17.2.2用完全平方公式分解因式-课件-2025-2026学年2024人教版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：17.2.2 用完全平方公式分解因式副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]衔接提示：上节课我们学习了用平方差公式分解因式，今天将学习另一种基于整式乘法公式的因式分解方法 —— 用完全平方公式分解因式。它适用于 “完全平方式” 结构的多项式，是因式分解中处理三项式的重要工具，让我们一起探索其应用规律。幻灯片 2：课程导入旧知回顾：完全平方公式（整式乘法）：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)；\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)；因式分解定义：将多项式化为几个整式乘积的形式（如\(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\)）。情境问题：观察多项式\(x^2 + 6x + 9\)，它的结构有什么特点？（可写成\(x^2 + 2\times x\times3 + 3^2\)，符合\(a^2 + 2ab + b^2\)）；能否将\(x^2 + 6x + 9\)逆用完全平方公式，化为两个相同整式的乘积形式？（由\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)，可得\(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\)）。这就是今天要学习的 “用完全平方公式分解因式”。幻灯片 3：完全平方公式分解因式的推导与概念1. 公式推导（逆用完全平方公式）：由整式乘法中的完全平方公式，逆向思考可得因式分解的完全平方公式：两数和的完全平方公式：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)；两数差的完全平方公式：\(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)。2. 完全平方式的结构特征（核心识别要点）：左边（多项式）：必须是三项式，且满足 “首平方、尾平方、2 倍首尾放中央”：“首平方”：第一项是某个整式的平方（如\(a^2\)）；“尾平方”：第三项是另一个整式的平方（如\(b^2\)），且第三项恒为正数（平方的非负性）；“2 倍首尾放中央”：第二项是 “首” 与 “尾” 乘积的 2 倍，符号与 “和 / 差” 对应（和的平方为正，差的平方为负）。右边（因式）：两个相同的一次二项式的乘积（即平方形式，如\((a+b)^2\)或\((a-b)^2\)）。3. 易错辨析（判断下列多项式是否为完全平方式）：① \(x^2 + 4x + 4\)：是（\(x^2 + 2\times x\times2 + 2^2 = (x+2)^2\)）；② \(x^2 - 6x - 9\)：不是（第三项为负，不符合 “尾平方恒正”）；③ \(4a^2 + 4a + 1\)：是（\((2a)^2 + 2\times2a\times1 + 1^2 = (2a+1)^2\)）；④ \(x^2 + 2x + 2\)：不是（\(2\)不是某个整式的平方）。幻灯片 4：例题讲解（基础应用：直接符合完全平方式）例题 1（两数和的完全平方式）：分解因式\(x^2 + 10x + 25\)。解题步骤：识别结构：首项：\(x^2 = x^2\)（首为\(x\)）；尾项：\(25 = 5^2\)（尾为\(5\)）；中间项：\(10x = 2\times x\times5\)（2 倍首尾，符号为正）；符合\(a^2 + 2ab + b^2\)结构，其中\(a = x\)，\(b = 5\)。逆用公式：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)；代入计算：\(x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2\)。例题 2（两数差的完全平方式）：分解因式\(4a^2 - 12ab + 9b^2\)。解题步骤：转化为完全平方项：首项：\(4a^2 = (2a)^2\)（首为\(2a\)）；尾项：\(9b^2 = (3b)^2\)（尾为\(3b\)）；中间项：\(-12ab = -2\times2a\times3b\)（2 倍首尾，符号为负）；符合\(a^2 - 2ab + b^2\)结构，其中\(a = 2a\)，\(b = 3b\)。逆用公式：\(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)；代入计算：\(4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2\)。例题 3（首项为负的情况）：分解因式\(-x^2 + 4x - 4\)。解题步骤：提取负号，调整符号（确保首项为正，方便识别结构）：\(-x^2 + 4x - 4 = -(x^2 - 4x + 4)\)；识别括号内的完全平方式：\(x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2\times x\times2 + 2^2 = (x-2)^2\)；合并结果：\(-x^2 + 4x - 4 = -(x-2)^2\)（注意负号保留在括号外，不可放入平方内）。幻灯片 5：例题讲解（进阶应用：多项式作为 “首” 或 “尾” 与提公因式结合）例题 4（多项式作为 “首” 或 “尾”）：分解因式\((x + y)^2 + 8(x + y) + 16\)。解题步骤：整体思想：将\((x + y)\)看作 “首”（即公式中的\(a\)），\(4\)看作 “尾”（即公式中的\(b\)）；识别结构：首平方：\((x + y)^2\)；尾平方：\(16 = 4^2\)；中间项：\(8(x + y) = 2\times(x + y)\times4\)；符合\(a^2 + 2ab + b^2\)结构。逆用公式：\((x + y)^2 + 8(x + y) + 16 = (x + y + 4)^2\)。例题 5（先提公因式，再用完全平方公式）：分解因式\(3x^2 - 12x + 12\)。解题步骤：第一步：提取公因式（因式分解优先提公因式）：公因式为\(3\)，提取后得\(3(x^2 - 4x + 4)\)；第二步：对剩余部分用完全平方公式：\(x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2\times x\times2 + 2^2 = (x-2)^2\)；合并结果：\(3x^2 - 12x + 12 = 3(x-2)^2\)。