17.1 用提公因式法分解因式-课件-2025-2026学年2024人教版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：17.1 用提公因式法分解因式副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]衔接提示：之前我们学习了整式乘法，知道几个整式相乘得到一个多项式。现在，我们将逆向思考，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这就是因式分解。而提公因式法是因式分解的基础且重要的方法，让我们一起开启学习之旅。幻灯片 2：课程导入旧知回顾：乘法分配律：\(a(b + c) = ab + ac\) 。例如 \(3\times(2 + 5)=3\times2 + 3\times5\) 。整式乘法运算：如 \(2x(x + 3y)=2x^2 + 6xy\) 。情境问题：观察多项式 \(ma + mb + mc\) ，你能发现各项有什么共同特点吗？能否将 \(ma + mb + mc\) 写成几个整式乘积的形式，就像从 \(a(b + c)\) 得到 \(ab + ac\) 的逆过程一样？这就是我们今天要学习的提公因式法分解因式，它能帮助我们将复杂多项式简化为乘积形式，方便后续数学运算。幻灯片 3：提公因式法的概念与推导1. 公因式的定义：多项式 \(ma + mb + mc\) 中，各项都含有一个公共的因式 \(m\) ，像这样多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。2. 提公因式法的概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如对于多项式 \(ma + mb + mc\) ，公因式为 \(m\) ，提公因式后可写成 \(m(a + b + c)\) 。3. 推导依据：提公因式法是乘法分配律的逆运用。从乘法分配律 \(a(b + c) = ab + ac\) ，逆向思考可得 \(ab + ac = a(b + c)\) 。对于多项式 \(ma + mb + mc\) ，可看作 \(m\times a + m\times b + m\times c\) ，根据乘法分配律逆运算，提取公因式 \(m\) ，就得到 \(m(a + b + c)\) 。幻灯片 4：确定公因式的方法1. 系数：公因式的系数应取各项系数的最大公约数。例如对于多项式 \(6x^2 + 9x\) ，系数 \(6\) 和 \(9\) 的最大公约数是 \(3\) ，所以公因式系数为 \(3\) 。2. 字母：取各项都含有的相同字母，且相同字母的指数取次数最低的。如在多项式 \(6x^2 + 9x\) 中，两项都含有字母 \(x\) ，\(x\) 的最低次幂是 \(1\) ，所以公因式中字母部分为 \(x\) 。3. 多项式（拓展情况）：若各项中含有相同的多项式，且多项式的次数取最低的。比如多项式 \(3(x - y)^2 + 6(x - y)\) ，相同的多项式为 \((x - y)\) ，次数最低是 \(1\) 次，公因式就是 \(3(x - y)\) 。综合以上，\(6x^2 + 9x\) 的公因式是 \(3x\) ；\(3(x - y)^2 + 6(x - y)\) 的公因式是 \(3(x - y)\) 。幻灯片 5：例题讲解（基础应用：单项式作为公因式）例题 1：分解因式 \(8a^3b^2 + 12ab^3c\) 。解题步骤：确定公因式：系数：\(8\) 和 \(12\) 的最大公约数是 \(4\) 。字母：两项都含有的字母是 \(a\) 和 \(b\) ，\(a\) 的最低次幂是 \(1\) 次，\(b\) 的最低次幂是 \(2\) 次，所以公因式字母部分为 \(ab^2\) 。综上，公因式为 \(4ab^2\) 。提公因式：用公因式 \(4ab^2\) 去除多项式的每一项，得到：\(\begin{align*}&8a^3b^2\div4ab^2 + 12ab^3c\div4ab^2\\=&2a^2 + 3bc\end{align*}\)所以 \(8a^3b^2 + 12ab^3c = 4ab^2(2a^2 + 3bc)\) 。例题 2（注意首项为负的情况）：分解因式 \(-2x^2 + 4xy - 6x\) 。解题步骤：确定公因式：系数：\(\vert -2\vert = 2\) ，\(2\) 、\(4\) 、\(6\) 的最大公约数是 \(2\) ，因为首项系数为负，所以公因式系数取 \(-2\) 。字母：三项都含有字母 \(x\) ，\(x\) 的最低次幂是 \(1\) 次，公因式字母部分为 \(x\) 。公因式为 \(-2x\) 。提公因式：\(\begin{align*}&(-2x^2)\div(-2x)+4xy\div(-2x)+(-6x)\div(-2x)\\=&x - 2y + 3\end{align*}\)所以 \(-2x^2 + 4xy - 6x = -2x(x - 2y + 3)\) 。幻灯片 6：例题讲解（进阶应用：多项式作为公因式）例题 3：分解因式 \(3a(x - 2y)-b(x - 2y)\) 。解题步骤：确定公因式：观察发现两项都含有多项式 \((x - 2y)\) ，且次数最低为 \(1\) 次，所以公因式为 \((x - 2y)\) 。提公因式：\(\begin{align*}&3a(x - 2y)\div(x - 2y)-b(x - 2y)\div(x - 2y)\\=&3a - b\end{align*}\)所以 \(3a(x - 2y)-b(x - 2y)=(x - 2y)(3a - b)\) 。例题 4（先变形再提公因式）：分解因式 \(6(a - b)^2 + 3(b - a)\) 。解题步骤：变形：因为 \((b - a)=-(a - b)\) ，所以原式可化为 \(6(a - b)^2 - 3(a - b)\) 。确定公因式：公因式为 \(3(a - b)\) 。提公因式：\(\begin{align*}&6(a - b)^2\div3(a - b)-3(a - b)\div3(a - b)\\=&2(a - b)-1\end{align*}\)所以 \(6(a - b)^2 + 3(b - a)=3(a - b)(2(a - b)-1)=3(a - b)(2a - 2b - 1)\) 。