18.5.2分式方程的应用-课件-2025-2026学年2024人教版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：18.5.2 分式方程的应用副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]衔接提示：上节课我们学习了分式方程的解法，掌握了 “去分母→解整式方程→检验” 的核心步骤。今天，我们将运用分式方程解决实际问题 —— 它能帮助我们解决行程、工程、利润等场景中涉及 “分式关系” 的问题，是连接数学与现实生活的重要桥梁。幻灯片 2：课程导入旧知回顾：分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程（如\(\frac{1}{x} + 2 = 3\)）；分式方程的解法：去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程；解整式方程；检验：代入最简公分母，若不为 0 则为原方程的解，否则为增根。情境问题：小明从家到学校，步行速度为 5km/h，若骑车速度比步行快 10km/h，骑车所用时间比步行少 20 分钟，求小明家到学校的距离。这个问题中，时间、速度、距离的关系涉及分式，该如何用分式方程求解？一项工程，甲单独做需 x 天完成，乙单独做需 (x+5) 天完成，两人合作 2 天完成工程的一半，求 x 的值。这类工程问题又该如何构建分式方程？今天我们将通过具体实例，总结分式方程应用题的解题思路。幻灯片 3：列分式方程解应用题的一般步骤列分式方程解应用题的核心是 “找到等量关系，将实际问题转化为数学方程”，具体步骤可分为 6 步：审：审题，理解题意，明确题目中的已知量、未知量，以及涉及的基本数量关系（如路程 = 速度 × 时间，工作总量 = 工作效率 × 工作时间）；设：设未知数，通常设题目要求的未知量为 x（或其他字母），若直接设未知数较复杂，可设间接未知数；列：根据题目中的等量关系，列出分式方程（关键：用含未知数的代数式表示相关量，再根据等量关系构建方程）；解：按照分式方程的解法，求解整式方程，得到未知数的值；验：检验，分两步：第一步：检验整式方程的解是否使原分式方程的分母为 0（排除增根）；第二步：检验解是否符合实际意义（如时间、速度、人数等不能为负数或 0）；答：写出答案，回答题目中的问题（注意单位统一，语言规范）。幻灯片 4：例题讲解（类型一：行程问题）例题 1（相遇与追及问题的变形 —— 时间差关系）：从甲地到乙地的路程为 120km，一辆客车从甲地出发，以 60km/h 的速度驶向乙地，1 小时后，一辆货车从乙地出发，以 40km/h 的速度驶向甲地，两车相遇时，货车行驶了多少小时？解题步骤：审：已知路程 120km，客车速度 60km/h，货车比客车晚出发 1 小时，速度 40km/h；未知量：货车行驶时间（设为 x 小时），则客车行驶时间为 (x+1) 小时；等量关系：客车行驶路程 + 货车行驶路程 = 总路程 120km。设：设货车行驶了 x 小时，则客车行驶了 (x+1) 小时。列：根据路程 = 速度 × 时间，列方程：\( 60(x + 1) + 40x = 120 \)（注：此题为整式方程，若调整条件为 “客车比货车早到 2 小时”，则会涉及分式方程，如下题）例题 2（行程问题 —— 时间差的分式方程）：一辆汽车从 A 地到 B 地，原计划以 60km/h 的速度行驶，可按时到达；实际行驶时速度提高到 80km/h，结果提前 2 小时到达，求 A、B 两地的距离。解题步骤：审：已知原速度 60km/h，实际速度 80km/h，实际时间比原计划少 2 小时；未知量：A、B 两地距离（设为 x km）；等量关系：原计划时间 - 实际时间 = 2 小时。设：设 A、B 两地的距离为 x km。列：根据时间 = 路程 ÷ 速度，列分式方程：\( \frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 2 \)解：去分母：两边同乘 240（60 和 80 的最简公分母），得\(4x - 3x = 480\)；解整式方程：\(x = 480\)。验：检验分母：将 x=480 代入最简公分母 240，不为 0，不是增根；实际意义：距离 480km 为正数，符合实际。答：A、B 两地的距离为 480km。幻灯片 5：例题讲解（类型二：工程问题）例题 3（工程问题 —— 工作效率与合作时间）：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，若甲先做 3 天，剩下的工程由甲、乙合作完成，还需多少天？解题步骤：审：设工作总量为 “1”，甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\)（每天完成工程的\(\frac{1}{10}\)），乙的工作效率为\(\frac{1}{15}\)；未知量：合作时间（设为 x 天）；等量关系：甲先做的工作量 + 甲乙合作的工作量 = 总工作量 1。设：设还需 x 天完成。列：根据工作量 = 工作效率 × 时间，列方程：\( \frac{3}{10} + \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\right)x = 1 \)（注：此题为整式方程，若调整条件为 “甲乙合作比甲单独做少用 5 天”，则为分式方程，如下题）例题 4（工程问题 —— 合作与单独时间差的分式方程）：某车间加工一批零件，若由甲单独做需 x 小时完成，乙单独做需 (x+10) 小时完成，两人合作 5 小时后，还剩这批零件的\(\frac{1}{3}\)未完成，求 x 的值。解题步骤：审：设工作总量为 “1”，甲效率\(\frac{1}{x}\)，乙效率\(\frac{1}{x+10}\)；等量关系：甲乙合作 5 小时的工作量 = 总工作量的\(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)。设：设甲单独做需 x 小时完成。列：列分式方程：\( 5\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10}\right) = \frac{2}{3} \)解：化简方程：两边同乘\(3x(x + 10)\)（最简公分母），得\(15(x + 10) + 15x = 2x(x + 10)\)；展开整理：\(15x + 150 + 15x = 2x^2 + 20x\)，即\(2x^2 - 10x - 150 = 0\)，化简为\(x^2 - 5x - 75 = 0\)；解整式方程：用求根公式或因式分解（此处用求根公式），\(x = \frac{5 ± \sqrt{25 + 300}}{2} = \frac{5 ± \sqrt{325}}{2} = \frac{5 ± 5\sqrt{13}}{2}\)，舍去负根，得\(x = \frac{5 + 5\sqrt{13}}{2}\)（约 10.8 小时，符合实际）。验：检验分母：x≈10.8≠0，x+10≈20.8≠0，不是增根；实际意义：时间为正数，符合实际。答：甲单独做需\(\frac{5 + 5\sqrt{13}}{2}\)小时（或约 10.8 小时）完成。幻灯片 6：例题讲解（类型三：利润与浓度问题）例题 5（利润问题 —— 单价与销量的分式方程）：某商店销售一种文具，每件进价为 10 元，若按每件 15 元出售，每天可售出 200 件；若单价每降低 1 元，销量可增加 50 件。为了每天获得 1200 元的利润，且销量尽可能大，该文具的单价应降低多少元？解题步骤：审：利润 =（售价 - 进价）× 销量，进价 10 元，原售价 15 元，原销量 200 件；未知量：单价降低 x 元，则售价为 (15 - x) 元，销量为 (200 + 50x) 件；等量关系：利润 = 1200 元。设：设单价应降低 x 元。列：列方程（整式方程，若利润涉及 “利润率” 则可能为分式方程）：\( (15 - x - 10)(200 + 50x) = 1200 \)（调整为分式方程示例：若 “利润率为 20% 时，销量比利润率 10% 时多 10 件”，则设成本为 x 元，列方程\(\frac{利润1}{x} = 10\%\)，\(\frac{利润2}{x} = 20\%\)，结合销量关系）例题 6（浓度问题 —— 溶液稀释的分式方程）：现有浓度为 20% 的盐水 500g，若加入 x g 水稀释成浓度为 10% 的盐水，求 x 的值（浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液质量）。解题步骤：审：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度，原溶质质量 = 500×20%=100g，加入 x g 水后，溶液质量 = 500 + x g，浓度 = 10%；等量关系：稀释前后溶质质量不变。设：设加入 x g 水。列：列分式方程（溶质质量 = 溶液质量 × 浓度，变形为浓度 = 溶质 ÷ 溶液）：\( \frac{100}{500 + x} = 10\% \)解：化为整式方程：\(100 = 0.1(500 + x)\)；解得：\(100 = 50 + 0.1x\)，\(0.1x = 50\)，\(x = 500\)。验：检验分母：500 + 500 = 1000≠0，不是增根；实际意义：加水 500g 为正数，符合实际。答：应加入 500g 水。幻灯片 7：课堂练习（分层巩固）基础题：行程问题：小明骑自行车从家到图书馆，若速度为 12km/h，可按时到达；若速度降低为 10km/h，则迟到 15 分钟，求小明家到图书馆的距离。工程问题：一项工作，甲单独做需 8 天，乙单独做需 12 天，两人合作多少天可完成这项工作的\(\frac{2}{3}\)？提升题：3. 利润问题：某商品进价为每件 20 元，售价为每件 30 元时，每天可售出 100 件；若售价每上涨 1 元，销量减少 5 件。若每天要获得 1200 元利润，售价应上涨多少元？（列方程并求解，检验）4. 浓度问题：将浓度为 30% 的酒精溶液 200g 与浓度为 x% 的酒精溶液 300g 混合，得到浓度为 24% 的酒精溶液，求 x 的值（列分式方程求解）。解题提示：第 1 题：设距离为 x km，15 分钟 = 0.25 小时，列方程\(\frac{x}{10} - \frac{x}{12} = 0.25\)，解得 x=15km；第 2 题：设合作 x 天，列方程\(\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{12}\right)x = \frac{2}{3}\)，解得 x=3.2 天（或\(\frac{16}{5}\)天）；第 3 题：设上涨 x 元，利润 =(30+x-20)(100-5x)=1200，解得 x=4 或 x=10，检验均符合实际，若要销量大，选 x=4；第 4 题：溶质总量 = 200×30% + 300×\(\frac{x}{100}\) = (200+300)×24%，列分式方程\(\frac{60 + 3x}{500} = 24\%\)，解得 x=20。幻灯片 8：易错点与注意事项等量关系找错：如行程问题中混淆 “时间差” 与 “路程差”，工程问题中误将 “工作时间” 当作 “工作效率”（如甲做 10 天完成，效率应为\(\frac{1}{10}\)，而非 10）；单位不统一：如行程问题中速度用 km/h，时间却用分钟，未统一为小时（如例题 2 中 20 分钟需化为\(\frac{1}{3}\)小时）；检验遗漏：仅检验是否为增根，忽略实际意义（如时间为负数、人数为小数，均不符合实际，需舍去）；设未知数不明确：如设 “还需 x 天”，未说明是 “合作时间”，导致后续列方程混淆；解方程出错：去分母时漏乘常数项（如方程\(\frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{3}\)，去分母得 3x - 1 = 2x，漏乘 1×6）。幻灯片 9：课堂小结核心知识梳理：类别具体内容解题步骤审（理解题意）→设（设未知数）→列（列分式方程）→解（解整式方程）→验（检验增根与实际意义）→答（写答案）常见问题类型1. 行程问题：时间 = 路程 ÷ 速度，关注 “时间差”“速度关系”；2. 工程问题：工作效率 = 1÷ 工作时间，关注 “合作工作量”“时间差”；3. 利润 / 浓度问题：利润 =（售价 - 进价）× 销量，浓度 = 溶质 ÷ 溶液，关注 “总量不变”（如溶质、总利润）关键注意事项1. 等量关系是核心：通过关键词（“比… 少”“是… 倍”“完成… 需要”）找等量关系；2. 单位统一：确保速度 / 时间、单价 / 销量等单位一致；3. 检验不可少：既要验增根，也要验实际意义；4. 设未知数要明确：注明未知数的含义（如 “x 表示货车行驶时间，单位：小时”）思想方法建模思想（将实际问题转化为分式方程模型）、转化思想（将分式方程转化为整式方程求解）、数形结合思想（行程问题可画线段图辅助分析）幻灯片 10：课后作业完成课本对应练习题（如习题 18.5 第 3、4、5 题）；行程问题：A、B 两地相距 48km，甲、乙两人分别从 A、B 两地出发，相向而行，甲的速度【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： .  分析:甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______ .列分式方程解应用题的步骤解:设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x. 解得 x=1.检验:x=1时，6x≠0，x=1是原分式方程的解.列分式方程解应用题的一般步骤：1. 审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.4. 解:解这个分式方程.5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符 合实际意义.6. 答:注意单位和语言完整.例1 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？ 利用分式方程解答工程问题解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个零件，依题意得： 经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意.答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.由x＝18,得x–6=12解得为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍. 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品. 依题意,得 ， 解得x=40. 经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60.答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.s km所用的时间为 h；提速后列车的平均速度为 km/h，提速后列车运行 km，所用时间为 h. 根据行驶时间的等量关系，可以列出方程:例2 某次列车平均提速v km/h.在相同的时间内，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？解：设提速前列车的平均速度为x km/h，则提速前列车行驶（s+50）利用分式方程解答行程问题（x+v）方程两边乘x(x+v)，得s(x+v)=x (s+50)去括号，得sx+sv=sx+50x.移项、合并同类项，得 50x=xv. 解得检验：由于v，s都是正数所以当 时，x（x+v）≠0， 是原分式方程的解.答：提速前列车的平均速度为 km/h.八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生骑乘大巴先走，过了5min后，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的速度．解：设大巴的速度是x km/h，由题意得，方程两边同乘1.2x，得 360 –300=x.解得 x = 60 ．　　检验：当 x = 60 时，1.2x≠0.所以，x = 60 是原分式方程的解，且符合题意.答：大巴的速度是60km/h.　　解：方程的两边同时乘(x+3)(x–3)得x+3+kx–3k=k+3 整理得:(k+1)x=4k ,因为方程无解,则x=3或x = –3 当x=3时,(k+1) ·3=4k,解得k=3； 当x= –3时,(k+1)(–3)=4k, 解得 . 所以当k=3或 时,原分式方程无解.例3 关于x的方程 无解,求k的值.利用分式方程的根求字母的值或取值范围B解析:方程的两边都乘x–3，得2=x–3–m. 移项并合并同类项，得x=5+m. 由于方程无解,此时x=3，即5+m=3. ∴m = –2. D1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( )BA. 200B. 300C. 400D. 500 返回  √ 返回 80 返回4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.  返回5. 已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加人，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组( )BA. 少6天B. 少8天C. 多3天D. 多6天  返回       （2）请选择一种方法，写出完整的解答过程.   返回步骤1.审；2.设；3.列； 4.解；5.验； 6.答.应用工程问题：工作量=工作效率×工作时间行程问题：路程=速度×时间列分式方程解应用题 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！