幻灯片 6：完全平方公式与平方差公式分解因式的对比对比维度用完全平方公式分解因式用平方差公式分解因式核心区别与联系适用多项式结构三项式（完全平方式：首平方 + 尾平方 ±2 倍首尾）二项式（平方差：首平方 - 尾平方）项数不同：完全平方公式适用于三项式，平方差公式适用于二项式右边因式形式一个二项式的平方（如\((a±b)^2\)）两个不同二项式的乘积（如\((a+b)(a-b)\)）因式形式不同：完全平方是 “平方” 形式，平方差是 “和乘差” 形式关键识别点第三项为正，中间项是 2 倍首尾乘积两项符号相反，均为完全平方项识别依据不同：完全平方看 “三项结构与中间项”，平方差看 “两项符号与平方”示例\(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\)\(x^2 - 9 = (x+3)(x-3)\)示例 1 是三项完全平方式，示例 2 是二项平方差幻灯片 7：课堂练习（分层巩固）基础题：用完全平方公式分解因式：① \(a^2 + 4a + 4\)；② \(9x^2 - 12xy + 4y^2\)；③ \(-y^2 + 8y - 16\)；判断下列分解是否正确，若错误请改正：① \(x^2 + 2x + 4 = (x+2)^2\)（ ）；② \(4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2\)（ ）。提升题：3. 分解因式：① \((m - n)^2 - 4(m - n) + 4\)；② \(2a^3b + 8a^2b^2 + 8ab^3\)（提示：先提公因式）；已知\(x + y = 5\)，\(xy = 4\)，求\(x^2 + 2xy + y^2\)和\(x^2 - 2xy + y^2\)的值（提示：先分解因式，再代入求值）。解题提示：第 2 题①：错误，\(x^2 + 2x + 4\)不是完全平方式（中间项应为\(4x\)才是\((x+2)^2\)）；②：正确；第 3 题①：将\((m - n)\)看作整体，得\((m - n - 2)^2\)；②：先提公因式\(2ab\)，得\(2ab(a^2 + 4ab + 4b^2) = 2ab(a + 2b)^2\)；第 4 题：\(x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 = 5^2 = 25\)；\(x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 25 - 16 = 9\)。幻灯片 8：易错点与注意事项完全平方式识别错误：将非完全平方式套用公式（如\(x^2 + 3x + 9\)，中间项不是\(2\times x\times3 = 6x\)，不是完全平方式）；中间项符号与系数错误：分解\(x^2 - 8x + 16\)时，误写成\((x+4)^2\)（符号错误，应为\((x-4)^2\)）；或分解\(4a^2 + 4a + 1\)时，误写成\((2a + 2)^2\)（中间项系数错误，应为\(2\times2a\times1 = 4a\)，正确为\((2a+1)^2\)）；忘记先提公因式：多项式含公因式却直接用完全平方公式（如\(2x^2 + 4x + 2\)，应先提公因式\(2\)，得\(2(x^2 + 2x + 1) = 2(x+1)^2\)，而非直接写成\((\sqrt{2}x + \sqrt{2})^2\)）；多项式项整体思想缺失：分解\((x - 2y)^2 - 6(x - 2y) + 9\)时，无法将\((x - 2y)\)看作整体，导致分解混乱（正确应为\((x - 2y - 3)^2\)）；负号处理错误：首项为负时，提取负号后括号内符号未变（如\(-x^2 + 6x - 9\)，误写成\(-(x^2 + 6x + 9)\)，正确应为\(-(x^2 - 6x + 9) = -(x-3)^2\)）。幻灯片 9：课堂小结核心知识梳理：类别具体内容公式推导逆用完全平方公式：1. \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)；2. \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)适用条件1. 多项式为三项式；2. 首项和尾项为完全平方项，且尾项为正；3. 中间项为 “2× 首 × 尾”，符号可正可负分解步骤1. 优先提公因式（若有公因式）；2. 识别完全平方式结构（首平方、尾平方、2 倍首尾）；3. 确定 “首” 和 “尾”，判断中间项符号，逆用公式分解；4. 检查是否彻底分解（含多项式项时需整体处理）关键技巧1. 整体思想：将多项式看作 “首” 或 “尾”；2. 符号处理：首项为负时先提负号，括号内各项变号；3. 验证方法：分解后展开，与原多项式对比是否一致思想方法逆向思维（逆用整式乘法公式）、整体思想（处理多项式项）、分步分解思想（先提公因式，再用公式）幻灯片 10：课后作业完成课本对应练习题（如习题 17.2 第 3、4 题）；用完全平方公式分解因式：① \(16m^2 + 24mn + 9n^2\)；② \((x + 3)^2 - 12(x + 3) + 36\)；③ \(5a^2b - 20ab^2 + 20b^3\)；拓展思考：① 分解因式\(x^4 + 4x^2 + 4\)（提示：将\(x^2\)看作整体，用完全平方公式）；② 已知\((a + b)^2 = 10\)，\((a - b)^2 = 6\)，求\(a^2 + b^2\)和\(ab\)的值（提示：展开完全平方公式，联立方程求解）。【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的乘积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？提公因式法平方差公式法a2–b2=(a+b)(a–b)用完全平方公式分解因式3.完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2回顾旧知 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：这个大正方形的面积可以怎么求？(a+b)2 a2+2ab+b2=将上面的等式两边互换，能得到： 我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. (2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ a2+2ab+b2 a2–2ab+b2观察这两个多项式：(1)每个多项式有几项？(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？三项.这两项都是数或式的平方，并且符号相同.