幻灯片 7：提公因式法与整式乘法的对比（避免混淆）对比维度提公因式法整式乘法核心区别运算方向把多项式化为几个整式乘积的形式（逆过程）几个整式相乘得到多项式（正过程）运算方向相反：提公因式法是整式乘法的逆运算表达式变化从多项式到因式乘积（如 \(ma + mb + mc\) 到 \(m(a + b + c)\) ）从因式到多项式（如 \(m(a + b + c)\) 到 \(ma + mb + mc\) ）表达式形式变化相反应用场景用于简化多项式，为后续如分式运算、解方程等做准备用于构建多项式，如计算图形面积、体积等表达式应用目的不同：提公因式法侧重于化简，整式乘法侧重于构建示例\(4x^2 + 6x = 2x(2x + 3)\)\(2x(2x + 3)=4x^2 + 6x\)结果形式不同，方向相反幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）基础题：分解因式下列各式：① \(4x^3 - 8x^2\) ；② \(3a^2b - 6ab^2\) ；③ \(-5x^2y + 10xy^2 - 15xy\) 。指出下列分解因式中的错误并改正：① \(6x^2y - 4xy^2 = 2xy(3x - 2xy)\) （ ）；② \(4a^3b - 8a^2b^2 = 4a^2b(a - 2b)\) （ ）。提升题：3. 分解因式：① \(5(x - y)^3 + 10(y - x)^2\) ；② \(a(x - y) - b(y - x)\) 。已知 \(a + b = 3\) ，\(ab = 2\) ，求 \(a^2b + ab^2\) 的值（提示：先提公因式再代入求值）。解题提示：第 2 题①：错误，公因式提取后，\(6x^2y\div2xy = 3x\) ，\(4xy^2\div2xy = 2y\) ，应改为 \(6x^2y - 4xy^2 = 2xy(3x - 2y)\) ；②：正确。第 3 题①：因为 \((y - x)^2=(x - y)^2\) ，所以原式 \(=5(x - y)^3 + 10(x - y)^2 = 5(x - y)^2(x - y + 2)\) ；②：因为 \((y - x)=-(x - y)\) ，原式 \(=a(x - y)+b(x - y)=(x - y)(a + b)\) 。第 4 题：\(a^2b + ab^2 = ab(a + b)\) ，把 \(a + b = 3\) ，\(ab = 2\) 代入，得 \(2×3 = 6\) 。幻灯片 9：易错点与注意事项公因式提取不彻底：如分解因式 \(4x^2 + 8x\) ，误写成 \(2x(2x + 4)\) ，\((2x + 4)\) 还可继续提取公因式 \(2\) ，应彻底分解为 \(4x(x + 2)\) 。忽视系数的最大公约数：分解 \(6x^3y + 9x^2y^2\) ，若只提 \(x^2y\) ，写成 \(x^2y(6x + 9y)\) ，忽略了系数 \(6\) 和 \(9\) 的最大公约数是 \(3\) ，正确应为 \(3x^2y(2x + 3y)\) 。符号处理错误：当多项式首项为负时，提公因式后括号内各项符号未变号。如分解 \(-3x^2 + 6x\) ，写成 \(-3x(x + 2)\) 错误，应为 \(-3x(x - 2)\) 。多项式公因式的遗漏：对于含有多项式公因式的情况，如 \(2(x - y)^2 + 4(x - y)\) ，只提数字公因式 \(2\) ，写成 \(2((x - y)^2 + 2(x - y))\) ，未完整提取公因式 \(2(x - y)\) ，正确应为 \(2(x - y)(x - y + 2)\) 。幻灯片 10：课堂小结核心知识梳理：类别具体内容概念推导基于乘法分配律逆运算，把多项式中各项公因式提出化为乘积形式。公因式确定方法系数取最大公约数，字母取相同且次数最低，有相同多项式时取最低次幂。关键记忆点1. 首项为负时，提负号后括号内各项变号；2. 公因式要提净；3. 注意系数、字母、多项式公因式的全面提取。应用技巧1. 对于复杂多项式，先观察整体结构找公因式；2. 遇到互为相反数的多项式，通过变形化为相同多项式再提公因式；3. 可通过整式乘法检验提公因式结果是否正确。思想方法逆向思维（逆用乘法分配律）、整体思想（将多项式中的部分看作整体作为公因式）。幻灯片 11：课后作业完成课本对应练习题（如习题 17.1 第 1、2 题）。用提公因式法分解因式下列各式：① \(10a^3b - 15a^2b^2 + 20ab^3\) ；② \(7(x - 2)^2 - 14(2 - x)\) ；③ \(a^2b(x - y)^3 - ab^2(y - x)^2\) 。拓展思考：① 已知多项式 \(ax + ay + bx + by\) ，请用提公因式法分解因式（提示：分组后提公因式）。② 若 \(x^2 + 3x = 2\) ，求 \(3x^2 + 9x - 1\) 的值（提示：对式子提公因式后整体代入求值）。【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 因式分解的概念请同学们先完成下列计算，看谁算得又准又快.(1)20×(－3)2＋60×(－3)； (2)1012－992；(3)572＋2×57×43＋432.解：方法一：(1)原式=20×9﹣180 =180﹣180 =0.(2)原式=10201﹣9801 =400.(3)原式=3249+4902+1849 =8151+1849 =10000.方法二：(1)原式=﹣3×[20×(﹣3)+60] =﹣3×（﹣60+60） =0.(2)原式=（101+99）×（101-99） =200×2 =400；(3)原式=（57+43）2 =1002 =10000. 在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数得出的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分怎样计算？p(a+b+c)①和pa+pb+pc②因式分解的概念﹣p(a+b+c)=pa+pb+pc整式乘法?1.运用整式乘法法则或公式填空：(1) p(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x–1)= ；(3) (a+b)2 = .pa+pb+pcx2 –1a2 +2ab+b22.根据等式的性质填空：(1) pa+pb+pc=( )( )(2) x2 –1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2p a+b+cx+1 x–1a+b 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.pa+pb+pc p(a+b+c)因式分解整式乘法pa+pb+pc = p(a+b+c)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即例 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式乘积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因. ① ② ③④ ⑤ ⑥ ③⑥am+bm+c=m(a+b)+c24x2y=3x ·8xyx2–1=(x+1)(x–1)(2x+1)2=4x2+4x+1x2+x=x2(1+ )2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是积的运算因式分解的对象是多项式是整式乘法每个因式必须是整式pa+pb+pc用提公因式法分解因式 多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式.公共因式p观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2＋x公共因式x问题1： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. ( a+b+c )pa+ pb +pcp= 找出 3x 2 – 6xy 的公因式.系数：最大公因数.3字母：相同的字母.x 所以这个多项式的公因式是3x.指数：相同字母的最低次数.1如何确定一个多项式的公因式？问题2：(1)ax＋ay＋a； (2)3mx－6mx2； (3)4a2＋10ah；(4)x2y＋xy2；　　 (5)12xyz－9x2y2.解：（1）a；（2）3mx;(3)2a；（4）xy；（5）3xy观察上面的公因式的特点，想一想确定公因式的方法？找一找: 下列各多项式的公因式是什么？找出多项式的公因式的正确步骤：3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. (1) 8a3b2 + 12ab3c；例1 把下列各式分解因式.分析：提公因式法步骤(分两步) 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.(2) 2a(b+c) – 3(b+c).整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.利用提公因式法分解因式解：(1) 8a3b2 + 12ab3c=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式是b.(2) 2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a–3).如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.因式分解：(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)–3(b＋c)；(3) (a＋b)(a–b)–a–b.(3)原式＝(a＋b)(a–b–1)．解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；(2)原式＝(b＋c)(2a–3)；注意：公因式要提尽.正解：原式=6xy(2x+3y).小明的解法有误吗？当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.注意：某项提出莫漏1.正解：原式=3x·x–6y·x+1·x =x(3x–6y+1)小亮的解法有误吗？ 提出负号时括号里的项没变号.注意：首项有负常提负.正解：原式= – (x2–xy+xz) = – x(x–y+z) 小华的解法有误吗？提取公因式分解因式的技巧： ①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.例2 计算：(1)39×37–13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14) ＝20.16×100 ＝2016.＝13×20＝260；解：(1)原式＝3×13×37–13×91＝13×(3×37–91)方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．利用因式分解进行简便运算=259 = 9900(1)= 99×(99+1)简便计算.  解：原式=99×99+99 解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125 =0.125×(13.8+86.2) =0.125×100 =12.5 例3 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.解：∵a＋b＝7，ab＝4，方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.利用因式分解求整式的值 已知a-b=5，ab=3，求a2b-ab2的值.解: a2b+ab2 =ab(a-b) =3 × 5 =15 CA. 都是因式分解B. 都是乘法运算C. ①是因式分解，②是乘法运算D. ①是乘法运算，②是因式分解 返回2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )C  A  返回   返回 B   返回      返回7.利用简便方法计算：     返回 A  BA. 20B. 30C. 35D. 40  返回10. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：___________________________.    返回提公因式法分解因式定义pa+pb+pc=p(a+b+c)方法确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数第一步找公因式；第二步提公因式注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！