数学八年级上册（2024）17.2 用公式法分解因式课后练习题

这是一份数学八年级上册（2024）17.2 用公式法分解因式课后练习题，文件包含专题12因式分解的八类综合题型压轴题专项训练数学人教版2024八年级上册原卷版docx、专题12因式分解的八类综合题型压轴题专项训练数学人教版2024八年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

类型一、利用因式分解的定义求参数
例1．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（ ）
A．4B．C．7D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可．
【详解】解：由题意得，
二次三项式在整数范围内可因式分解为，
，
，
故选：C．
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（ ）
A．3，B．，4C．20，4D．20，
【答案】C
【分析】本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
故选：C．
【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．将因式分解的结果用多项式乘法公式展开，其结果与二次三项式比较即可求解．
【详解】解：，
．
故选：D ．
【变式1-3】（24-25八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
，
解得：，．
另一个因式为，的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
(2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值．
【答案】(1)，
(2)另一个因式是，a的值是2
【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．
（1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值．
（2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：设另一个因式是，则有：
，
则，
解得：，
则另一个因式是：，；
（2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则
，
则，
解得，或（舍去，不符合题意），
另一个因式是，
故另一个因式是，．
类型二、提公因式法因式分解
例2．因式分解：．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式2-1】因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解．利用提公因式法进行因式分解．
【详解】解：．
【变式2-2】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.
（1）用提公因式法分解因式即可；
（2）用提公因式法分解因式即可.
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式2-3】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键．
（1）直接利用提公因式法分解因式即可；
（2）直接利用提公因式法分解因式即可；
（3）将变形为，再直接提公因式进行求解，即可解题．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
类型三、综合运用公式法因式分解
例3．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合运用公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键．
（1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可；
（2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式3-1】因式分解
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解的方法，多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用提取公因式法分解因式即可得到答案；
（2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可求解；
（3）首先利用多项式乘以多项式运算法则展开，然后利用完全平方公式分解因式即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【变式3-2】因式分解．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用提公因式法求解即可；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【变式3-3】因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
类型四、综合提公因式和公式法因式分解
例4．因式分解：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
【变式4-1】因式分解：
(1)；
(2)；
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式4-2】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答．
（2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式4-3】把下列各式进行因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式的方法．
（1）提取公因式即可得；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得；
（3）先利用平方差公式，再提取公因式即可得；
（4）先提取公因式，利用完全平方公式即可得．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式，
；
（3）解：原式，
，
；
（4）解：原式，
，
．
类型五、利用整体法提公因式因式分解
例5．因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式5-1】因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是变形；式子变形后提取公因式，再把另一个因式用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
【变式5-2】因式分解：
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【变式5-3】分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
类型六、十字相乘法因式分解
例6．分解因式：
【答案】
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
【变式6-1】分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【变式6-2】小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示：
仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解：；
小亮做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则__________；=_________；
