18.5.1分式方程的解法-课件-2025-2026学年2024人教版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：18.5.1 分式方程的解法副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]衔接提示：在之前的学习中，我们已经掌握了整式方程的解法，而在实际生活和数学问题里，还常常会遇到分式方程。本节课我们将深入探究分式方程的解法，学会将分式方程转化为整式方程来求解，并掌握验根的方法，这对解决更复杂的数学和实际问题至关重要。幻灯片 2：课程导入旧知回顾：分式的定义：一般地，如果 A、B（B≠0）表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)叫做分式。例如\(\frac{x}{x + 1}\)，\(\frac{2}{x - 3}\)等。整式方程的解法：如一元一次方程\(ax + b = 0\)（\(a≠0\)），通过移项、合并同类项等步骤求解。例如方程\(2x - 3 = 5\)，移项可得\(2x = 5 + 3\)，即\(2x = 8\)，两边同时除以 2，解得\(x = 4\)。情境问题：小明和小红同时从学校出发去图书馆，小明骑自行车的速度是每小时 15 千米，小红步行的速度是每小时 5 千米。已知学校到图书馆的距离是\(x\)千米，小明比小红少用了\(\frac{2}{3}\)小时到达图书馆，根据时间 = 路程 ÷ 速度，可列出方程\(\frac{x}{5}-\frac{x}{15}=\frac{2}{3}\)。这个方程与我们之前学过的整式方程有什么不同？它该如何求解呢？一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米 / 时，它以最大航速沿江顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为\(v\)千米 / 时，可列出方程\(\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}\)。像这样分母中含有未知数的方程就是分式方程，今天我们就来学习分式方程的解法。幻灯片 3：分式方程的定义定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。示例：\(\frac{1}{x}=2\)，分母中有未知数\(x\)，是分式方程。\(\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{2}{x}=1\)，方程中两个分式的分母分别为\(x - 1\)和\(x\)，都含有未知数，是分式方程。\(\frac{2}{x + 3}=5\)，分母\(x + 3\)含有未知数\(x\)，属于分式方程。强调：判断一个方程是否为分式方程，关键看分母中是否含有未知数，注意是未知数，而不是字母。例如\(\frac{2}{\pi}\)不是分式，因为\(\pi\)是常数，不是未知数。所以方程\(\frac{2}{\pi}x + 1 = 0\)不是分式方程，而是整式方程。幻灯片 4：分式方程的解法 —— 去分母法（基础示例）基本思路：将分式方程化为整式方程，通过在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，约去分母，转化为我们熟悉的整式方程求解。例题 1：解方程\(\frac{1}{x}=\frac{2}{x + 1}\)。解题步骤：确定最简公分母：方程中两个分式的分母分别为\(x\)和\(x + 1\)，它们的最简公分母为\(x(x + 1)\)。去分母：方程两边同时乘以\(x(x + 1)\)，得到\(x(x + 1)\times\frac{1}{x}=x(x + 1)\times\frac{2}{x + 1}\)。左边\(x(x + 1)\times\frac{1}{x}=x + 1\)；右边\(x(x + 1)\times\frac{2}{x + 1}=2x\)。此时方程化为整式方程\(x + 1 = 2x\)。解整式方程：移项可得\(2x - x = 1\)，解得\(x = 1\)。检验：将\(x = 1\)代入原分式方程的分母\(x\)和\(x + 1\)中，\(x = 1≠0\)，\(x + 1 = 1 + 1 = 2≠0\)。分母不为 0，所以\(x = 1\)是原分式方程的解。幻灯片 5：分式方程的解法 —— 去分母法（复杂示例）例题 2：解方程\(\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{2}{x}=1\)。解题步骤：确定最简公分母：方程中两个分式的分母分别为\(x - 1\)和\(x\)，它们的最简公分母为\(x(x - 1)\)。去分母：方程两边同时乘以\(x(x - 1)\)，得到\(x(x - 1)\times\frac{x + 1}{x - 1}-x(x - 1)\times\frac{2}{x}=x(x - 1)\times1\)。左边第一项\(x(x - 1)\times\frac{x + 1}{x - 1}=x(x + 1)=x^{2}+x\)；左边第二项\(x(x - 1)\times\frac{2}{x}=2(x - 1)=2x - 2\)；右边\(x(x - 1)=x^{2}-x\)。此时方程化为整式方程\(x^{2}+x-(2x - 2)=x^{2}-x\)。去括号得\(x^{2}+x - 2x + 2 = x^{2}-x\)。