初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十八章 分式18.1 分式及其基本性质18.1.2 分式的基本性质同步测试题

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类型一、分式有无意义的条件
例1．若分式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件．
根据分母不为零即可求出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴．
故答案为：．
【变式1-1】若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；据此得，即可求解．
【详解】解：由于代数式有意义，则，
得：；
故答案为：．
【变式1-2】若分式无意义，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】当 时，分式有意义；当 时，分式无意义．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解．
【详解】解：当，即时，分式有意义；
当，即时，分式无意义；
故答案为：，．
类型二、分式的值为零
例2．若分式的值为0，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据题意可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：，
故答案为：
【变式2-1】若分式的值为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件即可得到答案， 掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：依题意，
∴
故答案为：．
【变式2-2】分式的值为0，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键．
根据分式的意义和性质，由分式值为0的条件知，分式，当时的值为0，若分式的值为0，需要且即可求解．
【详解】解：若分式的值为0，得且，
故，
故答案为：．
【变式2-3】若分式的值为0，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，且，
解得，
故答案为：．
类型三、利用分式的基本性质判断分式是否正确
例3．下列分式变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，变形错误，不符合题意；
B、，变形错误，不符合题意；
C、，变形错误，不符合题意；
D、，变形正确，符合题意；
故选D．
【变式3-1】若，则下列分式化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握性质的本质是解题的关键．根据分式的基本性质“分式的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分式的值不变”求解即可．
【详解】解：A. ，分子、分母同时加2，分式值不一定不变，本选项不符合题意；
B. ，分子、分母同时加，分式值不一定不变，本选项不符合题意；
C. ，分子、分母同时除以2，分式值不变，本选项符合题意；
D. ，分子、分母同时开方，分式值不一定不变，本选项不符合题意．
故选：C．
【变式3-2】若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．缩小2倍C．不变D．缩小4倍
【答案】C
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，再约分化简即可得到答案．
【详解】解：把分式中和的值都扩大2倍后变形为，
∴分式的值不变，
故选：C．
【变式3-3】把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．缩小为原来的2倍
C．扩大为原来的倍D．扩大为原来的2倍
【答案】D
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的基本性质；把分式中的分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可判断．
【详解】解：，
即分式的值扩大为原来的 2 倍；
故选：D．
类型四、分式与最简分式的判断
例4．下列各式中：，，，，分式的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键．
【详解】解：和是分式，共2个，
故选：D．
【变式4-1】下列分式为最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】最简分式、约分
【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐项分析即可判断．
【详解】解：A、，故此选项不是最简分式，不符合题意；
B、，故此选项不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，故此选项不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【变式4-2】代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题主要考查了分式的识别，若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，据此求解即可．
【详解】解：代数式，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
【变式4-3】分式、、、中，最简分式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可．
【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意；
，是最简分式，符合题意；
故选C．
类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数
例5．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．
【变式5-1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
【变式5-2】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数．
【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==．
故选D．
【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号．
【变式5-3】不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.
【详解】
故选D.
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.
类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数
例6．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可.
【详解】解：．
故选：C
【变式6-1】不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．
利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．
【详解】解：
．
故选：A．
【变式6-2】不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可．
【详解】解：，
故选：A．
【变式6-3】不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键．
根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解．
【详解】解：，
故选：B ．
类型七、求使分式值为整数时未知数的整数值
例7．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个．
【答案】4
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴，2，3，6，，，，，
解得：，，1，，，，，，
其中x的值为整数有：，1，，共4个．
故答案为：4．
【变式7-1】若分式的值为整数，则非负整数的值为 ．
【答案】或或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为整数，
∴可以为、、、，
∴可以为、、、，
∴非负整数的值为或或．
故答案为：或或．
【变式7-2】若为正整数，且也为正整数，则的值为 ．
【答案】或/6或2
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键．
根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可．
