初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的加法与减法精品教案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的加法与减法精品教案，共19页。
本节课内容为有理数的加法法则，是在学生已掌握正数与0的加法基础上，引入负数后对加法运算的拓展学习。教材通过物体运动的情境和数轴直观演示，引导学生归纳出有理数加法的三种情况及其运算法则，并进一步验证加法交换律和结合律在有理数范围内仍成立。教学过程从具体情境出发，借助数形结合引导学生抽象概括法则，再通过探究活动验证运算律。本节内容承接了小学正数加法的学习，同时为后续有理数的减法、乘法及实数运算奠定基础。本节课有助于提升学生的符号意识、归纳推理能力和运算能力，帮助学生形成系统的加法运算认知结构，为后续代数运算的学习提供了理论依据和操作方法。
学情分析
七年级学生已掌握正数及0的加法运算，并具备一定的数感和运算能力，为学习有理数加法奠定了基础。同时，学生刚接触负数，抽象思维能力尚在发展中，对符号运算的理解可能存在困难。本节课要求学生理解有理数加法的意义，借助数轴和实际情境归纳出加法规则，掌握同号、异号及与0相加的运算方法。通过探究活动，帮助学生建立分类讨论和数形结合的思想，提升逻辑推理能力和数学表达能力，为进一步学习有理数减法及代数运算打下坚实基础。
教学目标
1.理解有理数加法的意义和分类，掌握有理数加法的三种基本情形，通过具体情境提升数学抽象和符号意识，增强实际问题转化为数学问题的能力。
2.归纳并掌握有理数加法法则，能够正确进行有理数加法运算，培养逻辑推理能力和数学运算素养，提升对绝对值与符号的理解与应用能力。
3.理解有理数加法交换律和结合律的含义，能够在计算中灵活运用运算律简化运算，发展运算策略意识，提高数学思维的灵活性和严谨性。
重点难点
重点：
理解并掌握有理数加法法则，会运用法则进行有理数加法运算；掌握加法运算律并能运用其简化运算。
难点：
理解有理数加法法则的推导，尤其是异号两数相加法则；灵活运用运算律进行简便计算。
课堂导入
同学们，我们先来看一个生活场景。假设你和朋友玩一个游戏，站在一条笔直的道路上，规定向前走为正，向后走为负。如果朋友先向前走了3步，又向前走了2步，那他现在在什么位置呢？可以用什么算式表示？对，是3+2=5 。那要是朋友先向后退2步，接着又向后退3步呢？这又该如何用算式表示？没错，是(−2)+(−3)=−5 。像这样涉及负数的加法，就是我们今天要学习的有理数加法。那有理数加法还有哪些情况和法则呢？让我们一起深入探究。
有理数的加法法则
探究新知
（一）知识精讲
让我们通过物体直线运动的情境来探究有理数的加法法则。首先规定向右运动为正方向，向左运动为负方向。观察图2.1-1，当物体先向右运动5米，再向右运动3米时，最终位置可以用算式表示为：
5+3=8
同样地，观察图2.1-2，当物体先向左运动5米，再向左运动3米时，最终位置可以表示为：
(−5)+(−3)=−8
从这两个例子可以发现：同号两数相加，和的符号与加数相同，和的绝对值等于加数绝对值的和。
接下来考虑异号相加的情况。当物体先向左运动3米，再向右运动5米时，最终位置可以表示为：
(−3)+5=2
而当物体先向右运动3米，再向左运动5米时，最终位置可以表示为：
3+(−5)=−2
这说明：绝对值不等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数相同，和的绝对值等于较大绝对值减去较小绝对值。
特殊情况下，当物体先向右运动5米，再向左运动5米时，最终回到起点：
5+(−5)=0
这表明互为相反数的两个数相加得0。而当一个数与0相加时，结果仍是这个数：
5+0=5 或 (−5)+0=−5
综合以上情况，我们得出有理数加法法则：
同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；
异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；
互为相反数的两数相加得0；
任何数与0相加仍得这个数。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们把有理数加法法则应用到小学学过的正数加法中，比如计算3+4，这个法则还适用吗？
学生回答：适用，因为3和4都是正数，属于同号相加的情况，按照法则应该取正号，绝对值相加得到7，结果就是7，和小学学的一样。
教师追问：很好！那如果计算一个正数加上一个负数，比如7+(-3)，结果会怎样？你能用数轴来解释吗？
学生思考后回答：7的绝对值较大，所以结果取正号，用7减去3得到4。在数轴上就是从0向右移动7个单位，再向左移动3个单位，最终停在4的位置。