解整式方程：移项：将含有\(x\)的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得到\(x^{2}+x - 2x + x - x^{2}=-2\)。合并同类项：\((x^{2}-x^{2})+(x - 2x + x)=-2\)，即\(0=-2\)，此方程不成立。但是我们在去分母过程中是依据等式性质进行的，出现这种情况说明原分式方程无解。这里无解的原因是在去分母后得到的整式方程的解，使得原分式方程的分母为 0，这样的解叫做增根。在解分式方程时，增根是不可避免的，所以必须进行检验。检验：假设原方程有解\(x\)，当\(x = 0\)时，原方程中\(\frac{2}{x}\)的分母为 0，分式无意义；当\(x = 1\)时，原方程中\(\frac{x + 1}{x - 1}\)的分母为 0，分式无意义。所以原分式方程无解。幻灯片 6：增根的概念与检验方法增根的定义：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使原分式方程的分母为 0，那么这个根叫做原分式方程的增根。产生原因：去分母时，方程两边同乘了一个可能使分母为 0 的整式。例如在方程\(\frac{1}{x - 1}=\frac{2}{x^{2}-1}\)中，最简公分母为\(x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)\)，去分母后得到整式方程\(x + 1 = 2\)，解得\(x = 1\)。但当\(x = 1\)时，原分式方程的分母\(x - 1 = 0\)，\(x^{2}-1 = 0\)，所以\(x = 1\)是增根，原分式方程无解。检验方法：把求得的整式方程的根代入原分式方程的分母中，如果分母不为 0，则该根是原分式方程的根；如果分母为 0，则该根是增根，原分式方程无解。也可以代入最简公分母中进行检验，若最简公分母不为 0，则是原分式方程的根；若最简公分母为 0，则是增根。例如在例题 2 中，把\(x = 0\)和\(x = 1\)代入最简公分母\(x(x - 1)\)中，当\(x = 0\)时，\(x(x - 1)=0\times(0 - 1)=0\)；当\(x = 1\)时，\(x(x - 1)=1\times(1 - 1)=0\)，所以\(x = 0\)和\(x = 1\)都是增根，原分式方程无解。幻灯片 7：分式方程解法的总结解题步骤：确定最简公分母：分析分式方程中各分式分母的因式，找出它们的最简公分母。例如对于方程\(\frac{3}{x - 2}+\frac{x}{2 - x}=4\)，分母\(x - 2\)和\(2 - x\)，因为\(2 - x = -(x - 2)\)，所以最简公分母为\(x - 2\)。去分母：方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。注意每一项都要乘，不能漏乘。如上述方程两边同时乘以\(x - 2\)，得到\(3 - x = 4(x - 2)\)。解整式方程：运用整式方程的解法，如移项、合并同类项、系数化为 1 等步骤求解整式方程。对于\(3 - x = 4(x - 2)\)，去括号得\(3 - x = 4x - 8\)，移项得\(-x - 4x = -8 - 3\)，合并同类项得\(-5x = -11\)，系数化为 1 得\(x=\frac{11}{5}\)。检验：把求得的整式方程的根代入原分式方程的分母（或最简公分母）进行检验。将\(x=\frac{11}{5}\)代入原方程分母\(x - 2=\frac{11}{5}-2=\frac{11}{5}-\frac{10}{5}=\frac{1}{5}≠0\)，所以\(x=\frac{11}{5}\)是原分式方程的解。关键要点：去分母时，要正确找到最简公分母，并且确保方程两边每一项都乘以最简公分母。解分式方程必须检验，检验是解分式方程必不可少的步骤，否则可能会得到错误的结果。幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）基础题：下列方程中，是分式方程的是（ ）A. \(2x - 1 = 0\) B. \(\frac{1}{2}x + 3 = 1\) C. \(\frac{1}{x}+2 = 0\) D. \(x^{2}+x = 2\)解方程\(\frac{2}{x}=\frac{3}{x + 1}\)。解方程\(\frac{3}{x - 1}-\frac{x + 3}{x^{2}-1}=0\)。提升题：4. 若关于\(x\)的分式方程\(\frac{x}{x - 3}-2=\frac{m}{x - 3}\)有增根，则\(m\)的值为多少？5. 解方程\(\frac{1}{x - 2}+3=\frac{1 - x}{2 - x}\)。解题提示：第 1 题：根据分式方程的定义，分母中有未知数的方程是分式方程，答案选 C。第 2 题：最简公分母为\(x(x + 1)\)，去分母得\(2(x + 1)=3x\)，解得\(x = 2\)，检验：当\(x = 2\)时，\(x(x + 1)=2\times(2 + 1)=6≠0\)，所以\(x = 2\)是原方程的解。第 3 题：最简公分母为\(x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)\)，去分母得\(3(x + 1)-(x + 3)=0\)，去括号\(3x + 3 - x - 3 = 0\)，合并同类项\(2x = 0\)，解得\(x = 0\)，检验：当\(x = 0\)时，\(x^{2}-1 = -1≠0\)，所以\(x = 0\)是原方程的解。