人教版（2024）八年级上册（2024）第十八章 分式18.2 分式的乘法与除法巩固练习

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类型一、平方差公式中连续相乘应用
例1．计算： （结果用幂的形式表示）．
【变式1-1】计算： ．
【变式1-2】计算：
【变式1-3】阅读下列材料.某同学在计算时，发现把3写成后，可以连续运用平方差公式计算：.
请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值.
(1)（结果用幂的形式表示）；
(2)．
类型二、乘法公式中简便运算变换
例2．用乘法公式进行简便运算：
(1)；
(2)．
【变式2-1】简便运算：
(1)；
(2)．
【变式2-2】运用乘法公式进行简便运算：
(1)；
(2)．
【变式2-3】使用简便计算：
(1)．
(2)．
类型三、乘法公式中项数的变换
例3．计算：．
【变式3-1】计算：．
【变式3-2】计算：．
【变式3-3】计算：．
类型四、乘法公式中整体代换应用
例4．已知：，，试求：
(1)的值；
(2)的值．
【变式4-1】同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题：
【基础公式】请写出完全平方公式______；
【公式变形】公式可以变形为______；
【应用】
（1）已知：求的值；
（2）已知：求的值．
【变式4-2】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：，，是的三种不同形式的配方．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)将按三种不同的形式配方；
(2)将配方至少两种形式；
(3)已知，求的值．
【变式4-3】观察以下等式∶
……
按以上等式的规律，发现∶
①；②
(1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立；
(2)已知，求值；
(3)已知，求的值．
类型五、乘法公式中几何图形的应用
例5．如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．
(1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ；
(2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）；
(3)利用（2）中的结论，求的值．
【变式5-1】定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足，且．
① 求的值；
② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．

【变式5-2】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形．
(1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示）
(2)运用以上等式计算：
(3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留）
【变式5-3】【知识生成】
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．
【结论探究】
图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．
（1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______．
（2）若，，求的值．
【类比迁移】
（3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A．1B．C．2025D．2024
2．如果，那么代数式的值为（ ）
A．B．C．6D．13
3．若a为任意整数，则的值总能（ ）
A．被25整除B．被20整除C．被16整除D．被9整除
4．如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，，若，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．25B．26C．28D．30
5．观察规律：
，
若（为正整数），则的值为（ ）
A．2012B．2013C．2024D．2025
二、填空题
6．若实数x满足，则 ．
7．若，，则 ．
8．若满足，则 ．
9．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为 ．
10．边长分别为，的两个小正方形在边长为的大正方形内按如图所示位置放置，此时阴影部分的面积为．将图中大正方形的边长减少个单位后得到新的大正方形，边长分别为，的两个小正方形在新的大正方形内按如图所示位置放置，此时阴影部分的面积为．则的值为 ．
三、解答题
11．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
12．先化简，再求值，其中、满足．
13．先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
14．若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“开明数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“开明数”，3与2是5的平方差分解；再如：（x，y是正整数），所以M也是“开明数”，与y是M的一个平方差分解．
(1)判断：20 “开明数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知与是P的一个平方差分解，求P；
(3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“开明数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
15．一个正方形边长为（m为常数且），记它的面积为，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为．
(1)求（用含m的代数式表示）；
(2)小丽说无论m为何值，和的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？
(3)将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为，若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值．
16．阅读理解：我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决．
例如：已知，求的值．
解：
问题解决：
(1)若，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)若，求的值；
17．【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到
(1)写出由图2所表示的数学等式：________．
(2)根据上面的等式，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若求的值．
(3)已知实数、、，满足以下两个条件：且，求的值．
18．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形．
(1)仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是________．
(2)根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值；
③已知，求的值．
19．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
（2）若，，则 ；
（3）运用你从（1）中选出的等式，计算下列各题：
①；
②；
③．
20．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2），图（1）中阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．
【类比探究】（1）用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积，可得到一个等式是 ．
【实践运用】（2）根据（1）所得的关系式，若，则 ．
【拓展迁移】（3）若x满足，求的值．
【灵活应用】（4）如图（4），某学校有一块梯形空地于点．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，，求种草区域的面积和．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc30637" 典例详解
\l "_Tc8124" 类型一、平方差公式中连续相乘应用
\l "_Tc25793" 类型二、乘法公式中简便运算变换
\l "_Tc9097" 类型三、乘法公式中项数的变换
\l "_Tc11608" 类型四、乘法公式中整体代换应用
\l "_Tc11876" 类型五、乘法公式中几何图形的应用
\l "_Tc15621" 压轴专练
1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如(a - b)(a + b)(a² + b²)...，前两项得a² - b²，再与下一项用平方差，以此类推，简化运算。
2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合(x - y)(x + y)形式。例如(1 - 1/2²)(1 - 1/3²)...，每项拆分为两数和差，连续约分化简。
1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如99²=(100-1)²，用(a-b)²=a²-2ab+b²快速计算，避免复杂乘法。
2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102×98=(100+2)(100-2)，用平方差公式得100²-2²，简化运算步骤。
1. 增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如x² + 6x可加9减9，变为(x + 3)² - 9，适配公式简化计算。
2. 分组合并项：多项式分组后用公式，如a² - b² + a - b，前两项用平方差得(a - b)(a + b)，再与后两项合并提公因式。
1.视多项式为整体：如计算(a+b+c)2，将(a+b)看作整体，用完全平方公式得(a+b)2 + 2(a+b)c + c2，再展开化简。
2.代换简化求值：已知x + y = 5，xy = 3，求x2 + y2，用(x+y)2 - 2xy整体代入，避免求单值。
1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为a+b的正方形面积，可分为a²、b²和两个ab，验证(a+b)²=a²+2ab+b²。
2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差a²-b²对应长方形面积(a-b)(a+b)，印证平方差公式。