初中数学18.5 分式方程复习练习题

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知识点1：分式方程的概念
1．分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程．
2．分式方程必须满足的条件：
（1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未知数．三者缺一不可．
知识点2：分式方程的解法
1．解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
2．解分式方程的一般方法和步骤：
（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
知识点3：含字母的分式方程的解法
1．含字母的分式方程：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程．
2．含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件．
知识点4：列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量．
设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性．
列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程．
解：解所列出的分式方程．
验：既要检验所得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求．
答：写出答案．
求甚解
1．分式方程的增根
将分式方程转化成整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫作原分式方程的增根．
2．产生增根的原因
在将分式方程化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是一个含未知数的式子，这个式子有可能为0．如果为0，那么对于转化后的整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解．
3．解分式方程可能产生使最简公分母为0的解，所以必须检验．
4．倒数法求形如的方程
关于x的形如，通过取倒数，可直接将分式方程转化为整式方程进行求解，但要注意最后仍需检验．
5．一般情况下，解关于哪个字母的分式方程，则那个字母就表示未知数，其余字母都作为已知数存在．
6．有时可根据方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子的特点，将分子拆成两项，分别除以分母，消去分子中的未知数，然后进行求解．
7．分子对等法依据的是化分式的分子或分母对应相等，由方程两边的恒等关系得到分式的分母和分子分别对应相等，进而转化为整式方程进行求解．
8．勿忘检验系数是否为0．
9．分离整式法
当分式中分子的次数大于或等于分母的次数时，可以通过拆项法，将分式化为整式与分式的和的形式，这样可以消去分式的分子中的未知数，从而简化计算．
练题型
题型01 判断是否为分式方程
典型例题
典例
01
（2025春•滕州市校级月考）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．3+x2=1−x3B．x+15+a=2+x
C．3+xπ+x2=1D．5−x2+x=1
【答案】D
【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
【解答】解：A.3+x2=1−x3，是整式方程，不符合题意；
B.x+15+a=2+x，是整式方程，不符合题意；
C.3+xπ+x2=1，是整式方程，不符合题意；
D.5−x2+x=1，是分式方程，符合题意；
故选：D．
即学即练
【变式练1】 （2025春•良庆区校级月考）下列各式中，是分式方程的是（ ）
A．16x25=1πB．2x=12C．x+y4−19=0D．2x+2x3
【答案】B
【分析】分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可
【解答】解：A．16x25=1π是一元一次方程，不符合题意；
B．2x=12是分式方程，符合题意；
C．x+y4−19=0是二元一次方程，不符合题意；
D．2x+2x3是代数式，不符合题意．
故选：B．
【变式练2】 （2024春•秦都区校级月考）下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A．3x=12B．x+1π=x−22C．1x+1=2D．x﹣3y＝4
【答案】C
【分析】利用分式方程定义可得答案．
【解答】解：A、3x=12，分母不含未知数，不是分式方程，故该选项是错误的；
B、x+1π=x−22，分母不含未知数，不是分式方程，故该选项是错误的；
