专题06 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册练习+答案

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专题06 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线例1．如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：；【变式1-1】如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、．(1)求证：；(2)若，求的度数．【变式1-2】如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证：(1)；(2)．【变式1-3】如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接．(1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接，① 证明 ：．② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积．类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高例2．在中，点是边上的两点．  (1)如图1，若，．求证：；(2)如图2，若，，设，．①猜想与的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，，请直接写出的度数．【变式2-1】已知在中，，且，作等腰，使得．  (1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）(2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；(3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）【变式2-2】在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．  (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．一、单选题1．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）  A．B．平分C．D．2．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ）A．10B．8C．6D．43．如图，在等腰中 ，，点 D 为边的中点，点E在边上，．若点P是等腰的腰上的一点，当为等腰三角形时，则的度数是（      ）A．B．C．D．或4．如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题5．如图，在中，是边上的中线．若，则的度数为 ．6．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ．7．如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ．8．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 三、解答题9．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．(1)求证：；(2)若，则的度数为 ___________．10．如图，点D、E在的边上，，．  (1)求证：；(2)若，，求的度数．11．如图．已知中，，点D是边上一点．连结，过点D作，交于点E，且有．求证：(1)；(2)．12．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．(1)求证：；(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．13．已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)如图①，过点作交于点，求证：；(2)如图②，当点为的中点时，求的长；(3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由．14．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．  (1)若线段，求线段的长；(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．①是否成立，请说明理由；②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．目录TOC \o "1-2" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17222" 典例详解 HYPERLINK \l "_Toc24507" 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 HYPERLINK \l "_Toc6335" 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 HYPERLINK \l "_Toc5751" 压轴专练模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化归的重要思想。