18.1.2 分式的基本性质-课件-2025-2026学年2024人教版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：18.1.2 分式的基本性质副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]衔接提示：上节课我们认识了分式的概念，知道分式与分数既有联系又有区别。今天，我们将延续这种 “从分数到分式” 的类比思路，探索分式的基本性质 —— 它是分式变形、约分和通分的基础，也是后续学习分式运算的关键。幻灯片 2：课程导入旧知回顾：分数的基本性质：分数的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的数，分数的值不变。例如：\(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}\)，\(\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}\)（注意：乘或除以的数不能为 0）；分式的概念：形如\(\frac{A}{B}\)（A、B 为整式，B 含字母且 B≠0）的式子叫分式。情境问题：类比分数的基本性质，分式\(\frac{a}{b}\)（b≠0）的分子与分母同乘一个不为 0 的整式，分式的值会改变吗？例如\(\frac{a}{b}\)与\(\frac{a \times c}{b \times c}\)（c≠0，c 为整式）的值是否相等？若将分式\(\frac{x^2}{xy}\)（x≠0，y≠0）的分子与分母同时除以 x，得到\(\frac{x}{y}\)，这两个分式的值是否相等？带着这些疑问，我们来学习分式的基本性质。幻灯片 3：分式的基本性质推导与表述1. 类比推导：分数中，分子分母同乘（除）非 0 数，值不变；分式中，分子分母均为整式，类比可得：若给分式\(\frac{A}{B}\)（B≠0）的分子 A、分母 B 同时乘一个不为 0 的整式 C，由于 C 是整式且 C≠0，不会导致分母为 0（B≠0，C≠0 则 B×C≠0），分式的本质（分子分母的倍数关系）不变，因此分式的值不变；同理，分子分母同时除以一个不为 0 的整式 C（C 是 A、B 的公因式，且 C≠0），分式的值也不变。2. 性质表述：文字语言：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变；符号语言：\(\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C}\)，\(\frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}\)（其中 A、B、C 是整式，且 B≠0，C≠0）；核心强调：“同乘（除）”“不为 0 的整式” 是两个关键条件，缺一不可 —— 若 C=0，会导致分母为 0（B×C=0），分式无意义。幻灯片 4：分式基本性质的符号法则1. 符号规律推导：根据分式的基本性质，结合 “负号的运算规则”，可得出分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。例如：\(\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\)，\(\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}\)；推导：以\(\frac{-a}{b}\)为例，分子乘 - 1，分母乘 - 1（同乘非 0 整式 - 1），得\(\frac{(-a) \times (-1)}{b \times (-1)} = \frac{a}{-b}\)，与原分式值相等；同理，\(\frac{-a}{b} = \frac{-a \div (-1)}{b \div (-1)} = \frac{a}{-b}\)。2. 符号法则应用（化简符号）：例 1：化简\(\frac{-x}{-y}\)：改变分子和分母两个符号，值不变，得\(\frac{x}{y}\)；例 2：化简\(\frac{2}{-x + y}\)：先整理分母为\(y - x\)，或改变分母和分式本身符号，得\(-\frac{2}{x - y}\)（注意：通常将分母的符号化为正，方便后续运算）。幻灯片 5：例题讲解（利用性质进行分式变形）例题 1（根据性质填括号）：\(\frac{x}{y} = \frac{x \times (\quad)}{y \times 2z}\)（z≠0）；\(\frac{a + b}{ab} = \frac{(\quad)}{a^2 b}\)（a≠0）；\(\frac{x^2 - xy}{x^2} = \frac{x - y}{(\quad)}\)（x≠0）。解题步骤：分母乘 2z（z≠0），根据性质，分子也需乘 2z，故填 “2z”；分母从 ab 变为 a²b，乘了 a（a≠0），分子也需乘 a，即\((a + b) \times a = a^2 + ab\)，故填 “a² + ab”；分子从 x² - xy 变为 x - y，除以了 x（x≠0），分母也需除以 x，即 x² ÷ x = x，故填 “x”。例题 2（利用性质化简符号）：化简下列分式的符号：\(\frac{-3a}{-6b}\)；2. \(\frac{-m}{n - 1}\)；3. \(\frac{2 - x}{-x^2 + 3}\)。解题步骤：分子分母均为负，改变两个符号，得\(\frac{3a}{6b}\)（可进一步约分，后续学习）；仅分子为负，可将负号移到分式前，得\(-\frac{m}{n - 1}\)；分母整理为\(3 - x^2\)，分子为\(2 - x = -(x - 2)\)，分母为\(-(x^2 - 3)\)，改变分子和分母符号，得\(\frac{x - 2}{x^2 - 3}\)。幻灯片 6：例题讲解（分式的约分 —— 基本性质的核心应用）1. 