人教版（2024）18.1.2 分式的基本性质同步练习题

这是一份人教版（2024）18.1.2 分式的基本性质同步练习题，文件包含专题14分式运算与规律新定义型问题的七类综合题型压轴题专项训练数学人教版2024八年级上册原卷版docx、专题14分式运算与规律新定义型问题的七类综合题型压轴题专项训练数学人教版2024八年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。

类型一、分式的混合运算问题
例1．化简：
(1)； (2)．
【变式1-1】计算：
(1)；
(2)．
【变式1-2】计算：
(1)；
(2)
【变式1-3】化简：
(1)；
(2)．
类型二、分式的混合运算先化简求值问题
例2．先化简，再求值：，其中．
【变式2-1】先化简，再求值：，其中．
【变式2-2】先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值．
【变式2-3】化简求值：，从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．
类型三、分式的混合运算错解复原问题
例3．下面是小华化简分式的过程：
(1)小华的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值．
【变式3-1】先化简，再求值：，其中．
小文的部分解答过程如下：
请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【变式3-2】下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务．
(1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误；
(2)任务二：请你写出正确的计算过程．
【变式3-3】以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程．
解：
①
②
③
④
⑤
小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
类型四、分式的混合运算规律探究问题
例4．观察下列一组等式，根据你所发现的规律解答问题：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
(1)第5个等式是_______________；
(2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式，并证明等式的正确性．
【变式4-1】观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
第5个等式：；．．．
按照以上规律，解决下冽问题：
(1)写出第7个等式；
(2)写出你猜想的第个等式：_______________________（用含的等式表示），并证明．
【变式4-2】观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，回答下列问题：
(1)写出第5个等式：________________________；
(2)猜想：用含的等式表示第个等式：________________，并说明理由．
【变式4-3】观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式_____；
(2)猜想并写出第n个等式_____（用含n的式子表示）；
(3)通过代数运算说明（2）中猜想正确．
类型五、分式的混合运算假分数问题
例5．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：．
(1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和；
(2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值；
(3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值．
【变式5-1】阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______+______．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
【变式5-2】阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
(3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．
类型六、分式的混合运算“倒数法”求值问题
例6．阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由，可知，
，即①
②，
故的值为．
(1)第②步运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示）
(2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知：，求的值；
(3)已知：，求的值．
【变式6-1】（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
，
的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，
（二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知，求的值．
（三）问题解决：
已知：．求代数式的值．
【变式6-2】阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由知，所以，即
所以：
所以的值为
该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若，求的值；
(3)拓展：已知，，，求的值．
【变式6-3】阅读下面的解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
因此，所以的值为．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值．
类型七、分式的混合运算新定义型问题
例7．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”，
如：
(1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）；
①②③④
(2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值．
【变式7-1】定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值．
【变式7-2】定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”．
(1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；
(2)已知分式，且E是F的“最友好分式”．
①求P（用含x的式子表示）；
②若为定值，求m与n之间的数量关系．
【变式7-3】定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”．
(1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号）
①与，②与，③与，④与．
(2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______；
(3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______；
(4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则M等于（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2025·贵州遵义·模拟预测）当 时，代数式的值是
7．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ．
8．（2025八年级上·全国·专题练习）正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ．
9．（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ．
10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
12．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
13．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程．
(1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解题过程．
14．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知分式，分式，分式．
(1)为何值时，分式A和分式B的值相等？
(2)当时，求分式的值．
15．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知：，，，若，求．
（2）先化简，再求值：，且为满足−的整数．
16．（2024·河北·模拟预测）【观察】观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
【类比】（1）写出第5个等式．
【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
17．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2．
(1)已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由：若是，请求出C关于D的“和谐值”．
(2)已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数，
①求E所表示的代数式．
②求所有符合条件的x的值．
18．（2025·安徽芜湖·二模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：
…．
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：_______；
(2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明．
19．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）；
①②③④
(2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝．
(3)和谐分式的最大值为．
(4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值．
20．（24-25八年级下·全国·假期作业）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值．
解：，，即．，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值．
解：令，则，，．
原式．
根据材料回答以下问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14383" 典例详解
\l "_Tc4585" 类型一、分式的混合运算问题
\l "_Tc23867" 类型二、分式的混合运算先化简求值问题
\l "_Tc3758" 类型三、分式的混合运算错解复原问题
\l "_Tc10571" 类型四、分式的混合运算规律探究问题
\l "_Tc20738" 类型五、分式的混合运算假分数问题
\l "_Tc9703" 类型六、分式的混合运算“倒数法”求值问题
\l "_Tc27403" 类型七、分式的混合运算新定义型问题
\l "_Tc6226" 压轴专练
1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。
2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用对公式可以大大简化计算。
3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可以避免最后处理大数字，让计算更简单。
1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。
2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加减"的顺序。有括号的，要先算括号里面的。
3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。
1. 顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后，顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。
2. 回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。
3. 代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确的最终答案。
解：原式．第一步
第二步
第三步
原式……①
……②
……③
当时，原式．
解：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
1.先算前几项，寻找规律：题目通常会让你计算 n=1, n=2, n=3... 时的结果。你先把这几项的结果算出来，写在一起。
2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号 n 之间有什么联系。试着用 n 把这个规律表示出来，这就是通项公式。
3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 验证一下。把值代入你总结的公式，看结果是否和直接计算的一样。
1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。
例如，(x² + 2x + 3)/(x+1) 可以拆成 (x+1) + 2/(x+1)。
2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。
这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。
3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。
这能帮你快速找到最大值或最小值。
1. 取倒数，化繁为简：如果题目给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。
2. 结合已知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的已知条件联系起来。你可以把已知条件代入，快速求出这个倒数的值。
3. 再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。
1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。
2. 套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。这就像套用一个新的数学公式一样。
3. 结合已有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们已经学过的知识来解决。
先化简，再求值：，其中．
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
当时，原式．…第四步