C、1x+1=2，分母含未知数，是分式方程，故该选项是正确的；
D、x﹣3y＝4，分母不含未知数，不是分式方程，故该选项是错误的；
故选：C．
【变式练3】 （2024春•泗县月考）下列关于x的方程：①x2−x−15=10；②x600=400x−30；③x4+1=52x；④a2x=1x，其中是分式方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
【解答】解：②x600=400x−30，④a2x=1x是分式方程；
①x2−x−15=10，③x4+1=52x是一元一次方程；
所以是分式方程的是②④，
故选：B．
题型02 分式方程的解
典型例题
典例
02
（2025春•朝阳区校级月考）关于x的分式方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1且a≠﹣2B．a≠1
C．a＞﹣1且a≠0D．a＜﹣1
【答案】A
【分析】先求得方程的解，再解x＞0，求出a的取值范围．
【解答】解：2x+ax−1=1，
即2x+a＝x﹣1，
所以x＝﹣a﹣1，
因为关于x的分式方程2x+ax−1=1的解是正数，
所以x＝﹣a﹣1＞0，
即a＜﹣1，
x＝1是方程的增根，
所以﹣a﹣1≠1，所以a≠﹣2，
所以a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．
故选：A．
即学即练
【变式练1】 （2025春•碑林区校级期末）若关于x的分式方程3x−mx−3=2的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6B．m＜6且m≠3C．m＞6D．m＞6且m≠9
【答案】D
【分析】根据分式方程的解法和增根的定义进行解答即可．
【解答】解：将分式方程的两边都乘以x﹣3，得
3x﹣m＝2x﹣6，
解得x＝m﹣6，
由于关于x的分式方程的解是正数，即m﹣6＞0，
解得m＞6，
又∵分式方程的增根是x＝3，
∴m﹣6≠3，
即m≠9，
综上所述，m＞6且m≠9，
故选：D．
【变式练2】 （2025春•德化县期末）若关于x的分式方程a−1x−1=2的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＞﹣1且a≠1C．a＜﹣1D．a≤﹣1
【答案】C
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可．
【解答】解：去分母得：2x﹣2＝a﹣1，
解得：x=a+12，
∵方程的解是负数，
a+12＜0且a+12≠1，
解得：a＜﹣1，
故选：C．
【变式练3】 （2025春•邗江区校级期中）关于x的方程1−ax−2−52−x=1的解为正数．则a的取值范围为（ ）
A．a＜8且a≠6B．a＜8C．a＜0D．a＜0且a≠﹣2
【答案】A
【分析】解方程，用含a的式子表示x，由x为正数，求出a的范围，再把使分母为0的x值排除．
【解答】解：解方程得1−ax−2−52−x=1得，x＝8﹣a，
∵x为正数，
∴8﹣a＞0，
解得a＜8，
又∵x﹣2≠0，
∴8﹣a﹣2≠0，
解得a≠6，
综上所述，a的取值范围是a＜8且a≠6，
故选：A．
题型03 分式方程无解，求字母的值
典型例题
典例
03
（2025春•东坡区校级期中）已知关于x的分式方程3−2xx−3+9−mx3−x=−1无解，则m的值为（ ）
A．1B．4C．1或3D．1或4
【答案】D
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可．
【解答】解：3−2xx−3+9−mx3−x=−1，
3﹣2x﹣9+mx＝3﹣x，
（m﹣1）x＝9，
∴当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m﹣1≠0时，由分式方程无解，可得x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入（m﹣1）x＝9，
解得：m＝4，
综上，m的值为1或4．
故选：D．
即学即练
【变式练1】 （2024秋•澄城县期末）若关于x的分式方程2x−5+a+15−x=1无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．1或5D．5
【答案】B
【分析】解方程得x＝6﹣m，由方程无解，则x＝5，即可求m的值．y
【解答】解：2x−5+a+15−x=1，
方程两边同时乘以x﹣5得，
2﹣（a+1）＝x﹣5，
去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5，
解得x＝6﹣a，
∵原分式方程无解，
∴x＝5，
∴m＝1，
故选：B．
【变式练2】 （2025春•巴州区校级月考）若关于x的分式方程x−ax+1=a无解，则a的值为（ ）
A．a＝1B．a＝2C．a＝1或a＝2D．a＝1或a＝﹣1
【答案】D
【分析】原方程去分母得x﹣a＝ax+a，整理得（1﹣a）x＝2a，然后根据题意分类讨论即可．
【解答】解：原方程去分母得x﹣a＝ax+a，