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的目标是将分式化为 “最简分式”（分子与分母没有公因式的分式）。2. 约分步骤：第一步：找分子、分母的公因式（系数找最大公约数，相同字母找最低次幂，多项式先因式分解）；第二步：分子、分母同时除以公因式；第三步：检查是否为最简分式（无公因式则停止）。例题 3（单项式型分式约分）：约分：\(\frac{12a^2 b^3}{18a^3 b}\)（a≠0，b≠0）。解题步骤：找公因式：系数：12 和 18 的最大公约数是 6；字母：a 的最低次幂是 a²，b 的最低次幂是 b；公因式为 6a²b；分子分母同除以公因式：\( \frac{12a^2 b^3 \div 6a^2 b}{18a^3 b \div 6a^2 b} = \frac{2b^2}{3a} \)检查：\(\frac{2b^2}{3a}\)的分子分母无公因式，是最简分式。例题 4（多项式型分式约分）：约分：\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}\)（x≠-2）。解题步骤：因式分解分子分母（先分解，再找公因式）：分子：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)（平方差公式）；分母：\(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\)（完全平方公式）；找公因式：\((x + 2)\)（x≠-2，故公因式不为 0）；约分：\( \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} = \frac{x - 2}{x + 2} \)检查：\(\frac{x - 2}{x + 2}\)分子分母无公因式，是最简分式。幻灯片 7：分式基本性质与分数基本性质的对比对比维度分式的基本性质分数的基本性质联系与区别变形依据分子分母同乘（除）不为 0 的整式分子分母同乘（除）不为 0 的数核心逻辑一致（同乘除非 0 对象，值不变），但对象范围不同（整式 vs 数）应用场景分式变形、约分、通分、分式运算分数化简、通分、分数运算应用目的相似，均为简化运算或统一形式，但分式应用更复杂（需处理整式因式分解）关键限制整式 C≠0，且保证分母 B×C≠0数 c≠0均需避免分母为 0，分式额外需保证整式 C 不为 0示例\(\frac{a}{b} = \frac{a(x + 1)}{b(x + 1)}\)（x≠-1，b≠0）\(\frac{2}{3} = \frac{2×4}{3×4}\)示例 1 乘整式，示例 2 乘整数，本质均遵循 “同乘非 0 对象”幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）基础题：根据分式的基本性质填空：① \(\frac{3}{x} = \frac{(\quad)}{x^2 y}\)（x≠0，y≠0）；② \(\frac{a^2 - ab}{a} = \frac{a - b}{(\quad)}\)（a≠0）；③ \(\frac{-m}{-n} = \frac{(\quad)}{n}\)；约分：① \(\frac{6x^2 y}{9xy^2}\)；② \(\frac{5a b^2}{10a^2 b}\)。提升题：3. 化简符号并约分：① \(\frac{-x^2 + 2x}{x^2 - 4}\)；② \(\frac{(x - y)^2}{y^2 - x^2}\)（x≠y）；已知\(\frac{x}{y} = 2\)，利用分式基本性质求\(\frac{x^2 - xy}{x^2 + y^2}\)的值（提示：分子分母同除以 y²）。解题提示：第 1 题①：3xy；②：1；③：m；第 2 题①：\(\frac{2x}{3y}\)；②：\(\frac{b}{2a}\)；第 3 题①：分子 =-x (x-2)，分母 =(x+2)(x-2)，约分后得\(-\frac{x}{x+2}\)；②：分母 =-(x²-y²)=-(x-y)(x+y)，约分后得\(-\frac{x - y}{x + y}\)；第 4 题：分子分母同除以 y²，得\(\frac{(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y}}{(\frac{x}{y})^2 + 1} = \frac{4 - 2}{4 + 1} = \frac{2}{5}\)。幻灯片 9：易错点与注意事项忽略 “整式不为 0” 的条件：如由\(\frac{a}{b} = \frac{a(x + 1)}{b(x + 1)}\)，误认为 x 可取任意值，忽略 x=-1 时 x+1=0，分式无意义；约分不彻底：如将\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}\)约分为\(\frac{x - 1}{x + 1}\)是正确的，但误约分为\(\frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2}\)（未分解分子）或\(\frac{x - 1}{x^2 + 2x + 1}\)（未约去分母的公因式），均为不彻底；符号处理错误：如将\(\frac{2 - x}{x - 3}\)化简为\(\frac{x - 2}{x - 3}\)（仅改变分子符号，未改变分式或分母符号），正确应为\(-\frac{x - 2}{x - 3}\)；混淆 “同乘” 与 “同加”：误将分式性质记为 “分子分母同加一个整式，值不变”（如\(\frac{1}{2} \neq \frac{1 + 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}\)），需明确是 “同乘除” 而非 “同加减”。