（ ）（ ）
(2)因式分解：：
(3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)，
【知识点】十字相乘法
【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法，
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解分解可得；
（3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可．
【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3；
∴；
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则；
（3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是：
；；；，
即整数的所有可能的值是：，．
【变式6-3】【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①；
②；
③．
通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数）
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）．
例如：．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式：_________；
【类比应用】
（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________；
【拓展应用】
（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式．
（1）按照已知条件中方法进行分解因式即可；
（2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可；
（3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可．
【详解】解：（1）
，
，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
，
，
，
∴或 或或 ，
整数的值可能是或，
故答案为：或；
（3），
，
，
，
．
类型七、分组分解法因式分解
例7．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键．
（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式7-1】因式分解： ．
【答案】
【知识点】分组分解法、提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可．
【详解】解∶原式
，
故答案为∶ ．
【变式7-2】分解因式： ．
【答案】
【知识点】分组分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
本题利用分组分解法，十字相乘法和提公因式法进行因式分解即可．
【详解】原式
．
故答案为：．
【变式7-3】“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】分组分解法
【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用分组分解法是解答本题的关键．
（1）原式先进行分组，再提取公因式，最后运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）原式先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
类型八、因式分解的应用
例8．我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如：
分解因式：
．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，理由见解析
【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件
【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键．
（1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解；
（2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：等腰三角形．
由，可得．
，
．
．
是等腰三角形．
【变式8-1】已知、、是的三边，且满足，则的形状是（ ）．
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出，进而得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵、、是的三边，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形，
根据现有条件无法证明是直角三角形和等边三角形，
故选：C．
【变式8-2】若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ．
【答案】10
【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，即，
∴，
，b=4，
①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形；
②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形
周长为．
故答案为：10．
【变式8-3】在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：
①；
②．
下面是晶晶和小舒的解法：
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？
【答案】(1)；
(2)是等腰三角形．
【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解．
（1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
∴是等腰三角形．
一、单选题
1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可．
【详解】解：A、，是整式的乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意；
B、中，不属于因式分解，该选项不符合题意；
C、，不属于因式分解，该选项不符合题意；
D、，是因式分解，该选项符合题意；
故选：D．
2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数．
【详解】解：（1），符合题意；
（2）不能运用公式法分解因式，不符合题意；
（3），符合题意；
（4）不能运用公式法分解因式，不符合题意．
∴能运用公式法分解因式的有2个．
故选：B．
3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）把多项式分解因式得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正误即可．
【详解】解：
．
故选：A．
4．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．
先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值．
【详解】解：∵，，
∴
．
故选：D．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键．
【详解】解：∵，