整理得：（1﹣a）x＝2a，
当1﹣a＝0，a＝1时，
0x＝2无解，则原分式方程无解，符合题意，
当a≠1时，
若原方程无解，那么它有增根x＝﹣1，
则﹣（1﹣a）＝2a，
解得：a＝﹣1，
综上，a＝1或a＝﹣1，
故选：D．
【变式练3】 （2025•前进区一模）若关于x的方程3xx−1=m1−x+4无解，则m的取值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．﹣3
【答案】D
【分析】先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可．
【解答】解：3xx−1=m1−x+4，
去分母得：3x＝﹣m+4（x﹣1），
去括号得：3x＝﹣m+4x﹣4，
移项得：3x﹣4x＝﹣m﹣4，
合并同类项得：﹣x＝﹣m﹣4，
解得：x＝m+4，
∵当x＝1时，分式方程无解，
∴m+4＝1，
解得：m＝﹣3．
故选：D．
题型04 分式方程的解相同
典型例题
典例
04
（2025春•普宁市校级月考）若方程axa+1−2x−1=1的解与6x=3的解相同，则a等于（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【答案】B
【分析】求出第二个方程的解得到x的值，代入第一个方程即可求出a的值．
【解答】解：6x=3，
去分母得：3x＝6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解，
第一个方程去分母得：ax（x﹣1）﹣2（a+1）＝（a+1）（x﹣1），
将x＝2代入方程得：2a﹣2a﹣2＝a+1，
解得：a＝﹣3．
故选：B．
即学即练
【变式练1】 （2022春•叙州区期中）已知关于x的分式方程2x+4=mx与分式方程32x=1x−1的解相同，求m2﹣2m的值．
【答案】−4849．
【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入2x+4=mx，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算．
【解答】解：32x=1x−1，
3（x﹣1）＝2x，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0，
∴x＝3是此方程的解；
把x＝3代入2x+4=mx，
得23+4=m3，
解得m=67；
把m=67代入m2﹣2m=(67)2−2×67=−4849．
【变式练2】 （2024秋•武陵区校级期中）已知关于x的分式方程axa+1−2x−1=1的解与方程x+4x=3的解相同，求a的值．
【答案】a＝﹣3．
【分析】先将方程x+4x=3的解求出，再将该解代入axa+1−2x−1=1，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后得出结论．
【解答】解：解分式方程x+4x=3，得x＝2，
经检验，x＝2是方程x+4x=3的解，
∵关于x的分式方程axa+1−2x−1=1的解与方程x+4x=3的解相同，
∴将x＝2代入axa+1−2x−1=1，
得：2aa+1−2=1，
解得：a＝﹣3，
经检验，a＝﹣3是方程2aa+1−2=1的解，
∴a＝﹣3．
【变式练3】 （2023春•宜宾月考）已知关于x的分式方程axa+1−2x−1=1的解与方程x+4x=3的解相同，
（1）请问这两个方程的共同解是多少？
（2）求a的值．
【答案】（1）x＝2；
（2）﹣3．
【分析】（1）根据等式的性质求出第二个方程的解即可；
（2）把求出的x＝2代入第一个方程，求出所得分式方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）x+4x=3，
x+4＝3x，
4＝2x，
x＝2，
即这两个方程的共同解是x＝2；
（2）把x＝2代入方程程axa+1−2x−1=1得：2aa+1−22−1=1，
2aa+1−2＝1，
2aa+1=3，
方程两边都乘a+1，得2a＝3（a+1），
解得：a＝﹣3，
经检验a＝﹣3是方程2aa+1−22−1=1的解，
所以a＝﹣3．
题型05 解分式方程
典型例题
典例
05
（2025•宜秀区二模）方程2x−1=3x+1的解为（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝﹣5D．x＝5
【答案】D
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：2（x+1）＝3（x﹣1），
整理得：2x+2＝3x﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，（x+1）（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x＝5，
故选：D．
即学即练
【变式练1】 （2025春•朝阳区校级月考）解下列方程．
（1）12x+1=2x；
（2）2−xx−3=13−x−2..