【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且，
∴当时，，原式为正整数，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，原式为正整数，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，的值为或，
故答案为：或 ．
【变式7-3】使得为整数的自然数的个数为 个．
【答案】6
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可．
【详解】解：
，
∵分式的值为整数且x为自然数，
∴或2或3或4或6或12，
∴或1或2或3或5或11，
共6个，
故答案为：6．
类型八、与分式有关的新定义型问题
例8．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：
；
，
则和都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________；
(3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？
【答案】(1)①③④是“和谐分式”
(2)
(3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数
【分析】本题主要考查分式的新定义；
（1）根据和谐分式的定义逐一判断即可；
（2）根据和谐分式的定义计算求解即可；
（3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可．
【详解】（1）解：①；
②；
③；
④，
①③④是“和谐分式”．
故答案为：①③④．
（2）解：
，
．
故答案为：．
（3）解：的值为整数，
当为整数时，的值也要为整数，
当或时，分式的值为整数，
或或或，
即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数．
【变式8-1】（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题：
(1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③
(2)是，见解析
【分析】本题考查了分式的化简、因式分解．
（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解：，是整式，
①是“巧分式”；
，不是整式，
②不是“巧分式”；
，是整式，
③是“巧分式”；
（2）解：分式的“巧整式”为．
，
；
，
又是整式，
是“巧分式”．
【变式8-2】（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值：
(3)若分式的“巧整式”为．
①求整式A．
②是“巧分式”吗？
【答案】(1)①③
(2)
(3)①；②是“巧分式”
【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义．
（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可；
（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解：，是整式，
①是“巧分式”；
，不是整式，
②不是“巧分式”；
，是整式，
③是“巧分式”；
故答案为：①③；
（2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为，
，
，
；
（3）解：①分式的“巧整式”为．
，
，即；
②，
又是整式，
是“巧分式”．
【变式8-3】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如．
解决下列问题：
(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式；
(3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值．
【答案】(1)真
(2)
(3)．
【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
（1）利用真分式和假分式的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；
（3）利用整数和整除的意义讨论解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式，
故答案为：真；
（2）解：
；
（3）解：；
∵分式的值为整数，x为整数．
∴或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴整数的值是．
一、单选题
1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查分式的定义，对题中出现的各式逐一分析，统计出分式的个数即可．
【详解】解：对于，分母是a，a是字母，所以是分式；
对于，分母是，是一个常数，也是常数，不含有字母，所以不是分式；
对于，分母是2，2是常数，不含字母，所以不是分式；
对于，的分母是x，x是字母，所以是分式；
对于，分母是，x是字母，所以是分式．
综上所述，其中分式有：，，，共3个．
故选：B．
2．（25-26七年级下·全国·单元测试）分式，，，中最简分式的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是分式的约分，最简分式，因式分解，解题关键是熟练掌握最简分式的定义．
将每个选项的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分化简，如果无法继续进行化简则选项是最简分式，如果可以继续化简，则选项不是最简分式．
【详解】解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
，即不是最简分式；
，即不是最简分式；
的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式．
综上，最简分式的个数是个．
故选：．
3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如果把分式中的和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的倍B．扩大为原来的倍
C．缩小为原来的D．不变
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是分式的基本性质、解题关键是熟练掌握分式的基本性质．
根据，判断作答即可．
【详解】解：把分式中的和的值都扩大为原来的倍，
则分式变为，
分式的值扩大为原来的倍．
故选：．
4．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．且B．且
C．且D．且且
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得且且，
故选：D．
5．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析，判断其正确性．
【详解】解：（1）．故（1）错误；
（2）．故（2）错误；
（3）分子、分母同时乘以，分式的值不变，即．故（3）正确．
综上所述，正确的变形有1个．
故选：B．
6．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．8个
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键．
将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可．
【详解】解：
，
若要的值为整数，只需为整数即可，可以是，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个，
故答案为：D．
二、填空题
7．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）当x 时，分式有意义．当 时，分式的值为0．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件．对于第一个空，根据分式有意义的条件，令分母不为零，求解x的取值范围；对于第二个空，根据分式值为零的条件，先令分子为零，再检验分母是否不为零，从而确定x的值．
【详解】解：（1）依题意得：，
解得．
（2）依题意得：，且，
∴，且，
解得．
故答案为：，．
8．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若分式的值为负，则的范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
9．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ．
【答案】或0或2或8
【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
要使分式的值是整数，则是7的因数，
