数学人教版（2024）加减消元法达标测试

这是一份数学人教版（2024）加减消元法达标测试，共16页。试卷主要包含了加减消元法，用加减消元法解方程组，用合适的方法解方程组，加减消元法的过程性出错问题，二元一次方程组的含参问题，同解方程问题，解二元一次方程组的材料阅读问题，新定义问题等内容，欢迎下载使用。
类型一、加减消元法
1．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）用加减消元法解二元一次方程组x+3y=4①2x−y=1②时，下列方法中无法消元的是（ ）
A．①×2−②B．②×−3−①C．①−②×3D．①×−2+②
【答案】C
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
根据各选项分别计算，即可解答．
【详解】解：方程组利用加减消元法变形即可．
①×2−②，得7y=7，可以消元，则A选项不符合题意；
②×−3−①，得−7x=−7，可以消元，则B选项不符合题意；
①−②×3，得−5x+6y=1，无法消元，则C选项符合题意；
①×−2+②，得−7y=−7，可以消元，则D不选项符合题意；
故选：C．
2．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）方程组2x−2y=53x−2y=8消去y得（ ）
A．x=3B．5x=13C．x=−3D．5x=−3
【答案】A
【分析】本题考查的是加减消元法解方程组，直接把方程②减去方程①即可得到答案.
【详解】解：2x−2y=5①3x−2y=8②，
②−①得：3x−2y−2x−2y=8−5，
∴3x−2y−2x+2y=8−5，
∴x=3；
故选：A
3．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）解方程组 时你认为最简单的方法是（ ）
23x+4y=4①15x−6y=9②
A．用代入法先消去x或yB．用①×15−②×23，先消去x
C．用①×6−②×4，先消去yD．用①×3+②×2，先消去y
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．先把y的系数化成绝对值相等的方程，再相加即可．
【详解】解：∵x，y的系数的绝对值都比较大，用代入法不是简便方法，故A不符合题意；
∵两个x的系数的最小公倍数比较大，消去x不是简便方法，故B不符合题意；
消去y，先确定y的系数的绝对值的最小公倍数，
∴用①×3+②×2，先消去y是简便方法，故C不符合题意；D符合题意；
故选：D
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解方程组7x+5y=11①2x−3y=5②下列解法正确的是（ ）
A．①×2+②×7B．①×2−②×7
C．①×5+②×3D．①×3−②×5
【答案】B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握加减消元法的应用是解题的关键．
根据整式的加减运算逐项判断能否消元即可解答．
【详解】解：A． ①×2+②×7得28x−11y=57，没有消元，不符合题意；
B． ①×2−②×7得31y=−13，消去x，符合题意；
C． ①×5+②×3得41x+16y=70，没有消元，不符合题意；
D． ①×3−②×5得11x+30y=8，没有消元，不符合题意．
故选B．
类型二、用加减消元法解方程组
5．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）用加减法解方程组 3x+2y=84x−5y=3
【答案】x=2y=1
【分析】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握加减法解方程组是解题的关键．根据题意用加减法解方程组即可．
【详解】解：3x+2y=8①4x−5y=3②
①×4−②×3，得：23y=23，解得：y=1；
把y=1，代入①，得：3x+2=8，解得：x=2；
∴方程组的解为：x=2y=1．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组：
(1)x+y=42x−y=5
(2)2x+3y=−116x−5y=9
【答案】(1)x=3y=1
(2)x=−1y=−3
【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程，掌握加减消元法解二元一次方程是解答本题的关键．
（1）根据加减消元法求解即可；
（2）根据加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：x+y=4①2x−y=5②，
①+②，得3x=9，
解得：x=3，
将x=3代入①，得y=1，
∴原方程组的解是x=3y=1；
（2）解：2x+3y=−11①6x−5y=9②，
①×3，得6x+9y=−33③，
③−②，得14y=−42，
解得：y=−3，
把y=−3代入②，得6x+15=9，
解得：x=−1，
∴原方程组的解是x=−1y=−3．
7．（23-24七年级下·辽宁·期中）解下列方程组：
(1)2x+y=4x−2y=5；
(2)x2+y3=1325x−2y=17．
【答案】(1)x=135y=−65
(2)x=7y=9
【分析】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二次元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）用加减消元法解答即可；
（2）方程整理后用加减消元法解答即可．
【详解】（1）（1）2x+y=4①x−2y=5②，
①×2，得4x+2y=8③，
②+③，得5x=13，
解得x=135，
把x=135代入①，得y=−65，
所以方程组的解是x=135y=65；
（2）x2+y3=1325x−2y=17，
方程组可化为3x+2y=39①5x−2y=17②，
①+②，得8x=56，
解得x=7，
把x=7代入①，得y=9，
所以方程组的解是x=7y=9．
8．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）解方程组:
(1)2x+3y=12①2x−y=4②
(2)3x+4y=−18①x−2y=4②．
(3)3x−2y=114x−5y=3
(4)x2+y3=12x−y−x=15．
【答案】(1)x=3y=2
(2)x=−2y=−3
(3)x=7y=5
