初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十八章 分式18.5 分式方程课堂检测

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类型一、解分式方程
例1．解分式方程：
(1)； (2)．
【变式1-1】解方程：
(1)； (2)．
【变式1-2】解方程．
(1)； (2)．
【变式1-3】解方程：
(1)； (2)．
类型二、解分式方程错解复原问题
例2．对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下．
解：方程两边同乘，得， 第一步
， 第二步
． 第三步
检验，当时，，
所以，是分式方程的解． 第四步
小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答：
(1)小叶的解法从第_______步开始出现错误；
(2)请写出正确的解答过程．
【变式2-1】下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．
解：去分母得，，第一步，
去括号得，，第二步，
解得，．第三步，
检验：当时，，第四步，
∴是原方程的根，第五步．
任务：
(1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
(2)请你改正并写出完整的解方程过程；
(3)解分式方程产生增根的原因是 ．
【变式2-2】佳佳计算分式方程的过程如下：
(1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）：
(2)请你写出正确的解答过程．
【变式2-3】解分式方程：．
下面是解题过程，请认真阅读并完成任务．
解：
………………………第一步
…………………………第二步
……………………第三步
解得：……………………第四步
任务一：填空
（1）第______步是去分母，去分母的依据是______．
（2）第______步出现错误，错误的原因是______．
任务二：填空
（3）直接写出该分式方程的正确结果______．
（4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整．
类型三、已知分式方程的增根求参数
例3．关于x的分式方程有增根，则m的值为 ；
【变式3-1】若关于x的方程有增根，则a的值是 ．
【变式3-2】当 时，方程会产生增根．
【变式3-3】若分式方程有增根，则它的增根是 ．
类型四、已知分式方程的无解求参数
例4．关于的分式方程无解，则的值为 ．
【变式4-1】如果关于的方程无解，则的值为 ．
【变式4-2】已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ．
【变式4-3】已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ．
类型五、根据分式方程解的情况求值
例5．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ．
【变式5-1】关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是 ．
【变式5-2】若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ．
【变式5-3】已知分式方程．
（1）若分式方程无解，则b的值为 ．
（2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ．
类型六、分式方程中的规律探究问题
例6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；……
小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下：
由①，得或；
由②，得或；
由③，得或．
(1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解．
(2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解．
(3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值．
【变式6-1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；方程的解为，；．．．．．．
(1)根据上面的规律，猜想的解为 ；
(2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解；
(3)解方程：．
【变式6-2】（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征
第1个方程：的解为
第2个方程：的解为
第3个方程的解为
解答下列问题：
(1)猜想，第5个方程，方程的解为________．
(2)关于的第个方程为________，它的解为________；
(3)利用上述规律解关于的分式方程：
类型七、分式方程中的新定义型问题
例7．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题．
我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”．
例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2．
(1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”．
(2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数，
①求所表示的代数式．
②求所有符合条件的的值．
(3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）．
【变式7-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”
(1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母）
A．； B．
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
【变式7-2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”．
①（ ）；
②（ ）．
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
(3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
一、单选题
1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
2．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的分式方程有增根，则增根是（ ）
A．B．C．D．
3．（20-21八年级上·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
二、填空题
6．（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）已知关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
7．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ．
9．（2024·宁夏吴忠·一模）观察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根据你发现的规律直接写出第n个方程和它的解 ．
10．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）解分式方程：
(1)；
(2)；
(3)．
12．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）请阅读下列材料并回答问题：
在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以，得，①
去括号，得，②
解得，
检验：当时，，③
所以是原分式方程的解．④
(1)你认为小明在哪里出现了错误 （只填序号）；
(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出两条解分式方程时的注意事项；
(3)写出上述分式方程的正确解法．
13．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．
14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题：
(1)________；
(2)计算；
(3)求方程的解．
15．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列方程及其解的特征：
①的解为，；
②的解为，；
③的解为，；
……
解答下列问题：
(1)第4个方程的解为________．
(2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______．
(3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性．
16．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程．
(1)若方程的增根为，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值．
17．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）阅读理解，并根据所得规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，……以此类推：
(1)请你依据小明的发现，猜想关于的方程的解是______；
(2)根据上述的规律，猜想由关于的方程得到______；
(3)拓展延伸：由（）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
18．（2023八年级下·江苏南京·竞赛）我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂．
例如为十字分式方程，可化为．
再如为十字分式方程，可化为．．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值．
(2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc13911" 典例详解
\l "_Tc28156" 类型一、解分式方程
\l "_Tc7984" 类型二、解分式方程错解复原问题
\l "_Tc30942" 类型三、已知分式方程的增根求参数
\l "_Tc740" 类型四、已知分式方程的无解求参数
\l "_Tc17107" 类型五、根据分式方程解的情况求值
\l "_Tc16237" 类型六、分式方程中的规律探究问题
\l "_Tc20762" 类型七、分式方程中的新定义型问题
\l "_Tc3991" 压轴专练
1.去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。
2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。
3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这个解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。
1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步出错的。
通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。
顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。
2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。
完全忘掉之前的错误解法，按照**"去分母、解整式方程、检验"**的正确步骤重新解一遍。
3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。
解方程：
去分母，得 第①步
移项，得 第②步
合并同类项，得 第③步
系数化1，得 第④步
经检验，是该分式方程的解．
1. 确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选"。
这一步是解题的关键前提。
2. 代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。
这样就可以解出题目中要求的参数值。
3. 结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。
检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。
这一步能确保你的答案万无一失。
1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。
如果这个整式方程是 0x = 非零数 的形式，那么它本身就没有解。
这种情况下，原分式方程自然也无解。
2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。
这个解就是增根。因此，原分式方程无解。
这种情况的解法和上一轮"已知增根求参数"是一样的。
1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。
再将解代入，确保分母不为零。
这是最基础的"先解方程，后代入"思路。
2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论：
- 情况一：转化后的整式方程本身无解。
- 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。
3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。
然后根据要求列出不等式，如解 > 0 或解 < 0。
最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。
1. 解前几个方程，找规律：题目通常会给你 n=1, n=2, n=3... 时的分式方程。
你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号 n 放在一起观察。
2. 猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号 n 之间有什么联系。
试着用含 n 的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。
3. 验证规律的正确性：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 来验证一下。
把 n 值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。
1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。
2. 套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。
3. 求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解的有效性，避免出现增根。