．
补短法：
延长至点，使，连接，证明即可．
请结合右边的证明结论．求证：．
请结合右边的【模型分析】证明结论．
求证：．
【截长法】
【补短法】
【分析】【截长法】在上截取，连接，证明，得到，再证明即可．
【补短法】延长到，使，连接，可得，由“”可证，可得，可得结论．
【解答】证明：【截长法】
在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，又，
，
而，
，
，
．
证明：【补短法】
延长到，使，连接，
，
，
，且，
，且，，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
题型归纳
【例1】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
如图，在中，，于D，求证：．
【例2】（2022秋•盱眙县期中）【初步探索】
（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系；
【灵活运用】
（2）如图2，为等边三角形，直线，为边上一点，交直线于点，且．求证：；
【延伸拓展】
（3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系．
【例3】．（2021秋•五峰县期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在中，，，为上任一点，
求证：．
【例4】．（2023秋•平桥区期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：．
（1）为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；
（2）如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长．
【例5】．（2021秋•泊头市期中）阅读在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．
应用把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、．
（1）若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；
（2）当时，、、三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）
（3）如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？证明你的结论．
【例6】．（2023秋•建昌县期末）【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，装之间的数量关系 ．
【类比分析】
像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）．
（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系．
过关检测
1.如图，在中，，的平分线交于点．求证：．
2.如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD
3.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.
4.如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.
5．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
6.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
7.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC.
8.如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，求证：．

9.已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，．
求证：．

10.在中，的平分线交于，，，求的大小．

11．已知：在中，，，求证：．
12.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.
13.已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-12∠ADC
14.正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、
CF又有什么数量关系？
15.正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？
16.正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、
DE、BF又有什么数量关系？
17．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
18．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
19．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
在线段上截取
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
延长，使得