(4)x=4y=−3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的方法有加减消元法、代入消元法，选择合适的方法是快速解题的关键．
（1）直接利用加减消元法求解；
（2）直接利用加减消元法求解；
（3）直接利用加减消元法求解；
（4）先将原方程变形，再利用加减消元法求解．
【详解】（1）解：2x+3y=12①2x−y=4②
由①−②得：4y=8，
解得y=2，
将y=2代入②得：2x−2=4，
解得x=3，
所以该方程组的解为x=3y=2；
（2）解：3x+4y=−18①x−2y=4②
由①+2×②得：5x=−10，
解得x=−2，
将x=−2代入②得：−2−2y=4，
解得y=−3，
所以该方程组的解为x=−2y=−3；
（3）解：3x−2y=11①4x−5y=3②
由4×①−3×②得：7y=35，
解得y=5，
将y=5代入②得：4x−5×5=3，
解得x=7，
所以该方程组的解为x=7y=5；
（4）解：x2+y3=12x−y−x=15
整理得：3x+2y=6①3x−y=15②
由①−②得：3y=−9，
解得y=−3，
将y=−3代入②得：3x+3=15，
解得x=4，
所以该方程组的解为x=4y=−3．
类型三、用合适的方法解方程组
9．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）解下列方程组：
(1)y=2x−33x−y=18；
(2)3x−2y=5x+4y=4．
【答案】(1)x=15y=27
(2)x=2y=12
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用消元方法是解答的关键．
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）解：y=2x−3①3x−y=18②，
①代入②得，3x−2x−3=18，
解得：x=15，
将x=15代入①得，y=27；
∴原方程组的解为：x=15y=27；
（2）解：3x−2y=5①x+4y=4②，
①×2+②得，6x+x=10+4，
解得：x=2，
将x=2代入①得，6−2y=5，
解得：y=12；
∴原方程组的解为：x=2y=12．
10．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程组：
(1)y=3x−12x+4y=24；
(2)3x−2y=25x+4y=1；
(3)x+y2+x−y3=64x−y=3x+y．
【答案】(1)x=2y=5
(2)x=511y=−722
(3)x=7y=1
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
（1）利用代入消元法解此题即可；
（2）利用加减消元法解此题即可；
（3）整理①式，先利用整体代入法，再利用加减消元法解此题．
【详解】（1）解：y=3x−1①2x+4y=24②
将①代入②，得：
2x+43x−1=24，
解得：x=2，
将x=2代入①，得：
y=5，
所以原方程组的解是x=2y=5．
（2）解：3x−2y=2①5x+4y=1②
①×2，得：
6x−4y=4③，
②+③，得：
11x=5，
解得：x=511，
将x=511代入①得：
1511−2y=2，
解得：y=−722，
所以原方程组的解是x=511y=−722．
（3）解：x+y2+x−y3=6①4x−y=3x+y②
整理①，得：
3x+y+2x−y=36③，
将②代入③，得：
4x−y+2x−y=36，
解得：x−y=6④，
将④代入③，得：
3x+y+12=36，
解得：x+y=8⑤，
④+⑤，得：
2x=14，
解得：x=7，
将x=7代入⑤，得：
y=1，
所以原方程组的解是x=7y=1．
11．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）解方程组：
(1)2x+y=14x=y+4；
(2)3x−y=−13x+2y=5．
【答案】(1)x=6y=2；
(2)x=13y=2．
【分析】本题主要考查代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：2x+y=14①x=y+4②，
把②代入①得：2y+4+y=14，
解得：y=2，
把y=2代入②得：x=2+4=6，
故原方程组的解是：x=6y=2；
（2）解：3x−y=−1①3x+2y=5②，
②−①得：3y=6，
解得：y=2，
把y=2代入①得：3x−2=−1，
解得：x=13，
故原方程组的解是：x=13y=2．
12．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）解下列方程（组）：
(1)3x+4y=19x−y=4（代入消元法）；
(2)2x+3y=−53x−2y=12（加减消元法）；
(3)0.1x+0.3y=1.3x2−y3=1；
(4)y3−x+16=32x−y2=3x+y18
【答案】(1)x=5y=1
(2)x=2y=−3
(3)x=4y=3
(4)x=−7y=6
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可；
（3）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（4）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）解：3x+4y=19①x−y=4②，
由②得：x=y+4③，
把③代入①得：3y+4+4y=19，
解得：y=1，
把y=1代入③得：x=1+4=5，
则方程组的解为x=5y=1；
（2）2x+3y=−5①3x−2y=12②，
①×2+②×3得：13x=26，
解得：x=2，
把x=2代入①得：4+3y=−5，
解得：y=−3，
则方程组的解为x=2y=−3；
（3）0.1x+0.3y=1.3x2−y3=1
整理得，x+3y=13①3x−2y=6②
①×3−②得：11y=33
解得y=3
将y=3代入①得：x+3×3=13
解得x=4，
∴方程组的解为：x=4y=3；
（4）y3−x+16=32x−y2=3x+y18
整理得，−x+2y=19①6x+7y=0②
①×6+②得：19y=114
解得y=6
将y=6代入①得：−x+2×6=19
解得x=−7，
∴方程组的解为：x=−7y=6．
类型四、加减消元法的过程性出错问题
13．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小华同学解方程组4x+3y=5①2x−y=−5②的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．