∴或，
∴或0或2或8，
故答案为：或0或2或8．
10．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
（1）分子与分母都乘以10即可；
（2）分子与分母都乘以12即可．
【详解】解：（1）
故答案为：
（2）
故答案为：
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
（1）将分母中的负号提到分式前面即可；
（2）分子和分母都乘以即可；
（3）分子和分母都乘以即可．
【详解】（1）
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）
故答案为：
12．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用分式的基本性质填空：
（1），括号内应填入 ；
（2），括号内应填入 ；
（3），括号内应填入 ；
（4），括号内应填入 ．
【答案】 x
【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
，
故答案为：；
，
故答案为：．
三、解答题
13．（25-26八年级上·全国·课前预习）当为何值时，下列分式的值为0？
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)没有使分式的值为0的值
【分析】本题考查的是分式的值为0的条件；
（1）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可；
（2）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可；
（3）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵的值为，
∴且，
解得：．
（2）解：∵的值为，
∴且，
解得：．
（3）解：∵的值为，
∴且，
∴没有使分式的值为0的值．
14．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点．
（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案；
（2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
15．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键．
（1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可；
（2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知．
(1)若y的值为正数，求x的取值范围；
(2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值．
【答案】(1)
(2)或或或或或
【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键．
（1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围；
（2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值．
【详解】（1）解：的值为正数，
，
；
（2），y的值为整数，
或或或或或，
或或或或或．
17．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）．
如：；．
根据上面材料回答下列问题：
(1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”）
(2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______；
(3)将假分式化为带分式．
【答案】(1)真分式
(2)；或或或；
(3)
【分析】本题主要考查了分式的约分：
（1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解；
（2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案；
（3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式；
（2）解：；
∵的值是整数，
∴是整数，
∴是整数，
∴或，
∴或或或；
（3）解：
．
18．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下面例题解法：
例：已知，求分式的值．
解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得
原式．
方法二：设，则，把它们代入原式，得
原式．
根据以上解题方法解答下题：
已知，试求分式的值．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可．
【详解】解：方法一：∵，
∴，，
∴
；
方法二：∵，
∴，
设，则，
∴
．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7102" 典例详解
\l "_Tc1735" 类型一、分式有无意义的条件
\l "_Tc31196" 类型二、分式的值为零
\l "_Tc14722" 类型三、利用分式的基本性质判断分式是否正确
\l "_Tc20371" 类型四、分式与最简分式的判断
\l "_Tc28485" 类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数
\l "_Tc1967" 类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数
\l "_Tc16483" 类型七、求使分式值为整数时未知数的整数值
\l "_Tc5922" 类型八、与分式有关的新定义型问题
\l "_Tc15429" 压轴专练
1.无意义：分母等于0时，分式无意义。解题时只需让分母等于0，解出未知数的值。
2.有意义：分母不等于0时，分式有意义。解题时让分母不等于0，解出未知数的取值范围。
3.注意：计算时千万不要把分子算进去。分子的取值不影响分式是否有意义。
- 分子等于0：这是让整个分式值为零的前提。
- 分母不等于0：这是保证分式有意义的底线。
解题步骤：
1.先让分子等于0，解出可能的x值
2.把这些x值代入分母，检查分母是否为0
3.排除使分母为0的x值，剩下的就是答案
1.看变形方式：分子和分母是不是同时进行了"乘以同一个数"或"除以同一个数"的操作。
2.看乘除的数：这个用来乘或除的整式，必须是一个不为零的整式。
3.看是否有遗漏：特别要注意符号和系数，确保变形是作用在整个分子和整个分母上，而不是只作用在某一项上。
1.先分解，后观察：把分子和分母分别进行因式分解。
- 比如提取公因式、用平方差公式等
- 分解后更容易看清它们的结构
2.找"亲戚"：检查分解后的分子和分母是否有相同的因式。
- 这些相同的因式就是它们的"公因式"
- 只要存在公因式，分式就不是最简的
3.看特例：如果分子或分母本身就是一个不能再分解的质数或因式，那就不用再考虑了。
1.先判断，后变号：检查分子或分母的最高次项系数是否为负数。
- 如果是负数，就在整个分子或分母前面乘以-1
- 这相当于改变了整个分子或分母的符号
2.要变号，同变化：根据分式的基本性质，分子和分母要同时变化。
- 如果只改变分子的符号，那么分式本身的符号也要改变
- 同理，只改变分母的符号，分式本身的符号也要改变
- 记住：只变一处，分式变号；两处都变，符号不变
3.化最简，再检查：处理完符号后，记得看看分子和分母是否还有公因式。
- 如果有，需要进行约分，得到最简分式
1. 找出分母：先看分子和分母中所有分数系数的分母。
- 例如，系数是 1/2、2/3 和 5/6，它们的分母就是 2、3 和 6。
2. 计算最小公倍数：求出这些分母的最小公倍数(LCM)。
- 在上例中，2、3、6 的最小公倍数是 6。
- 这个最小公倍数就是我们要找的"放大倍数"。
3. 同乘倍数：用这个最小公倍数同时乘以分子和分母。
- 这样就能把所有分数系数都变成整数。
- 同时，分式的值保持不变。
1. 先化简：如果分式比较复杂，先进行因式分解和约分。
- 把它变成最简形式，这样更容易分析。
2. 再变形：用"分离常数法"把分式拆开。
- 例如，把 (x + 3) / (x - 1) 变形为 1 + 4 / (x - 1) 。
- 这样，只要 4 / (x - 1) 是整数，整个分式的值就是整数。
3. 列方程：确定分母的取值。
- 分母必须是分子的约数。
- 在上例中， x - 1 必须是 4 的约数，即 ±1, ±2, ±4 。
- 然后解出 x 的值，并确保分母不为零。
1. 读懂定义：这是最重要的一步。仔细阅读题目给出的新规则，比如"新运算"或"新符号"的含义。
- 用笔把规则里的关键条件划出来
- 确保完全理解后再动手
2. 套用规则：把题目中的具体数字或字母，代入到新定义的规则里。
- 这一步就像做翻译，把新的语言翻译成我们熟悉的数学表达式
- 通常是一个分式
3. 化简求解：得到熟悉的表达式后，就可以用我们学过的分式知识来解题了。
- 可以是化简、求值，也可以是解方程
- 用我们已经掌握的方法来解决问题