是第一项和第三项底数的积的±2倍. 把整式乘法的完全平方公式（a+b）2=a2＋2ab＋b2，（a-b）2=a2－2ab＋b2的等号两边互换，我们能得到什么呢？a2＋2ab＋b2=（a+b）2a2－2ab＋b2=（a-b）2. 两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方，即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²–6m+9=( )² – 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x2x + 2 aa 2ba + 2b2b对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm – 33x2 m3 下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式. (1)a2–4a+4; (2)1+4a²; (3)4b2+4b–1; (4)a2+ab+b2; (5)x2+x+0.25.是，（a-2）2只有两项；不是4b²与–1的符号不统一；不是不是是ab不是a与b的积的2倍.完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式:简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.+b2±=(a ± b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1 分解因式：(1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2.分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3²，24x=2·4x·3， 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2；= (4x)2 + 2·4x·3 + 32 (2)–x2+ 4xy–4y2 =–(x2–4xy+4y2) =–(x–2y)2.把下列多项式因式分解.(1)x2–12xy+36y2; (2)16a4+24a2b2+9b4; 解：(1)x2–12xy+36y2 =x2–2·x·6y+(6y)2 =(x–6y)2;(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2;(3)–2xy–x2–y2; (4)4–12(x–y)+9(x–y)2. 解：(3)–2xy–x2–y2 = –(x2+2xy+y2) = –(x+y)2;(4)4–12(x–y)+9(x–y)2 =22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2 =［2–3(x–y)］2 =(2–3x+3y)2.例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( ) A . 11 B. 9 C. –11 D. –9B解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2·x·(–3)，故可知N=(–3)2=9.利用完全平方公式求字母的值 本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.±8例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2–12(a+b)+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36. (2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62 =(a+b–6)2.利用完全平方公式进行较复杂的因式分解 利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法.因式分解：(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)＝–3a2(x–4)2；(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2＝(a＋2)2(a–2)2.例4 把下列完全平方式分解因式： (1)1002–2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=(100–99)² (2)原式=(34＋16)2=1.=2500.利用完全平方公式进行简便运算 计算: 7652×17–2352 ×17. 解：7652×17–2352 ×17 =17 ×(7652 –2352) =17 ×(765+235)×(765 –235) =17 ×1 000 ×530 =9010000.例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.利用完全平方公式和非负性求字母的值解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0， 即(a+1)2+(b–2)2=0 ， ∴ 2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数的性质来解答． 已知x2–4x＋y2–10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝112＝121.解：∵x2–4x＋y2–10y＋29＝0，∴(x–2)2＋(y–5)2＝0.∵(x–2)2≥0，(y–5)2≥0，∴x–2＝0，y–5＝0.∴x＝2，y＝5.∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 BA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B  返回 D  A  返回  B 返回    16 返回8.母题教材P130例3 把下列各式因式分解：       返回 （1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；    返回 D  返回 AA. 正数 B. 负数C. 零 D. 非负数  返回 BA. ①② B. ②③C. ①③ D. ①②③ A   返回完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点(1)要求多项式有三项.(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！