解：②×2得：4x−2y=−10③ 第一步
①−③得：y=15 第二步
将y=15代入②得：x=5． 第三步
所以该方程的解是x=5y=15 第四步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________．
(2)第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________．
(3)请你帮小华同学写出正确的解题步骤．
【答案】(1)①加减消元法，②等式的基本性质2
(2)②，合并同类项计算错误
(3)见解析
【分析】（1）根据二元一次方程组的定义即可解答；
（2）根据二元一次方程组的运算即可解答．
（3）利用加减消元法解方程组即可．
此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法．
【详解】（1）小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立．
（2）第二不出现错误，原因是合并同类项计算错误；
（3）解：②×2得：4x−2y=−10 ③
①−③得：5y=15，y=3
将y=3代入②得：x=−1
所以该方程组的解是x=−1y=3
14．（24-25八年级上·山西运城·期末）（1）解方程组：x−y=2①2x+y=4②
（2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务.
任务：
①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________；
②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________；
③直接写出该方程组的正确解：_____________.
【答案】（1）x=2y=0；（2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数x的项的系数相等；②三；方程④−③时，9y−−10y的结果算成了“−y”；③x=719y=119．
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题的关键．
（1）根据加减消元法进行计算即可；
（2）①根据等式的性质即可得到答案；
②观察计算步骤找到问题即可；
③根据加减消元法进行计算即可．
【详解】解：（1）x−y=2①2x+y=4②，
①+②，得3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①，得2−y=2，
解得y=0，
所以原方程组的解为x=2y=0；
（2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数x的项的系数相等；
②三；方程④−③时，9y−−10y的结果算成了“−y”；
③3x−2y=1①5x+3y=2②，
解：①×5，得15x−10y=5，③，
②×3，得15x+9y=6，④，
④−③，得y=119，
解得，y=119，
将y=119代入②，得x=719，
所以，原方程组的解为x=719y=119；
类型五、二元一次方程组的含参问题
15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知二元一次方程组2x+5y=7x+y=2的解也为关于x、y的方程ax+4y=6的一个解，求a的值．
【答案】a=2
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
先解出二元一次方程组中的x、y，然后代入ax+4y=6即可求解．
【详解】解：2x+5y=7①x+y=2②
①−②×2，得：3y=3
∴y=1，
将y=1代入②得：x=1，
∴方程组的解为x=1y=1，
代入ax+4y=6，得：a+4=6
解得：a=2．
16．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）已知关于x，y的二元一次方程组ax−by=4ax+by=2的解为x=2y=1，求2a−3b的值．
【答案】6
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，先把x=2y=1代入ax−by=4ax+by=2，得2a−b=42a+b=2，然后解得a=32b=−1。最后代入2a−3b进行计算，即可作答．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组ax−by=4ax+by=2的解为x=2y=1，
∴2a−b=4①2a+b=2②，
②−①得b=−1，
再把b=−1代入①，得2a+1=4，
解得a=32，
∴a=32b=−1，
∴2a−3b=2×32−3×−1=6，
类型六、同解方程（组）问题
17．（24-25七年级上·广西来宾·期末）已知x=n是关于x的方程124+2x=m的解，若x=ny=m是方程组3x+y=4k−52x−6y=k的解，求k的值．
【答案】k=−1．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解方程及方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
由x=n是关于x的方程124+2x=m的解，则m−n=2，又因为x=ny=m是方程组3x+y=4k−52x−6y=k的解，则有3n+m=4k−5①2n−6m=k②，然后利用加减消元即可求解．
【详解】解：因为x=n是关于x的方程124+2x=m的解，
所以124+2n=m，
即2+n=m，
所以m−n=2，
因为x=ny=m是方程组3x+y=4k−52x−6y=k的解，
所以3n+m=4k−5①2n−6m=k②，
①+②，得5n−5m=5k−5，
整理得n−m=k−1，
因为m−n=2，
所以−2=k−1，
所以k=−1．
18．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）若关于x，y的方程组2x+3y=3ax−by=−5和3x−2y=11bx−ay=1有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求a+b2024的值
【答案】(1)x=3y=−1
(2)1
