8.1.2算术平方根 课件-2025-2026学年人教版2024数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：8.1.2 算术平方根副标题：人教版数学七年级下册姓名：[你的姓名]日期：[授课日期]幻灯片 2：学习目标理解算术平方根的定义，明确算术平方根与平方根的联系与区别，能准确说出一个非负数的算术平方根的含义。掌握算术平方根的表示方法，知道非负数的算术平方根是唯一的非负值，能正确读写算术平方根符号。会求一个非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决实际问题，进一步培养逆向思维和数学应用能力。幻灯片 3：知识回顾 —— 衔接平方根，引入算术平方根回顾平方根知识：提问 1：“上节课我们学习了平方根，谁能说说 25 的平方根是多少？如何表示？”（学生回答：25 的平方根是 ±5，记作 ±√25 = ±5）提问 2：“正数的平方根有什么特点？0 的平方根呢？”（引导学生回顾：正数有两个平方根，互为相反数；0 的平方根是 0）情境引出算术平方根：展示问题：“一个正方形的面积是 16 平方厘米，求它的边长。”（学生思考：设边长为 x 厘米，x²=16，x=±4，但边长不能为负数，所以 x=4）提问：“这里我们只取了平方根中的正数，为什么？”（因为实际问题中，边长、长度等量只能是正数，需要从平方根中筛选出非负的那个值）引入课题：这个非负的平方根，就是我们今天要学习的 —— 算术平方根。幻灯片 4：探究算术平方根的定义定义推导：结合上述问题，给出算术平方根的定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根；特别地，0 的算术平方根是 0。用数学语言表示：若 x² = a（a ≥ 0）且 x ≥ 0，则 x 叫做 a 的算术平方根，记作 “x = √a”（读作 “根号 a”），其中 a 是被开方数，√a ≥ 0。举例说明：因为 4² = 16，且 4 是正数，所以 16 的算术平方根是 4，记作√16 = 4；因为 3² = 9，且 3 是正数，所以 9 的算术平方根是 3，记作√9 = 3；因为 0² = 0，所以 0 的算术平方根是 0，记作√0 = 0；强调：负数没有算术平方根（因为算术平方根是正数或 0，而负数没有平方根，自然也没有算术平方根）。关键词解析：“正数 x”：算术平方根特指平方根中的非负值，排除负根；“a ≥ 0”：被开方数仍需是非负数，与平方根一致，但算术平方根的结果一定是非负的。即时判断：下列各数有算术平方根吗？若有，请求出；若没有，请说明理由：（1）36；（有，√36 = 6）（2）-25；（没有，因为 - 25 是负数，负数没有算术平方根）（3）0.01；（有，√0.01 = 0.1）（4）4/9；（有，√(4/9) = 2/3）学生回答后，教师逐一点评，强化 “算术平方根是非负值” 的认知。幻灯片 5：算术平方根与平方根的联系与区别表格对比分析：类别定义核心表示方法结果特点举例（以 a=16 为例）平方根若 x² = a（a ≥ 0），则 x±√a正数有两个，互为相反数；0 有一个16 的平方根：±√16 = ±4算术平方根若 x² = a（a ≥ 0）且 x ≥ 0，则 x√a非负数有一个，且为非负16 的算术平方根：√16 = 4关键联系：前提相同：被开方数都必须是非负数（a ≥ 0）；包含关系：算术平方根是平方根中的非负部分，即对于非负数 a，√a 是 ±√a 中的正值。易错点辨析：提问：“√(-4) 有意义吗？为什么？”（学生回答：没有意义，因为被开方数 - 4 是负数，算术平方根的被开方数必须是非负数）提问：“√25 等于 ±5 吗？”（引导学生明确：√25 表示 25 的算术平方根，结果是 5，不是 ±5；±√25 才表示 25 的平方根）幻灯片 6：例题讲解 —— 求一个非负数的算术平方根例题 1：求下列各数的算术平方根（1）81；（2）121/144；（3）0.0064；（4）(-7)²解题过程：（1）因为 9² = 81，且 9 是正数，所以 81 的算术平方根是 9，即√81 = 9；（2）因为 (11/12)² = 121/144，且 11/12 是正数，所以 121/144 的算术平方根是 11/12，即√(121/144) = 11/12；（3）因为 0.08² = 0.0064，且 0.08 是正数，所以 0.0064 的算术平方根是 0.08，即√0.0064 = 0.08；（4）因为 (-7)² = 49，7² = 49，且 7 是正数，所以 (-7)² 的算术平方根是 7，即√[(-7)²] = 7。总结方法：求非负数的算术平方根，先确定被开方数（若为平方形式，先化简为正数），再找到一个非负的数，使它的平方等于被开方数，这个数就是算术平方根。例题 2：利用算术平方根解决实际问题题目：一个长方形的养鸡场，面积为 225 平方米，长是宽的 9 倍，求这个养鸡场的长和宽。解题步骤：步骤 1：设养鸡场的宽为 x 米，则长为 9x 米，根据长方形面积公式，得 9x × x = 225，即 9x² = 225；步骤 2：化简方程，x² = 25；步骤 3：求 25 的算术平方根（宽为正数），x = √25 = 5（米）；步骤 4：计算长，9x = 9×5 = 45（米）；步骤 5：答：这个养鸡场的长是 45 米，宽是 5 米。强调：实际问题中，涉及长度、面积等非负量时，通常用算术平方根求解，直接取非负值，无需考虑负根。幻灯片 7：课堂练习 —— 分层巩固基础题（求算术平方根）：（1）求下列各数的算术平方根：①100；②1/64；③0.04；④225（2）填空：①√36 = ______；②√(0.1)² = ______；③若√x = 8，则 x = ______。要求：学生独立完成，写出完整解题过程，明确每一步的依据。提升题（算术平方根性质应用）：（1）已知√(x - 3) + √(5 - y) = 0，求 x + y 的值；分析：因为算术平方根是非负数，两个非负数的和为 0，只有当每个非负数都为 0 时成立，所以 x - 3 = 0，x = 3；5 - y = 0，y = 5；则 x + y = 3 + 5 = 8；（2）比较大小：①√15 与 4；②√(1/2) 与 0.7（提示：将 4 化为√16，0.7 化为√0.49，再比较被开方数大小）；分析：①因为 15 0.49，所以√(1/2) > √0.49 = 0.7。处理方式：学生完成后，小组内互相批改，教师选取典型错误（如混淆算术平方根与平方根符号、忽略算术平方根非负性、比较大小时未统一形式）进行讲解，强化解题规范。