18.3.1同分母分式相加减-课件-2025-2026学年2024人教版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：18.3.1 同分母分式相加减副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]衔接提示：前面我们学习了分式的乘方及乘除混合运算，今天将转向分式的加减运算。首先从最简单的 “同分母” 情况入手，类比分数的同分母加减法则，推导分式的同分母加减法则，它是分式加减运算的基础，为后续异分母分式加减奠定基础。幻灯片 2：课程导入旧知回顾：分数的同分母加减法则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减，结果能约分的要约分。例如：\(\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2 + 1}{5} = \frac{3}{5}\)，\(\frac{4}{7} - \frac{2}{7} = \frac{4 - 2}{7} = \frac{2}{7}\)；分式的基本性质：分子分母同乘（除）非 0 整式，值不变；分式约分：约去分子分母公因式，化为最简分式。情境问题：类比分数的同分母加法，分式\(\frac{a}{c}\)与\(\frac{b}{c}\)（c≠0）相加，结果应该是什么形式？是否为\(\frac{a + b}{c}\)？分式\(\frac{x + 1}{x - 2}\)减去\(\frac{x - 3}{x - 2}\)（x≠2），又该如何计算？今天我们将通过类比与验证，明确同分母分式相加减的法则。幻灯片 3：同分母分式相加减法则的推导与表述1. 法则推导（类比分数）：分数中，同分母加减 “分母不变，分子相加减”，本质是 “相同分母的分数，单位相同，可直接合并分子”；分式中，同分母分式\(\frac{A}{B}\)与\(\frac{C}{B}\)（B≠0），分母 B 相同，类比分数可得：加法：\(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\)，分母不变，分子相加，即\(\frac{A + C}{B}\)；减法：\(\frac{A}{B} - \frac{C}{B}\)，分母不变，分子相减，即\(\frac{A - C}{B}\)；合理性验证：根据分式的基本性质，\(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A + C}{B}\)（分母相同，分子可直接合并），且 B≠0，保证分式有意义。2. 法则表述：文字语言：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；符号语言：加法：\(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A + C}{B}\)（B≠0，A、B、C 为整式）；减法：\(\frac{A}{B} - \frac{C}{B} = \frac{A - C}{B}\)（B≠0，A、B、C 为整式）；关键强调：“分母不变” 是前提，“分子相加减” 是核心，结果需化为最简分式或整式（分子相加减后若有公因式，需与分母约分）。幻灯片 4：例题讲解（同分母分式加法）例题 1（分子为单项式的加法）：计算：\(\frac{2x}{x + y} + \frac{3x}{x + y}\)（x + y ≠ 0）。解题步骤：确认分母相同（均为 x + y），按法则计算：分母不变，分子相加；分子相加：2x + 3x = 5x；合并结果：\(\frac{5x}{x + y}\)（分子分母无公因式，已是最简分式）。例题 2（分子为多项式的加法）：计算：\(\frac{x^2 - 1}{x - 1} + \frac{x + 1}{x - 1}\)（x ≠ 1）。解题步骤：分母相同（均为 x - 1），分子相加：\((x^2 - 1) + (x + 1)\)；去括号并合并同类项：\(x^2 - 1 + x + 1 = x^2 + x\)；写出结果：\(\frac{x^2 + x}{x - 1}\)；因式分解分子（检查是否可约分）：\(x^2 + x = x(x + 1)\)，分子分母无公因式（分母为 x - 1），最终结果为\(\frac{x(x + 1)}{x - 1}\)。幻灯片 5：例题讲解（同分母分式减法）例题 3（分子为单项式的减法）：计算：\(\frac{5a}{3b} - \frac{2a}{3b}\)（b ≠ 0）。解题步骤：分母相同（均为 3b），按法则计算：分母不变，分子相减；分子相减：5a - 2a = 3a；合并结果：\(\frac{3a}{3b}\)，约分（分子分母同除以 3）得\(\frac{a}{b}\)（化为最简分式）。例题 4（分子为多项式，需注意符号的减法）：计算：\(\frac{2x + 1}{x^2 - 4} - \frac{x - 3}{x^2 - 4}\)（x ≠ ±2）。解题步骤：分母相同（均为 x² - 4），分子相减：\((2x + 1) - (x - 3)\)（注意：减式分子需加括号，避免符号错误）；去括号并合并同类项：\(2x + 1 - x + 3 = x + 4\)；写出结果：\(\frac{x + 4}{x^2 - 4}\)；因式分解分母：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，分子 x + 4 与分母无公因式，最终结果为\(\frac{x + 4}{(x + 2)(x - 2)}\)。例题 5（结果为整式的情况）：计算：\(\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1}\)（x ≠ -1）。解题步骤：分子相减：\((x^2 + 2x + 1) - (x - 1) = x^2 + 2x + 1 - x + 1 = x^2 + x + 2\)？（修正：重新计算分子）正确分子计算：\((x^2 + 2x + 1) - (x - 1) = x^2 + 2x + 1 - x + 1 = x^2 + x + 2\)（错误，应为\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\)，重新计算）：正确步骤：因式分解分子（简化计算）：\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\)；分子相减：\((x + 1)^2 - (x - 1)\)；展开并合并：\(x^2 + 2x + 1 - x + 1 = x^2 + x + 2\)（仍无公因式，换例题）；修正例题：计算\(\frac{x^2 - 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 1}\)（x ≠ 1）：分子相减：\((x^2 - 1) - (x - 1) = x^2 - 1 - x + 1 = x^2 - x\)；结果：\(\frac{x^2 - x}{x - 1} = \frac{x(x - 1)}{x - 1} = x\)（约分后为整式）。幻灯片 6：同分母分式加减与同分母分数加减的对比对比维度同分母分式相加减同分母分数相加减联系与区别法则核心分母不变，分子相加减，结果需化为最简分式 / 整式分母不变，分子相加减，结果需约分法则核心一致，均 “分母不变，分子相加减”分子运算分子为整式，需注意去括号、合并同类项，可能需因式分解分子为整数，直接加减运算分子运算复杂度不同：分式需处理整式运算，分数仅整数运算结果处理可能为分式或整式（分子能被分母整除时）结果为分数（可能为整数，即分母为 1 的分数）结果形式相似，均需简化（约分或化为最简分式）示例（加法）\(\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} = 1\)\(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\)示例 1 结果为整式，示例 2 结果为整数，逻辑一致示例（减法）\(\frac{3a}{2b} - \frac{a}{2b} = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\)\(\frac{5}{7} - \frac{3}{7} = \frac{2}{7}\)示例 1 需约分，示例 2 已最简，步骤一致幻灯片 7：课堂练习（分层巩固）基础题：计算下列同分母分式加法：① \(\frac{3x}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}\)（x ≠ 2）；② \(\frac{a^2 + a}{a + 1} + \frac{a + 1}{a + 1}\)（a ≠ -1）；计算下列同分母分式减法：① \(\frac{4y}{5x} - \frac{y}{5x}\)（x ≠ 0）；② \(\frac{x^2 - 4}{x + 2} - \frac{x + 2}{x + 2}\)（x ≠ -2）。提升题：3. 计算：① \(\frac{2x + 3}{x^2 - 9} + \frac{x - 6}{x^2 - 9}\)（x ≠ ±3）；② \(\frac{(x + y)^2}{x - y} - \frac{4xy}{x - y}\)（x ≠ y）；已知\(\frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x + 1} = 1\)（x ≠ -1），且 a + b = 5，求 x 的值（提示：先合并左边分式）。解题提示：第 1 题①：\(\frac{4x}{x - 2}\)；②：\(\frac{a^2 + a + a + 1}{a + 1} = \frac{(a + 1)^2}{a + 1} = a + 1\)；第 2 题①：\(\frac{3y}{5x}\)；②：\(\frac{x^2 - 4 - (x + 2)}{x + 2} = \frac{x^2 - x - 6}{x + 2} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{x + 2} = x - 3\)；第 3 题①：\(\frac{2x + 3 + x - 6}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{3x - 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{3(x - 1)}{(x + 3)(x - 3)}\)；②：\(\frac{x^2 + 2xy + y^2 - 4xy}{x - y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y} = \frac{(x - y)^2}{x - y} = x - y\)；第 4 题：左边合并为\(\frac{a + b}{x + 1} = \frac{5}{x + 1} = 1\)，解得 x + 1 = 5，x = 4。幻灯片 8：易错点与注意事项分子相减时符号错误：如计算\(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 2}{x - 1}\)时，误写成\(\frac{x + 1 - x - 2}{x - 1} = \frac{-1}{x - 1}\)（正确应为\(\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 1} = \frac{x + 1 - x + 2}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}\)），忘记给减式分子加括号；结果未化简：如计算\(\frac{2x}{4y} + \frac{x}{4y} = \frac{3x}{4y}\)（正确），但计算\(\frac{3x}{3y} + \frac{x}{3y} = \frac{4x}{3y}\)（正确），若结果为\(\frac{2x}{2y}\)未约分为\(\frac{x}{y}\)，则为错误；忽略分母不为 0 的条件：如计算\(\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x - 2}\)时，未注明 x ≠ 2，或代入 x = 2 进行计算；分子为多项式时未合并同类项：如计算\(\frac{x^2 + 3x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\)时，分子相加得\(x^2 + 3x + x + 1 = x^2 + 4x + 1\)，未合并同类项直接写成\(\frac{x^2 + 3x + x + 1}{x + 1}\)，结果不规范；因式分解不彻底导致无法约分：如计算\(\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}\)时，未将分子\(x^2 - 2x + 1\)分解为\((x - 1)^2\)，导致无法发现分子分母的公因式。幻灯片 9：课堂小结核心知识梳理：类别具体内容同分母分式加减法则分母不变，分子相加减，符号语言：加法：\(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A + C}{B}\)；减法：\(\frac{A}{B} - \frac{C}{B} = \frac{A - C}{B}\)（B≠0）运算步骤1. 确认分母相同；2. 分子相加减（减法需给减式分子加括号）；3. 合并同类项；4. 因式分解分子分母（若需）；5. 约分，化为最简分式或整式关键注意事项1. 分子减法注意符号（加括号）；2. 结果必须化简（约分）；3. 始终注意分母不为 0 的条件思想方法类比思想（从分数加减类比分式加减）、转化思想（分子多项式运算转化为整式加减）幻灯片 10：课后作业完成课本对应练习题（如习题 18.3 第 1、2 题）；计算下列同分母分式加减：① (\frac{5a - 1}{3a^2} + \frac{1 - 2a}{【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 同分母分式的加减法法则同分母的分式加减法的法则例 计算：解：原式归纳总结：同分母分式的加减，分母不变，分子相加减，当分子是多项式时，先加括号，然后进行计算，结果要化为最简分式或整式.–1直接说出运算结果.....（1）（2）（3）（4）计算：解：（1）原式（2）原式异分母的分数如何加减？通分，将异分母的分数化为同分母的分数.异分母分式的加减法的法则异分母分式的加减应该如何进行？比如：通分，将异分母的分式化为同分母的分式. 解：如何找公分母呢？ 找系数的最小公倍数，相同的因式取指数较大的因式.符号表示：异分母的分式加减法的法则异分母分式的加减的计算归纳总结：异分母分式的加减分为两步：第一步通分，化为同分母分式；第二步运用同分母分式的加减法则计算.解：原式(2)a2 –4 能分解：a2 –4 =(a+2)(a–2)，其中 (a–2)恰好为第二个分式的分母，所以 (a+2)(a–2)即为最简公分母.分子相减时，“减式”要添括号！解：原式=计算：=x+y解：（1）原式（2）原式计算： A 2. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是( )D  返回3. 下列计算正确的是( )D  返回  DA. ①B. ②C. ③D. ④ 返回 1  1 返回7.母题教材P152例1 计算：     返回 B   返回 BA. ①B. ②C. ③D. ①或② CA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个分式的加减法法则注意事项：①若分子是多项式，则加上括号，然后再加减；②计算结果一定要化成最简分式或整式.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！