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义，求解代数式的值；
（1）把方程组中不含a、b的两个方程联立，再解方程组求解即可；
（2）把（1）中方程的解代入含a、b的两个方程组成方程组求解a+b的值，再计算即可．
【详解】（1）解：把方程组中不含a、b的两个方程联立得，
2x+3y=3①3x−2y=11②，
①×2+②×3得，13x=39，
∴x=3，
把x=3代入①得，6+3y=3，
∴y=−1，
∴方程组的解为x=3y=−1，
（2）解：把方程组中含a、b的两个方程联立得，
ax−by=−5bx−ay=1，
把x=3y=−1代入得，3a+b=−5③3b+a=1④，
③+④得，4a+4b=−4，
∴a+b=−1，
∴a+b2024=−12024=1．
类型七、解二元一次方程组的材料阅读问题
19．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组19x+17y=18①16x+14y=15②
解：①−②，得3x+3y=3，即x+y=1．③
③×14，得14x+14y=14．④
②−④，得2x=1，解得x=12，代入③，得y=12，
∴原方程组的解是x=12y=12；
(1)请你仿照上面的解法解方程组2024x+2022y=20232025x+2023y=2024；
(2)解关于x,y的二元一次方程组：a+1x+a−1y=ab+1x+b−1y=ba≠b．
【答案】(1)x=12y=12
(2)x=12y=12
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
（1）仿阅读解法，用加减法求解即可；
（2）仿阅读解法，用加减法求解即可．
【详解】（1）解：2024x+2022y=2023①2025x+2023y=2024②，
②−①，得x+y=1③，
③×2024，得2024x+2024y=2024④，
④−①，得2y=1，
解得：y=12，
把y=12代入③，得x=12，
∴x=12y=12；
（2）解：a+1x+a−1y=a①b+1x+b−1y=b②a≠b，
①−②，得x+y=1③，
③×a+1，得a+1x+a+1y=a+1④，
④−①，得y=12，
把y=12代入③，得x=12，
∴x=12y=12．
20．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题．
解方程组14x+15y=16①17x+18y=19②；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．
②−①，得3x+3y=3，所以x+y=1，③
③×14，得14x+14y=14，④
①−④，得y=2，从而得x=−1，所以原方程组的解为x=−1y=2．
(1)请你运用上述方法解方程组：
①28x+33y=1832x+37y=22；
②2015x+1999y=2031,2024x+2008y=2040.；
(2)请你直接写出关于x，y的方程组mx+m+1y=m+2nx+n+1y=n+2m≠n的解：______．
【答案】(1)①x=3y=−2；②x=2y=−1；
(2)x=−1y=2．
【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键；
（1）①、②−①，所得方程两边都除以4，得：x+y=1，再与方程①利用加减法求解即可；②、②−①，所得方程两边都除以9，得：x+y=1，再与方程①利用加减法求解即可；
（2）②−①，所得方程两边都除以n−m，得：x+y=1，再与方程①利用加减法求解即可．
【详解】（1）解：①28x+33y=18①32x+37y=22②；
②−①得：4x+4y=4，
两边除以4，得：x+y=1③，
③×28−①得：−5y=10，
解得：y=−2；
把y=−2代入③，解得：x=3；
故原方程组的解为：x=3y=−2；
②2015x+1999y=2031①2024x+2008y=2040②
②−①得：9x+9y=9，
两边除以9，得：x+y=1③，
③×1999−①得：−16x=−32，
解得：x=2；
把x=2代入③，解得：y=−1；
故原方程组的解为x=2y=−1；
（2）解：mx+m+1y=m+2①nx+n+1y=n+2②m≠n，
②−①得：(n−m)x+(n−m)y=n−m，
两边除以n−m，得：x+y=1③，
③×m−①得：y=2，
把y=2代入③，解得：x=−1；
故原方程组的解为x=−1y=2．
故答案为：x=−1y=2．
类型八、新定义问题
21．（2025七年级下·全国·专题练习）对于实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b．例如：3⊗4=2×3+4=10．若x⊗(−y)=2,(2y)⊗x=−1，求x，y的值．
【答案】x，y的值分别为79,−49
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题中的定义列出二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可．
【详解】解：根据题中的定义，得2x−y=2①4y+x=−1②，
①+②，得3x+3y=1，
∴x+y=13③．
③+①，得3x=73，解得：x=79．
②−③，得3y=−43，解得：y=−49．
故x，y的值分别为79,−49．
22．（24-25七年级下·全国·课后作业）规定：形如x+ky=b与kx+y=b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组x+ky=bkx+y=b叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
(1)方程3x+y=5的“共轭二元一次方程”为_____________；
(2)若关于x，y的二元一次方程组x+(2−5a)y=−b−4(1−2b)x+y=−5−a为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”．
【答案】(1)x+3y=5
(2)−3,−6
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键，
（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可；
（2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”．
【详解】（1）解：∵形如x+ky=b与kx+y=b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，
∴方程3x+y=5的共辄二元一次方程为x+3y=5，
故答案为：x+3y=5；
（2）解：由题意，得2−5a=1−2b−b−4=−5−a，
整理，得5a−2b=1①a−b=−1②，
②×2，得2a−2b=−2③，
①−③，得3a=3，解得a=1，
把a=1代入②，得1−b=−1，解得b=2，
∴2−5a=−3，−b−4=−6，
故此“共轭方程组”的“共轭系数”为−3,−6．
一、单选题
1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知x=2y=−2和x=4y=2是二元一次方程ax+by=6的两个解，则a，b的值分别为（ ）
A．2，−1B．−2，1C．−1，2D．1，−2
【答案】A
【分析】此题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组；把两组解分别代入方程中，得出关于a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】解：根据题意可知：2a−2b=64a+2b=6，
解得：a=2b=−1，
故选：A
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知y=kx+b，如果当x=1时，y=−1；当x=12时，y=12，那么当x=2时，y的值是（ ）
A．−4B．−2C．2D．4
【答案】A
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用待定系数法得出关于k、b的二元一次方程组并求出k、b的值是解答本题的关键．
将x与y的两对值代入y=kx+b中计算求出k与b的值，确定出关系式，将x=2代入即可求出y的值．
【详解】解：把x=1时，y=−1； x=12，y=12分别 代入y=kx+b，得
k+b=−1①12k+b=12②，
①−②，得12k=−32，解得k=−3，
把k=−3代入①，得b=2，
∴y=−3x+2
把x=2代入y=−3x+2，得
y=−4，
故选：A．
3．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，点A，B在数轴上表示的数分别是a，b．若a，b互为相反数，且AB=6，则a的值为（ ）
A．−3B．3C．−6D．6
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、相反数、二元一次方程组的解法．根据数轴上点A，B之间的距离为6和a，b互为相反数，可列关于a，b二元一次方程组，解方程组可以求出a的值．
【详解】解：∵AB=6，
∴b−a=6，
∵ a，b互为相反数，
∴a+b=0，
解方程组b−a=6a+b=0，
可得：a=−3b=3，
∴a的值为−3．
故选：A．
4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）若方程组3x−2y=3a−2x+3y=a−8的解x，y的值互为相反数，则a的值是（ ）
A．−2B．2C．−0.5D．0.5
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握用加减法解二元一次方程组是关键．
根据相反数的定义得到x=−y，代入方程组得
−5y=3a①5y=a−8②，再解方程组即可求出a的值．
【详解】解：∵x，y互为相反数，
∴x+y=0，
∴x=−y，
把x=−y代入原方程组得−5y=3a①5y=a−8②
①+②，得0=4a−8，
解得：a=2，
故选：B．
5．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若单项式2amb2与−a4bn是同类项，则方程组x=mynx+y=mn的解为（ ）
A．x=329y=89B．x=49y=29C．x=−49y=−29D．x=−329y=−89
【答案】A
【分析】本题考查了同类项和解 二元一次方程组，根据同类项定义得出m=4，n=2，把m、n的值代入方程组，进而求解即可．
【详解】解：∵单项式2amb2与−a4bn是同类项，
∴m=4，n=2，
代入方程组x=mynx+y=mn，得x=4y2x+y=8
解得：x=329y=89
故选：A．
6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若a+b−5+3a−b+1=0，则ab的倒数是（ ）
A．2B．−2C．12D．−12
【答案】C
【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，算术平方根的求解以及倒数的概念，解题的关键是灵活运用相关基本知识进行求解．
根据绝对值和算术平方根的非负性，得到关于a，b的二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】解：∵a+b−5+3a−b+1=0，
∴a+b−5=0，3a−b+1=0，
即a+b−5=03a−b+1=0，化简可得a+b=5 ①3a−b=−1 ②，
①+②得：4a=4，解得a=1，
将a=1代入①得，1+b=5，解得b=4，
∴ab=4=2，
∴ab的倒数是12，
故选：C
7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组−x+2y=−2m2x−y=2m+3，下列结论正确的是（ ）
①当m=1时，方程组的解也是x+y=2m+1的解；
②x，y均为正整数的解只有1对；
③无论m取何值，x、y的值不可能互为相反数；
④若方程组的解满足x−y=1，则m=0．
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法和解是解题的关键．
根据方程组得x+y=3，然后再依据题目信息即可依次判断．
【详解】解：①当m=1时，方程组−x+2y=−2m2x−y=2m+3整理得，−x+2y=−2①2x−y=5②，
由①+②可得，x+y=3，
当m=1时，方程x+y=2m+1得x+y=3，
∴当m=1时，方程组的解也是x+y=2m+1的解，故①正确；
②解方程组−x+2y=−2m①2x−y=2m+3②，①+②得x+y=3，
当x，y均为正整数时，则有x=1y=2或x=2y=1，
∴共有2对，故②错误；
③解方程组−x+2y=−2m①2x−y=2m+3②，①+②得x+y=3，
∴无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故③正确；
④解方程组−x+2y=−2m①2x−y=2m+3②，①+②得x+y=3，
当方程组的解满足x−y=1时，
解得x=2y=1，
代入原方程组可得−2+2×1=−2m2×2−1=2m+3
解得，m=0，故④正确；
综上，正确的结论是①③④，
故选：A．
8．（22-23八年级上·陕西西安·期末）已知关于x、y的方程组2x−y=5ax+by=2和x+y=4ax+2by=10有相同的解，那么2a+b值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，x、y的方程组2x−y=5ax+by=2和x+y=4ax+2by=10有相同的解，列出方程组2x−y=5x+y=4求出x、y的值，再代入ax+by=2ax+2by=10计算求出a、b的值，最后代入2a+b计算即可．
【详解】解：由题意，得2x−y=5x+y=4，
解得x=3y=1，
因为两方程有相同的解，
所以将x=3y=1代入ax+by=2ax+2by=10，
得3a+b=23a+2b=10，
解得a=−2b=8，
所以2a+b=2×(−2)+8=4．
故选：B．
9．（24-25八年级上·河北张家口·期中）若关于x、y的二元一次方程组ax+y=bcx−y=d的解为x=1y=2，则关于x、y的方程组ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d的解为（ ）
A．x=1y=2B．x=1y=3C．x=3y=1D．x=5y=−1
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解法一：由ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d得到ax−2+2y=bcx−2−2y=d，设x−2=X，2y=Y，则aX+Y=bcX−Y=d，
根据关于x、y的二元一次方程组ax+y=bcx−y=d的解为x=1y=2，得到x−2=1，2y=2，求解即可，解法二：把x=1y=2，代入ax+y=bcx−y=d，得到a+2=bc−2=d，整体代入ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d中，得到方程组ax+2y=3a+2①cx−2y=3c−2②，加减消元法解方程组即可．
【详解】解：解法一：ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d，
∴ax−2+2y=bcx−2−2y=d，
设x−2=X，2y=Y，
∴aX+Y=bcX−Y=d，
∵关于x、y的二元一次方程组ax+y=bcx−y=d的解为x=1y=2，
∴x−2=1，2y=2，
解得：x=3y=1，
∴原方程组的解集为：x=3y=1；
解法二：把x=1y=2代入ax+y=bcx−y=d，得：a+2=bc−2=d，
∵ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d，
∴ax+2y=2a+a+2cx−2y=2c+c−2，即：ax+2y=3a+2①cx−2y=3c−2②，
①+②，得：a+cx=3a+c，
∵方程组ax+y=bcx−y=d有解，
∴a+c≠0，
∴x=3，
把x=3代入①，得：3a+2y=3a+2，解得：y=1；
∴方程组的解集为：x=3y=1；
故选：C．
10．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于x，y的方程组x+2y=k2x+3y=3k−1下列结论正确的有（ ）个．
①当k=0时，该方程组的解也是方程x−2y=−3的解；②存在实数k，使得x+y=0；③当y−x=−1时，k=1；④不论k取什么实数，x+3y的值始终不变．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键．
直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【详解】解：①当k=0时，原方程组可整理得：
x+2y=02x+3y=−1，
解得：x=−2y=1，
把x=−2y=1代入x−2y得：
x−2y=−2−2=−4，故①不正确，
②解方程组x+2y=k2x+3y=3k−1得：
x=3k−2y=1−k，
若x+y=0，
则(3k−2)+(1−k)=0，
解得：k=12，
即存在实数k，使得x+y=0，故②正确，
③解方程组x+2y=k2x+3y=3k−1得：
x=3k−2y=1−k，
当y−x=−1时，1−k−3k+2=−1，
∴k=1，故③正确，
④解方程组x+2y=k2x+3y=3k−1得：
x=3k−2y=1−k，
∴x+3y=3k−2+3(1−k)=1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，故④正确；
故选：C．
二、填空题
11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果方程组2x+3y=75x−y=9的解是方程3x+my=8的一个解，那么m= ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程的解的定义等知识点，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
先解方程组，然后把求出的方程组的解代入方程3x+my=8可得关于m的方程求解即可．
【详解】解：解方程组2x+3y=75x−y=9，可得：x=2y=1，
将x=2y=1代入方程3x+my=8可得：
3×2+m=8，解得：m=2．
故答案为：2．
12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组3x−2y=k+54x+9y=4k+1的解满足x+y=3，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了方程组的解法以及方程组的解的定义．正确利用整体思想是关键．
利用整体的思想两式相加得7x+7y=5k+6，结合x+y=3求解即可．
【详解】解：∵3x−2y=k+54x+9y=4k+1，
∴两式相加，得7x+7y=5k+6，
∵x+y=3，
∴7x+7y=21，
∴5k+6=21，
∴5k=15，
∴k=3，
故答案为：3．
13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知|2x−3y+4|与(x−2y+5)2互为相反数，则(x−y)2025= .
【答案】1
【分析】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意求出|2x−3y+4|+(x−2y+5)2=0，得到二元一次方程组2x−3y+4=0x−2y+5=0，求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：∵ |2x−3y+4|与(x−2y+5)2互为相反数，
∴ |2x−3y+4|+(x−2y+5)2=0，
∴ 2x−3y+4=0x−2y+5=0，
解得x=7y=6，
故(x−y)2025=(7−6)2025=1．
故答案为：1．
14．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）小明在解关于x，y的二元一次方程组 ax−by=5cx+ay=4时，只抄对了 a=1，b=−2，求出的解为 x=1y=2，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为 ．
【答案】x=35y=115
【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解复原，把x=1y=2代入x+2y=5c−1x+y=4可得c=3，再进一步解题即可.
【详解】解：由题意可得：x+2y=5c−1x+y=4，
方程组的解为：x=1y=2，
∴c−1+2=4，
解得：c=3，
∴原方程组为：x+2y=5①3x+y=4②，
②×2−①得：x=35，
把x=35代入①得：y=115，
∴原方程组的解为：x=35y=115；
故答案为：x=35y=115．
15．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）在解关于x，y的方程组m+1x−ny=8①nx+my=11②时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m−n= ．
【答案】87
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，根据题意得出方程组2(m+1)+n=0−n+5m=0，求出m、n的值，再计算m−n即可；
【详解】解：由①×2+②消去未知数x，可得2(m+1)+n=0，
由①+②×5消去未知数y，可得−n+5m=0，
所以2(m+1)+n=0−n+5m=0，
解得m=−27n=−107，
所以m−n=−27−(−107)=87，
故答案为：87．
16．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：Tx,y=axy+bx−4（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T0,1=a×0×1+b×0−4=−4．已知T2,1=2,T−1,2=−8，有下列结论：
①a=1,b=2；
②若Tm,n=0n≠−2，则m=4n+2；
③关于m，n的二元一次方程Tm,n=0有且仅有3组整数解；
④若Tkx,y=Tky,x对任意有理数x，y都成立且x≠y，则k=0．
其中结论正确的为 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，由题意联立方程组2a+2b−4=2−2a−b−4=−8，求出a、b的值，即可确定①正确；由已知得到mn+2m−4=0，求出m即可确定②正确；根据n+2=±1，n+2=±2，n+2=±4，可求m、n的值，从而确定③错误；由题意列出方程kxy+2kx−4=kxy+2ky−4，得到2k(x−y)=0，由对任意有理数x、y都成立，则k=0，即可 确定④正确．
【详解】解：∵T2,1=2,T−1,2=−8，
∴2a+2b−4=2−2a−b−4=−8，
解得a=1b=2，故①正确；
∵Tm,n=0，
∴mn+2m−4=0，
∵n≠−2，
∴m=4n+2，故②正确；
∵Tm,n=0，
∴mn+2m−4=0，
当n=−2时，则−4=0不成立，
∴n≠−2，
∴m=4n+2，
∵m、n都是整数，
∴n+2=±4或n+2=±2或n+2=±1，
∴n=2或−6或0或−4或−1或−3，
∴满足题意的m、n的值可以为m=−1n=−6,m=1n=2,m=2n=0,m=4n=−1,m=−4n=−3,m=−2n=−4，
∴m、n有且仅有6组整数解，故③错误；
∵Tkx,y=Tky,x，
∴kxy+2kx−4=kxy+2ky−4，
∴2kx−2ky=0，
∴2kx−y=0，
∵Tkx,y=Tky,x对任意有理数x、y都成立，
∴k=0，故④正确．
综上：正确的有①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
17．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）按要求解方程组
(1)x+4y=14x−34−y−33=112（代入消元法）
(2)7x+4y=23x−6y=24（加减消元法）
【答案】(1)x=3y=114
(2)x=2y=−3
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握消元的方法是解本题的关键；
（1）把①化为x=14−4y，再代入②求解y即可；
（2）由①×3+②×2求解x，再进一步求解y即可．
【详解】（1）解：x+4y=14①x−34−y−33=112②，