【答案】见试题解答内容
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原方程去分母得：x＝4x+2，
解得：x=−23，
检验：当x=−23时，x（2x+1）≠0，
故原方程的解为x=−23；
（2）原方程去分母得：2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），
整理得：2﹣x＝5﹣2x，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣3＝0，
则x＝3是分式方程的增根，
故原方程无解．
【变式练2】 （2025•吉林一模）解方程：2x−3=3x．
【答案】x＝9．
【分析】方程两边同乘x（x﹣3），将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3）得2x＝3（x﹣3），
解得x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
所以原分式方程的解是x＝9．
【变式练3】 （2025春•屯留区月考）解方程：
（1）2x−3=3x−2；
（2）4x2−1−x+2x−1=−1．
【答案】（1）x＝5；
（2）x=13．
【分析】（1）通过去分母，转化为整式方程，进而得到方程的解，然后代入检验是否是增根；
（2）通过去分母，转化为整式方程，进而得到方程的解，然后代入检验是否是增根；
【解答】解：（1）2x−3=3x−2，
去分母，得：2（x﹣2）＝3（x﹣3），
去括号，得：2x﹣4＝3x﹣9，
解这个整式方程，得：x＝5，
检验：把x＝5代入（x﹣2）（x﹣3）得，（5﹣2）（5﹣3）≠0，
∴x＝5 是原方程的解；
（2）4x2−1−x+2x−1=−1，
去分母，得：4﹣（x+1）（x+2）＝﹣（x2﹣1），
化简得：3x﹣1＝0，
解这个整式方程，得：x=13
检验：把x=13代入x2﹣1得，132−1≠0．
∴x=13是原方程的解．
题型06 分式方程的应用
典型例题
典例
06
（2025春•原阳县校级月考）飞跃体育用品商店购进一批足球和篮球，已知足球的单价是篮球单价的1.5倍，购买篮球用了1200元，购买足球用了1500元，购买篮球的个数比足球多2个，设篮球的单价为x元，则根据题意可列方程（ ）
A．1500x−12001.5x=2B．12001.5x−1500x=2
C．15001.5x−1200x=2D．1200x−15001.5x=2
【答案】D
【分析】设篮球的单价为x元，则足球单价为1.5x元/个，根据购买篮球的个数比足球多2个，列出方程式即可．
【解答】解：由题意得：1200x−15001.5x=2．
故选：D．
即学即练
【变式练1】 （2025•淮上区三模）某班同学到距离学校9km的活动基地开展团建活动．部分同学骑自行车先行，其余同学在半小时后乘公交车，结果他们同时到达．已知公交车的速度是自行车速度的4倍，设自行车的速度为xkm/h，根据题意可列出方程为（ ）
A．94x−0.5=9xB．0.5+94x=9x
C．30+94x=9xD．94x−30=9x
【答案】B
【分析】设自行车的速度为xkm/h，则公交车的速度是4xkm/h，根据乘公交车的同学的乘车时间加上半小时等于骑自行车的同学的骑车时间，列出方程即可．
【解答】解：由题意可知得：
0.5+94x=9x，
故选：B．
【变式练2】 （2025•湘西州模拟）某校计划购买一批九连环和七巧板作为科技节活动奖品，据调查，九连环单价比七巧板单价多2元，用240元购进七巧板的数量和用300元购进九连环的数量一样多．
（1）求九连环和七巧板的单价；
（2）现需购买九连环和七巧板共200套，总费用不超过1760元．问至少购买七巧板多少套？
【答案】（1）九连环和元七巧板的单价分别为10元和8；
（2）至少购买七巧板120套．
【分析】（1）设七巧板的单价为x元，则九连环单价为（x+2）元，正确列出分式方程并解出方程，再检验，即可解答；
（2）设购买七巧板m套，则购买九连环有（200﹣m）套，列出一元一次不等式，解不等式即可解答．
【解答】解：（1）设七巧板的单价为x元，则九连环单价为（x+2）元，
依题意列分式方程得：240x=300x+2，
解得x＝8，
经检验：x＝8是方程的解．
则九连环单价为：2+8＝10（元）．
答：九连环和元七巧板的单价分别为10元和8；
（2）设购买七巧板m套，则购买九连环有（200﹣m）套．
依题意列一元一次不等式得：8m+10（200﹣m）≤1760，
整理得，2m≥240，
解得m≥120．
答：至少购买七巧板120套．
【变式练3】 （2025•蓬江区校级三模）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的1.5倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？
【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨．
【分析】设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石1.5x吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可．
【解答】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石1.5x吨，
由题意得：24001.5x=2400x−4，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×200＝300，
答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨．