初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）17.2 用公式法分解因式当堂检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）17.2 用公式法分解因式当堂检测题，共10页。试卷主要包含了因式分解要彻底分解，利用整体法提公因式因式分解，十字相乘法因式分解，分组分解法因式分解，因式分解的应用等内容，欢迎下载使用。

题型一、因式分解要彻底分解
1．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：．
2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）因式分解：．
3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解
(1)； (2)＋8＋16．
4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）因式分解：
(1)； (2)．
5．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
题型二、利用整体法提公因式因式分解
6．（24-25八年级上·山东青岛·期末）因式分解： ．
7．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）因式分解： ．
8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
9．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
10．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： ．
题型三、十字相乘法因式分解
11．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
12．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：
(1)； (2)．
13．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示：
仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解：；
小亮做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则__________；=_________；
（ ）（ ）
(2)因式分解：：
(3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
14．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①；
②；
③．
通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数）
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）．
例如：．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式：_________；
【类比应用】
（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________；
【拓展应用】
（3）分解因式：．
15．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！
（1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ；
（2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 ；
②解方程：．
（3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① ；
② ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： ．
题型四、分组分解法因式分解
16．（24-25八年级上·山东东营）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1)；
(2)．
17．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)；
(2)
18．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业．
因式分解：．
小明：将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，可以得到原式．
张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做法完成下列题目．
(1)因式分解：．
(2)因式分解：．
(3)因式分解：．
题型五、因式分解的应用
19．（24-25八年级上·北京·期中）已知、、是的三边，且满足，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
20．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．美我南阳C．南阳游D．我爱南阳
21．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ．
22．（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如：
分解因式：
．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由．
23．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：
①；
②．
下面是晶晶和小舒的解法：
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？
24．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）阅读下列材料：
对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：．
又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得．
于是我们可以得到：
请你根据以上材料，解答以下问题：
(1)当_______时，多项式的值为0，所以多项式有因式___________，从而因式分解________________；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知a、b、c是三角形的三边，则代数式的值（ ）
A．不能确定B．大于0C．等于0D．小于0
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若a是实数，则整式的值（ ）
A．不是负数B．恒为正数C．恒为负数D．不等于0
4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．无法判断
5．（25-26八年级上·重庆·期中）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中：
①因式分解：
②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形．
③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
6．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ．
7．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）分解因式： ．
8．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）分解因式： ．
9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若为任意整数且，则的值总能被 整除．
10．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·重庆·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
12．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
13．（20-21八年级上·陕西延安·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数．
(1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？
(2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证．
14．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：．
【问题解决】分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
15．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如）不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式．
．
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
16．（2025八年级上·全国·专题练习）整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由，得，利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．
例如：分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，故原式可分解为，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：
利用上述方法，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)将代数式先分解因式，再求值，其中．
17．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：，
（1）二次项系数：；
（2）常数项：；
（3）验算：“交叉相乘之和”．
发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则．
像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”．
仿照以上方法，因式分解：
(1)；(2)．
18．（25-26八年级上·广东江门·阶段练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．
过程如下：
．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：______．
(2)分解因式：；
(3)已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由．
目录
A题型建模・专项突破
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7044" 题型一、因式分解要彻底分解 PAGEREF _Tc7044 \h 1
\l "_Tc1587" 题型二、利用整体法提公因式因式分解 PAGEREF _Tc1587 \h 3
\l "_Tc11165" 题型三、十字相乘法因式分解 PAGEREF _Tc11165 \h 5
\l "_Tc3948" 题型四、分组分解法因式分解 PAGEREF _Tc3948 \h 9
\l "_Tc6792" 题型五、因式分解的应用 PAGEREF _Tc6792 \h 12
B综合攻坚・能力跃升
例1：“两两分组”：
解：原式
．
例2：“三一分组”：
解：原式
．
甲:
（分成两组）
（直接运用公式）
=
乙
（分成两组）
（提公因式）
晶晶：
（分成两组）
（直接提公因式）
小舒：
（分成两组）
（直接运用公式）