初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十八章 分式18.2 分式的乘法与除法练习

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知识点1：分式的乘除
1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示为：．
2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示为：．
知识点2：分式的乘方
分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
用式子表示为：．
知识点3：分式的乘除、乘方混合运算
1．分式的乘除混合运算：
在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件（如括号等），则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的．一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算．
2．分式的乘除、乘方混合运算：
分式与分数有相同的混合运算顺序，即先乘方，再乘除，有括号的先算括号里面的．
求甚解
1．分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习．
（1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘．
（3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算．
（4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式．
（5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算．
2．分式的乘方
（1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方．
（2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数．
（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．
3．分式的乘除混合运算：
一定要注意运算顺序．
练题型
题型01 分式的乘法运算
典型例题
典例
01
（2025春•沿河县校级月考）计算3xx−y⋅x−y3y的结果是（ ）
A．yxB．xyC．−yxD．−xy
【答案】B
【分析】根据分式的乘法法则计算即可．
【解答】解：3xx−y⋅x−y3y=xy，
故选：B．
即学即练
【变式练1】 （2025春•永靖县校级月考）计算1+aa2⋅aa+1的结果是（ ）
A．1a2B．a+1aC．−1aD．1a
【答案】D
【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可．
【解答】解：根据分式的乘法运算法则可得：
1+aa2⋅aa+1=1a，
故选：D．
【变式练2】 （2025春•槐荫区期末）计算y26x⋅x2y的结果是（ ）
A．y6xB．y6C．xyD．xy6
【答案】D
【分析】根据分式的乘法计算即可．
【解答】解：y26x⋅x2y=xy6，
故选：D．
【变式练3】 （2025•肇源县二模）化简m2−1m⋅1m+1的结果为（ ）
A．mm+1B．m−1m+1C．m−1mD．m+1m
【答案】C
【分析】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简．
【解答】解：m2−1m⋅1m+1
=(m+1)(m−1)m⋅1m+1
=m−1m，
故选：C．
题型02 分式的除法运算
典型例题
典例
02
（2025春•沂水县校级月考）化简：x2−2x+1x2−1÷x2−xx+1的结果是 ．
【答案】1x．
【分析】根据分式的除法法则把除法化为乘法，再把分式的分子、分母因式分解，再约分得到答案．
【解答】解：x2−2x+1x2−1÷x2−xx+1
=(x−1)2(x+1)(x−1)•x+1x2−x
=x−1x+1•x+1x(x−1)
=1x，
故答案为：1x．
即学即练
【变式练1】 （2025•安阳县二模）化简m2m−3÷2mm−3的结果是（ ）
A．2B．m2C．mD．12
【答案】B
【分析】把除法变成乘法后进行约分即可得到答案．
【解答】解：原式=m2m−3⋅m−32m=m2．
故选：B．
【变式练2】 （2025•本溪二模）分式2mm−n÷mm2−n2的化简结果为（ ）
A．﹣2m﹣2nB．2n﹣2mC．2m﹣2nD．2m+2n
【答案】D
【分析】将除法化为乘法，然后约分即可．
【解答】解：原式=2mm−n⋅(m+n)(m−n)m
＝2（m+n）
＝2m+2n，
故选：D．
【变式练3】 （2025春•禅城区期末）计算ab÷a2b的结果为（ ）
A．a2b2B．1aC．aD．b2a3
【答案】B
【分析】将除法化为乘法后进行约分即可．
【解答】解：原式=ab⋅ba2=1a，
故选：B．
题型03 分式的乘除混合运算
典型例题
典例
03
（2025春•双流区期末）化简：(a−1)÷1−aa⋅(−a)= ______．
【答案】a2．
【分析】先把除法变为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可．
【解答】解：(a−1)÷1−aa⋅(−a)
=(a−1)⋅a1−a⋅(−a)
=(a−1)⋅(−aa−1)⋅(−a)
＝a2，
故答案为：a2．
即学即练
【变式练1】 （2023秋•新泰市期末）化简：ba÷(−a)×1b= ．
【答案】−1a2．
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式=ba•（−1a）•1b
=−1a2．
故答案为：−1a2．
【变式练2】 （2023秋•环翠区期末）化简（a+b）÷（a﹣b）•1a−b= ．
【答案】故答案为：a+b(a−b)2．
【分析】先变除为乘，再进行计算．
【解答】解：原式＝（a+b）×1a−b×1a−b
=a+b(a−b)2．
【变式练3】 （2025春•岳西县月考）2a÷ab•b2a= ．
【答案】b2a．
【分析】先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分即可求解．
【解答】解：先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分可得：
2a÷ab⋅b2a=2a⋅ba⋅b2a=b2a．
故答案为：b2a．
题型04 分式的乘除、乘方混合运算
典型例题
典例
04
（2024秋•娄底期末）化简x3÷（x3y）2的结果是（ ）
A．x6y2B．x3y2C．y2x3D．x2y6
【答案】C
【分析】利用分式的乘除法则计算即可．
【解答】解：原式＝x3÷x6y2
＝x3•y2x6
=y2x3，
故选：C．
即学即练
【变式练1】 （2025•鹿邑县三模）计算8m4⋅(n32m)2的结果是（ ）
A．2m2n6B．4m2n6C．4m2n3D．2m3n6
【答案】A
【分析】按照混合运算法则，先算乘方，再根据进行约分即可．
【解答】解：原式=8m4⋅n64m2
＝2m2n6，
故选：A．
【变式练2】 （2025春•金台区月考）计算：(−y3x)2⋅(x−y)3÷(x2yx)2．
【答案】−yx．
【分析】先算乘方，再算乘除，即可得．
【解答】解：原式=y6x2•（−x3y3）•x2x4y2
＝﹣xy3•x2x4y2，
=−xy3⋅1x2y2
=−yx．
【变式练3】 （2024秋•丰城市校级月考）(ab2c)2⋅(−c2ab)3÷(bca)2= ．
【答案】−ac2b．
【分析】首先利用积的乘方运算化简，再利用分式的乘除运算法则化简．
【解答】解：(ab2c)2⋅(−c2ab)3÷(bca)2
=a2b4c2⋅(−c6a3b3)⋅a2b2c2=−ac2b
故答案是：−ac2b．