由①，得x=14−4y③，
把③代入②，得14−4y−34−y−33=112，
∴311−4y−4y−3=1，
∴33−12y−4y+12=1，
整理得：16y=44，
解得：y=114，
把y=114代入③，得x=3，
所以原方程组的解是x=3y=114；
（2）解：7x+4y=2①3x−6y=24②，
①×3+②×2，得27x=54，
解得：x=2，
把x=2代入①，得14+4y=2，
解得：y=−3，
所以原方程组的解是x=2y=−3．
18．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）若 x=2y=1是二元一次方程组 32ax+by=5ax−2by=2的解，求 a+3b5a−b的值．
【答案】a+3b5a−b=21
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、整体代入法求代数式的值．把x=2y=1代入二元一次方程组 32ax+by=5ax−2by=2，可得3a+b=5①2a−2b=2②，把两式相加可得：5a−b=7，把两式相减可得：a+3b=3，然后再利用整体代入法求代数式的值即可．
【详解】解： ∵x=2y=1是二元一次方程组 32ax+by=5ax−2by=2的解，
∴32a×2+b×1=5a×2−2b×1=2，
整理得：3a+b=5①2a−2b=2②，
①+②得：5a−b=7，
①−②得：a+3b=3，
∴a+3b5a−b=3×7=21．
19．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简捷与方便，把关于x的多项式用符号fx的形式来表示，把x等于a的多项式的值用fa来表示，例如：当x=1时，fx=x2−2x−3的值记为f1=12−2×1−3=1−2−3=−4．
(1)已知fx=2x−5，
①填空：f2=__________，②若fx=25，则x=____________；
(2)已知fx=ax2+bx−4，若f2=−6, f−1=0，求f3的值；
(3)把方程fx=x的解称为多项式fx的“不动点”，试求多项式fx=−2x+9的不动点．
【答案】(1)−1，15
(2)−4
(3)x=3
【分析】此题考查了代数式求值，解一元一次方程、解二元一次方程组等知识．
（1）①把x=2代入fx=2x−5求值即可；②根据fx=25得到2x−5=25，解方程即可；
（2）根据f2=−6, f−1=0得到关于ab的方程组，解方程组得到fx=x2−3x−4，然后代入x=3求出值即可；
（3）根据定义得到−2x+9=x，然后解方程即可．
【详解】（1）解：①∵fx=2x−5，
∴f2=2×2−5=−1，
②∵fx=2x−5，
∴2x−5=25，
解得x=15，
故答案为：−1，15；
（2）解：∵fx=ax2+bx−4，f2=−6, f−1=0，
∴4a+2b−4=−6a−b−4=0
解得a=1b=−3
∴fx=x2−3x−4
∴f3=32−3×3−4=−4
（3）解：由题意可得，−2x+9=x，
解得x=3，
∴多项式fx=−2x+9的不动点为x=3．
20．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21,①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②−①，得6x+6y=6，即x+y=1．③
③×17，得17x+17y=17．④
①−④，得2y=4，解得y=2．
把y=2代入③，得x=−1．
所以这个方程组的解是x=−1,y=2.
(1)请你运用小明的方法解方程组2001x+2003y=2005,2021x+2023y=2025;
(2)猜想关于x，y的二元一次方程组ax+(a+2)y=a+4,bx+(b+2)y=b+4(a≠b)的解是________．
【答案】(1)x=−1y=2
(2)x=−1y=2
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组、阅读理解能力．解决本题的关键是读懂材料中提供的解题方法，利用材料中的方法解二元一次方程组．
1仿照阅读材料中的解二元一次方程组的方法，把方程组中②−①得到x+y=1，然后把方程两边同时乘以2001得到方程2001x+2001y=2001④，把方程①和④组成一个新的二元一次方程组，继续用加减消元法解二元一次方程组即可；
2仿照阅读材料中的解二元一次方程组的方法求解即可．
【详解】（1）解：2001x+2003y=2005,①2021x+2023y=2025.②
②−①，得20x+20y=20，
整理得：x+y=1③，
③×2001得：2001x+2001y=2001④，
①−④得：2y=4，
解得：y=2，
把y=2代入③得：x=−1，
∴方程组的解是x=−1y=2；
（2）解：ax+(a+2)y=a+4①bx+(b+2)y=b+4②(a≠b)，
①−②得：a−bx+a−by=a−b，
整理得：x+y=1③，
③×a得：ax+ay=a④，
①−④得：2y=4，
解得：y=2，
把y=2代入③得：x+2=1，
解得：x=−1，
∴方程组的解是x=−1y=2，
故答案为：x=−1y=2．
解方程组3x−2y=1①5x+3y=2②
解：①×5，得15x−10y=5，③ 第一步
②×3，得15x+9y=6，④ 第二步
④−③，得−y=1， 第三步
解得，y=−1 第四步
将y=−1代入②，得x=1 第五步
所以，原方程组的解为x=1y=−1 第六步