幻灯片 8：课堂小结 —— 知识梳理核心概念回顾：算术平方根：若 x² = a（a ≥ 0）且 x ≥ 0，则 x = √a，结果唯一且非负；与平方根的关系：算术平方根是平方根中的非负部分，即 ±√a = ±√a（√a 是算术平方根）。关键性质总结：非负性：√a ≥ 0（a ≥ 0），即算术平方根的结果一定是非负数；唯一性：一个非负数的算术平方根只有一个，不同于平方根的两个结果。解题方法提炼：求算术平方根：化简被开方数（若为平方形式）→找非负的平方等于被开方数的数→写出结果；实际应用：直接用算术平方根求解，无需考虑负根；比较大小：将数化为算术平方根形式，通过比较被开方数大小判断算术平方根大小。幻灯片 9：布置作业必做题：教材课后练习题 [具体题目]；求下列各数的算术平方根：①169；②0.0001；③81/100；④(-12)²；若√(a + 1) = 3，求 a 的值；若一个数的算术平方根是 7，求这个数。选做题（拓展思维）：已知 a 是√10 的整数部分，b 是√10 的小数部分，求 a - b 的值（提示：√9 < √10 < √16，即 3 < √10 < 4，所以 a=3，b=√10 - 3）；思考：若√a = a，求 a 的值（提示：分 a=0、0 1 四种情况讨论）。要求：必做题需完整书写解题步骤，选做题可附加分析过程，鼓励学生总结算术平方根与平方根的易错点，形成知识笔记。新2024人教版数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 结合第 1 课时的知识计算并思考下面的问题： 学校要举行美术作品比赛，小美画了一幅面积为25 dm² 的正方形油画，请问这幅正方形油画的边长是多少?问题 1：这幅正方形油画的边长是多少?由正方形的面积公式，通过平方和开平方互为逆运算推算，且面积不能为负，所以得出这幅正方形油画的边长为 5 dm.问题 2：你是怎么得出这个结果的呢?5 dm计算下表中各正方形的边长：1 34 6 问题 1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长与面积之间有什么关系?问题 2：以上数据中，正方形的面积和边长的大小有什么关系?正方形的边长是面积值的正平方根.面积越大，边长越大. 性质 1：一个正数的算术平方根是正数.性质 2：0 的算术平方根是 0.性质 3：负数没有算术平方根.性质 4：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.知识要点基本条件：数的角度：关系的角度：形的角度：(x≥0，a≥0)(a≥0， ≥0)咱俩都是非负数；我是你的方，你是我的根；根号我就是你；我是完全平方数，你就是有理数， 否则，根号我就是你的样子25是5的方，5是25的根 例1 求下列各数的算术平方根： 解：(1) 因为 102 = 100，所以100 的算术平方根是10， (3)因为 0.012 = 0.000 1，所以 0.000 1 的算术平方根是 0.01， (1) 100； (3) 0.000 1.    典例精析1. 求下列各数的算术平方根. (1) 121； (4) 0.25. (2) 0；  2. 已知 3＋a 的算术平方根是 5，则 a 的值为 .22练一练剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？填空：1         思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这样的数吗? 想一想 归纳总结典例精析解：因为 3 < < 4， 而 3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 .太小太大 1.41456显示：56. 显示：1.414213562.  当 “天问一号” 火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v² = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢?  因此，第二宇宙速度 v 约为 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s.合作探究 规律：被开方数的小数点每向右移动 位，它的算术平方根的小数点就向右移动 位；被开方数的小数点每向左移动 位，它的算术平方根的小数点就向左移动 位.(1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?2211例3 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗?一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.他说得对吗？解：设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系，得3x·2x = 300，6x2 = 300，x2 = 50.   1. 比较下列各组数的大小.    练一练1. 36的算术平方根是( )C 2. 算术平方根等于3的是( )C 3. 若正方形的面积是100，则该正方形的边长是( )C  返回 D   返回      返回   返回 DA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个  返回 D  C  1 返回 60  返回 （1）求这个长方形过道的长和宽； （2）用40块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长.  返回        返回算术平方根定义表示特征如果一个正数 x 的平方等于 a，即________那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为________.非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________.正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______；负数没有算术平方根.x2 = a根号 a被开方数0必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！