又∵多项式可以因式分解成，，为整数，
∴，
∴，，
∴，
即的值是．
故选：C．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B．
二、填空题
7．（2025·吉林四平·模拟预测）分解因式 ．
【答案】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，，再将原式化成，连接两次代值计算便可得出答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
∵，
，，
原式
．
故答案为：．
9．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除．
【答案】12
【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答．
【详解】解：
．
∴一定能被最大的正整数12整除．
故答案为：12
10．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
11．（24-25七年级下·河北唐山·期末）在学了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为m的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得m与n的关系式为，则a的值为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积公式解答即可．
本题考查了正方形的面积，矩形的面积，等腰直角三角形的面积，熟练掌握计算公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，且，
又∵，
故，
解得．即a的值为．
故答案为：．
12．（2025·四川成都·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ．
【答案】 5 1023669
【分析】本题考查数的规律探究，因式分解的应用，解题关键是通过推导得出“好数”为正奇数，再利用规律计算．
由变形得，代入，通过整式运算化简，结合，推出．因为a、b、不全为0，所以其中只有一个数为0，不妨设，则．将，代入，分析得出满足恒成立的正整数n是奇数，即“好数”为所有正奇数．按正奇数从小到大排列，找到第3个“好数”是5；确定大于100且不超过2025的正奇数，通过数的个数和首尾数，利用（首数尾数）个数的方法，算出这些“好数”的和．
【详解】解：由，得，
则
,
∵，
，
、b、c不全为零，
、b、c中只有一个数为零，
不妨设，从而，
恒成立即恒成立，
显然满足条件的正整数n为奇数，
即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个，
大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个，
第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为．
故答案为：5，．
三、解答题
13．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解：
(1)；；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
（1）先通过变形将式子化为有公因式的形式，提取公因式后，再利用平方差公式继续分解；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式、完全平方公式进行分解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
（1）利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法因式分解．
（1）利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）利用提公因式法进行因式分解即可；
（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式．
16．（24-25八年级上·山东德州·期末）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______；
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止；
（3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式．
【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解，
故选：C；
（2）解：由得该因式分解的最后结果为，
故答案为：；
（3）解：依题意，设，
．
17．（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：．
【问题解决】分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数．
（1）根据，分解因式即可；
（2）根据，分解因式即可；
（3）根据，分解因式即可；
（4）根据，分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
故答案为：；
（2）
；
故答案为：；
（3）
；
故答案为：；
（4）
；
故答案为：．
18．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）阅读理解：
已知，求，的值．
解：，
，
，
又，，
，，
，．
学以致用：
(1)若，求t的值；
(2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)是等边三角形
【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
（1）将变形为即可求出结果；
（2）将变形为，得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
．
∵、、是的三边，
∴是等边三角形．
19．（25-26八年级上·全国·课后作业）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)若，求的值；
(3)计算：．
【答案】(1)A
(2)2
(3)
【分析】本题考查平方差公式的几何意义及应用，因式分解，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是得出答案的关键．
（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案，
（2），即，又，可求出的值，
（3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案．
【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为
因此有，，
故选：A；
（2）解：，，
；
（3）解：原式，
，
，
．
20．（2025八年级上·全国·专题练习）问题：已知多项式含有因式和，求，的值．
解：设（其中为整式），
取，得，①
取，得，②
由①，②解得，．
根据以上阅读材料，解决下列问题：
(1)若多项式含有因式，求实数的值；
(2)若多项式含有因式，求实数，的值；
(3)如果一个多项式与某正数的差含有某个一次因式，则称这个正数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式除以一次因式的余数．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用、二元一次方程组和一元一次方程的应用，理解阅读材料中的方法是解题关键．
（1）设，其中为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得；
（2）设，其中为整式，分别取，，和，，可得一个关于、的方程组，解方程组即可得；
（3）设，其中是一个正数，为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设（其中为整式），
取，得，
解得；
（2）设（其中为整式），
取，，得，①
取，，得，②
由①，②解得，；
（3）设多项式除以一次因式的余数为，另一个因式为，
则，
取，得，
解得，
除以一次因式的余数为．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17933" 典例题详解
\l "_Tc4524" 类型一、利用因式分解的定义求参数
\l "_Tc26332" 类型二、提公因式法因式分解
\l "_Tc18452" 类型三、综合运用公式法因式分解
\l "_Tc10051" 类型四、综合提公因式和公式法因式分解
\l "_Tc20891" 类型五、利用整体法提公因式因式分解
\l "_Tc18841" 类型六、十字相乘法因式分解
\l "_Tc20608" 类型七、分组分解法因式分解
\l "_Tc13138" 类型八、因式分解的应用
\l "_Tc6073" 压轴专练
知识点总结
1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，其结果必须是整式乘积，且每个因式都是最简整式（不能再分解），这是判断是否为因式分解的核心标准。
2.多项式相等的条件：若两个多项式相等，则对应项的系数和常数项分别相等，即“同类项系数相同”，这是通过等式对比求参数的依据。
解题技巧
1.逆向构造因式分解形式：根据题意设出分解后的整式乘积形式（如二次多项式可设为两个一次式的积），展开后与原多项式对比，利用系数相等列方程求参数。
2.验证分解的有效性：求出参数后，代入原多项式进行因式分解，检查结果是否符合定义（整式乘积、无公因式可提），排除使分解不成立的参数值。
知识点总结
1.公因式的概念：多项式各项都含有的公共整式，包括系数（取各项系数的最大公约数）、相同字母（取最低次幂），是提公因式的前提。
2.提公因式法法则：把多项式的各项都除以公因式，将多项式化为公因式与另一个多项式的积的形式，即ma + mb + mc = m(a + b + c)，遵循“一提二剩”原则。
解题技巧
1.全面找公因式：先确定系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，注意隐藏公因式（如互为相反数的因式可通过符号转化提取，如b - a = -(a - b)）。
2.提净后检查：提取公因式后，剩余多项式的各项不应再含公因式，若有漏提需补提；多项式第一项为负时，通常先提负号，使括号内第一项为正。
知识点总结
1. 常用乘法公式的逆用：包括平方差公式a2 - b2 = (a + b)(a - b)、完全平方公式a2 ±2ab + b2 = (a ± b)2，以及立方和（差）公式等，是公式法因式分解的核心依据。
2. 多项式的结构特征：需识别多项式是否符合公式形式，如平方差公式要求两项异号且均为平方形式，完全平方公式需三项式且有两项为平方项、一项为两平方项底数乘积的2倍。
解题技巧
1. 先提公因式再用公式：若多项式各项有公因式，先提取公因式，使剩余部分满足公式结构（如2x2 - 8 = 2(x2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2)）。
2. 多次运用公式分解：对分解后仍可继续分解的因式，重复使用公式（如x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x2 + 4)(x + 2)(x - 2)），确保分解彻底。
知识点总结
1.公因式提取与公式结构识别：需掌握公因式的确定方法（系数最大公约数、相同字母最低次幂），以及平方差公式、完全平方公式等的结构特征（如两项异号平方项、三项式中平方项与乘积项的关系）。
2.因式分解的步骤原则：遵循“一提二套三查”，即先提取公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底，确保结果为最简整式乘积。
解题技巧
1.优先提取公因式简化多项式：无论多项式是否符合公式形式，先检查是否有公因式，提取后使剩余部分更易匹配公式（如3a3-12a = 3a(a2 -4) = 3a(a+2)(a-2)）。
2.组合运用确保分解彻底：提取公因式后，若剩余部分仍可继续分解（如符合平方差或完全平方形式），需再次套用公式，避免仅提取公因式就停止分解的不彻底情况。
知识点总结
1.整体思想与公因式概念延伸：将多项式中的某个多项式（如a+b、x-y）视为一个整体“字母”，其公因式可表现为相同的整体整式，需理解整体作为因式的等价性（如b-a=-(a-b)）。
2.提公因式法的拓展应用：在整体视角下，提公因式法仍遵循“提取公共整式”原则，即把整体公因式提取后，剩余部分为原多项式除以整体公因式的结果，保持整式乘积形式。
解题技巧
1.识别整体公因式结构：观察多项式各项，找出重复出现的多项式整体（如(x+y)在多项中出现），或通过符号转化统一整体形式（如将(y-x)2转化为(x-y)2）。
2.分步提取简化运算：先将整体视为单字母提取公因式，再对剩余部分检查是否可继续分解，如(a+b)(x-y)+(a+b)(x+y)=(a+b)[(x-y)+(x+y)]=(a+b)*2x。
知识点总结
1. 十字相乘法的原理：针对二次三项式ax2 + bx + c（a≠0），通过寻找两个数m、n（或整式），使m *n = a *c且m + n = b，将多项式分解为(px + q)(rx + s)的形式，本质是逆用多项式乘法法则。
2. 适用多项式特征：主要用于二次项系数为1（x2 + bx + c）或可分解的二次三项式，需满足常数项能拆分为两个数的乘积，且这两个数的和等于一次项系数。
解题技巧
1. 拆分常数项（或交叉项）：对x2 + bx + c，将c拆为p* q，使p + q = b，直接分解为(x + p)(x + q)；对ax2 + bx + c，先拆分a为m *n、c为p*q，使mq + np = b，交叉相乘后组合。
2. 验证结果正确性：分解后通过多项式乘法展开，检查是否与原多项式一致，避免因拆分错误导致结果偏差，尤其注意符号（如常数项为负时，拆分的两数异号）。
知识点总结
1. 分组的目的与依据：分组分解法是将多项式各项适当分组，使每组能提取公因式或运用公式法分解，核心是分组后整体能继续分解，依据多项式的项数（通常四项或六项）和结构特征（如含相同因式的项分组）。
2. 与其他分解方法的结合：分组后需结合提公因式法、公式法等，如分组后各组有公因式可提取，或分组后形成平方差、完全平方等公式结构，体现“分组—分解—再分解”的逻辑。
解题技巧
1. 按公因式分组：将含相同公因式的项分为一组，提取公因式后使两组间出现新的公因式，如ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)。
2. 按公式结构分组：对四项式，可分组为“二二型”形成平方差（如a2 - b2 + a - b = (a2 - b2) + (a - b) = (a - b)(a + b + 1)），或“三一型”形成完全平方后再用平方差，确保分组后可继续分解。
例1：“两两分组”：
解：原式
．
例2：“三一分组”：
解：原式
．
甲:
（分成两组）
（直接运用公式）
=
乙
（分成两组）
（提公因式）
知识点总结
1. 因式分解的基本方法：包括提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法、分组分解法等，能将多项式转化为整式乘积形式，是解决应用问题的工具基础。
2. 代数式求值与等量关系转化：利用因式分解简化代数式，结合方程思想解决实际问题中的数量关系（如面积计算、整除问题、方程求解），需掌握“分解后整体代入”“转化为乘积形式分析整除性”等思路。
解题技巧
1. 从实际问题提炼多项式：将应用场景中的数量关系（如面积公式、路程关系）转化为多项式，通过因式分解简化表达式（如用分解法求不规则图形面积的和差）。
2. 利用乘积特性分析问题：对于整除、最值等问题，将多项式分解后，根据整式乘积的性质（如因数取值范围、符号特征）求解，例如通过分解判断某数是否为整数倍，或找到表达式的最值点。
晶晶：
（分成两组）
（直接提公因式）
小舒：
（分成两组）
（直接运用公式）