幻灯片 10：课堂小结核心知识梳理：类别具体内容分式的基本性质分子分母同乘（除）一个不等于 0 的整式，分式的值不变，符号表示：\(\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C} = \frac{A÷C}{B÷C}\)（B≠0，C≠0）符号法则分子、分母、分式本身的符号，改变任意两个，分式的值不变约分（性质应用）步骤：1. 因式分解（多项式）；2. 找公因式；3. 同除公因式；4. 得最简分式关键注意事项1. 乘除的整式必须不为 0；2. 约分需彻底（化为最简分式）；3. 符号化简遵循 “变二不变一”思想方法类比思想（从分数性质类比分式性质）、转化思想（多项式分式转化为因式分解后约分）幻灯片 11：课后作业完成课本对应练习题（如习题 18.1 第 4、5 题）；利用分式基本性质填空或约分：① \(\frac{x}{x + 1} = \frac{(\quad)}{x^2 - 1}\)（x≠1）；② \(\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}\)；③ \(\frac{-2a b^2}{-8a^2 b}\)；拓展思考：① 若分式\(\frac{x^2 - 1}{(x - 1)(x + 2)}\)的值为 0，求 x 的值（提示：结合分式值为 0 的条件与约分）；② 已知\(\frac{a}{b} = \frac{3}{4}\)，求\(\frac{2a - b}{a + 2b}\)的值（提示：设 a=3k，b=4k，代入计算）。【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 分数的约分与通分1.什么是分数的约分？ 2.什么是分数的通分？ 如果把分数换为分式，又会如何呢？温故知新约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数. 先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母同乘最简公分母，计算即可.上面几个分数是否相等？ 　　分数的基本性质. 　　相等. 问题1：观察这几个分数：分数的基本性质：　　分数的分子、分母都乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．你能叙述分数的基本性质吗？ 问题2：你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？ 问题3：下面的变形成立吗？  根据分数的基本性质可以知道，上面的变形成立.分式的基本性质：　　分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？ 问题4：追问1 如何用式子表示分式的基本性质？ (1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； (2)所乘(或除以)的必须是同一个整式；(3)所乘(或除以)的整式应该不等于零. 追问2　应用分式的基本性质时需要注意什么？ 例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？解：(1)正确．分子、分母除以同一个不等于0的整式x ； (2)不正确．分子乘x，而分母没乘； (3)正确．分子、分母除以同一个不等于0的整式(x -y)． 分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变.填空：约分 观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？分式的分子、分母约去公因式，值不变.问题5：约分的方法：①如果分式的分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式；②如果分子或分母是多项式，就要先对多项式进行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后约分.③约分结果为最简分式或整式.下列分式中，是最简分式的是:　　　 (填序号).(2)(4)约分： 通分填空：分母乘2ac，根据分式的基本性质，分子也乘2ac.分母乘3b，根据分式的基本性质，分子也乘3b，整理得6ab-3b2 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 1. 通分的依据是什么？2. 通分的关键是什么？3. 如何确定n个分式的公分母？ 分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 确定各分式的最简公分母. 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.解:(1)最简公分母是2a2b2c. (2)最简公分母是(x + 5)(x－5).例 通分：1. 通分的步骤①确定最简公分母，②化异分母分式为同分母分式.2.确定最简公分母的方法(1)分母为单项式：①取各分母系数的最小公倍数，②相同字母取次数最高的，③单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式.(2)分母为多项式：①把各分母分解因式，②把每一个因式看做一个整体，按系数、相同因式、不同因式这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母.通分： 1. ［2025北京房山区期中］下列各式从左到右的变形正确的是( )D  C    返回4.利用分式的基本性质填空：     返回5.（1）不改变分式的值，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母都不含“-”号：          返回6. 下列各式中，错误的是( )C  B  返回    返回      返回分式的基本性质约分通分必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！