教师继续引导：那么，一个负数加上一个正数，比如(-2)+5，结果会怎样？这个结果与原来的两个数相比，大小关系如何？
学生回答：5的绝对值较大，结果取正号，用5减去2得到3。这个结果比原来的-2大，比原来的5小。
（三）设计意图
通过物体运动的实际情境和数轴直观演示，帮助学生理解有理数加法的本质，培养数形结合的思想方法。从具体到抽象，引导学生归纳出有理数加法法则，发展学生的观察能力和逻辑推理能力。通过师生互动的问题链设计，帮助学生建立新旧知识之间的联系，理解有理数加法与小学所学加法运算的一致性，同时掌握新的运算规则。这种循序渐进的教学方式有助于学生形成完整的知识体系，培养严谨的数学思维习惯。
新知应用
例1题目：
计算：
(1) (−3)+(−9)
(2) (−8)+0
(3) 12+(−8)
(4) (−4.7)+3.9
(5) (−12)+(12)
解答：
(1) (−3)+(−9)
这两个数都是负数，属于同号两数相加的情况。
根据有理数加法法则第一条：
和取相同的符号（负号）；
和的绝对值等于两个加数绝对值的和：3+9=12。
所以结果为：
(−3)+(−9)=−(3+9)=−12
(2) (−8)+0
根据有理数加法法则第三条：
一个数与0相加，结果仍然是这个数。
所以：
(−8)+0=−8
(3) 12+(−8)
这是一个异号两数相加的情况，且正数的绝对值大于负数的绝对值。
根据有理数加法法则第二条：
和的符号与绝对值较大的加数相同（这里是12，正数）；
和的绝对值是较大绝对值减去较小绝对值：12−8=4。
所以结果为：
12+(−8)=+(12−8)=4
(4) (−4.7)+3.9
这也是异号两数相加的情况，负数的绝对值大于正数的绝对值。
根据法则：
和的符号与绝对值较大的加数相同（这里是-4.7，负号）；
和的绝对值是较大绝对值减去较小绝对值：4.7−3.9=0.8。
所以结果为：
(−4.7)+3.9=−(4.7−3.9)=−0.8
(5) (−12)+(12)
这是互为相反数相加的情况。
根据有理数加法法则第二条：
互为相反数的两个数相加结果为0。
所以：
(−12)+(12)=0
总结：
1. 题目考查内容
① 有理数加法的基本运算法则；
② 同号两数、异号两数、互为相反数、与0相加等不同情况的处理；
③ 绝对值的比较与运算。
2. 题目求解要点
① 判断两个加数的符号关系（同号、异号、互为相反数）；
② 根据有理数加法法则确定和的符号；
③ 正确进行绝对值的加减运算；
④ 特别注意互为相反数相加结果为0这一特殊情况；
⑤ 熟练掌握带小数和分数的加法运算技巧。
新知巩固
题目：
第1题：已知：m=∣a+b∣c+2∣b+c∣a+3∣a+c∣b，且 abc>0，a+b+c=0，求 m 的最大值。
解答：
由题意给出的条件：
a+b+c=0
abc>0
我们先从 a+b+c=0 出发，可以得到：
a+b=−c,b+c=−a,a+c=−b
将这些代入原式：
m=∣a+b∣c+2∣b+c∣a+3∣a+c∣b=∣−c∣c+2∣−a∣a+3∣−b∣b=∣c∣c+2⋅∣a∣a+3⋅∣b∣b
注意到 ∣x∣x 是符号函数，当 x>0 时为 1，当 x0，说明三个数的乘积为正，即三者中负号个数为偶数（0个或2个）。
我们枚举所有可能的符号组合（满足 abc>0）：
所以最大值是 6，但题目选项中没有这个值，说明我们还需考虑是否满足 a+b+c=0。
注意：在上述枚举中，只有当 a,b,c 中有两个负数、一个正数时，才能满足 abc>0 且 a+b+c=0。例如：
a=−1,b=−1,c=2，满足 a+b+c=0，且 abc=(−1)(−1)(2)=2>0
此时：
m=∣a+b∣c+2∣b+c∣a+3∣a+c∣b=∣−2∣2+2∣1∣−1+3∣1∣−1=22+2−1+3−1=1−2−3=−4
继续尝试其他组合，发现最大值出现在：
a=−1,b=−1,c=2，得 m=−4
a=−2,b=−1,c=3，得 m=−4
最终验证得出：最大值为 0
总结：
1. 题目考查内容
本题考查有理数加法与符号判断，涉及绝对值、分式运算、符号函数以及多个变量之间的关系。
2. 题目求解要点
利用 a+b+c=0 化简表达式；
将绝对值表达式转化为符号函数；
结合 abc>0 分析变量符号组合；
枚举并验证不同情况下的最大值。
3. 同类型题目解题步骤
化简原始表达式，利用已知等式消元；
将绝对值表达式转化为符号函数；
分析变量符号组合，结合乘积符号条件；
枚举所有可能情况，计算每种情况下的结果；
找出最大值或最小值。
题目：
第2题：下列叙述正确的是（ ）
解答：
逐项分析：
A. 若 a>0，b∣b∣，则 a+b=−(∣a∣+∣b∣)
错误。正数加负数，和的符号应与绝对值较大的数一致，即为正数，不可能等于负数。
B. 若 ∣a∣>∣b∣，则 a>b
错误。例如 a=−3,b=2，∣a∣=3>∣b∣=2，但 a∣b∣
错误。例如 a=2,b=−3，满足 a>1>b，但 ∣a∣=2