第 4 题：方程两边同时乘以\(x - 3\)得\(x - 2(x - 3)=m\)，因为方程有增根，所以\(x - 3 = 0\)，即\(x = 3\)，把\(x = 3\)代入\(x - 2(x - 3)=m\)，得\(3 - 2\times(3 - 3)=m\)，解得\(m = 3\)。第 5 题：原方程可化为\(\frac{1}{x - 2}+3=\frac{x - 1}{x - 2}\)，最简公分母为\(x - 2\)，去分母得\(1 + 3(x - 2)=x - 1\)，去括号\(1 + 3x - 6 = x - 1\)，移项\(3x - x = -1 - 1 + 6\)，合并同类项\(2x = 4\)，解得\(x = 2\)，检验：当\(x = 2\)时，\(x - 2 = 0\)，所以\(x = 2\)是增根，原方程无解。幻灯片 9：易错点与注意事项去分母漏乘：在去分母时，只给分式方程中的分式部分乘以最简公分母，而忽略了整式部分。例如解方程\(\frac{1}{x}+2=\frac{3}{x}\)，去分母时若只给\(\frac{1}{x}\)和\(\frac{3}{x}\)乘以\(x\)，得到\(1 + 2 = 3\)，这是错误的。正确的做法是方程两边同时乘以\(x\)，得到\(1 + 2x = 3\)。忽略检验：解分式方程不检验，可能会把增根当作原方程的解。如解方程\(\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3}{(x - 1)(x + 2)}\)，去分母得到整式方程后解得\(x = 1\)，若不检验，就会认为\(x = 1\)是原方程的解。但当\(x = 1\)时，原方程分母\(x - 1 = 0\)，所以\(x = 1\)是增根，原方程无解。确定最简公分母错误：找最简公分母时，没有准确分析分母的因式。例如方程\(\frac{2}{x^{2}-4}+\frac{x}{x - 2}=1\)，分母\(x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)\)，最简公分母为\((x + 2)(x - 2)\)。若错误地认为最简公分母是\(x - 2\)，去分母后就会得到错误的整式方程，从而得出错误的解。去括号错误：在去分母后的整式方程中，去括号时没有正确运用去括号法则。比如由\(3(x - 1)-(x + 3)=0\)去括号，若错误地得到\(3x - 1 - x + 3 = 0\)，就会导致后续计算错误。正确的去括号结果是\(3x - 3 - x - 3 = 0\)。幻灯片 10：课堂小结核心知识梳理：类别具体内容分式方程的定义分母中含有未知数的方程，如 \【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 为要解决导入中的问题，我们得到了方程 ．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 分式方程的概念分母中都含有未知数．  分式方程的概念：　　分母中含有未知数的方程叫作分式方程．分式方程的特征：分母中含有未知数.注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 　 （填序号）．（2）（1）（3）总结：　　这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．解分式方程问题1：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？则得到（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．（2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母． 检验：把v=6代入分式方程得：左边= 右边=左边=右边，所以v=6是原方程的解.追问：问题3：解：方程两边乘(x-5)(x+5)，去分母得整式方程x+5=10. 解得x=5.追问2：原因：　　在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．问题4：基本思路：将分式方程化为整式方程.一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x； ②最简公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4；例1　解下列方程：解分式方程解：方程的两边同乘以x(x–3)， 得2x=3x–9 解得x=9 检验：当x=9时，x（x–3）≠0. 所以，原方程的解是x=9.解：方程两边乘2x(x+3)， 得x+3=4x. 解得x= 1. 检验：当x=1时，2x（x+3）≠0. 所以，原方程的解是x=1. 解：方程两边乘 ， 得 =3. 化简，得 =3. 解得 =1. 检验：当 =1时， =0. 因此x =1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.解含有整式项的分式方程解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4.写出原方程的解.解分式方程的思路：分式方程整式方程去分母一化二解三检验解分式方程的一般步骤：分式方程整式方程x=mx=m是分式方程的解x=m不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0去分母解整式方程检验A. 2(x–8)+5x=16(x–7)B. 2(x–8)+5x=8C. 2(x–8)–5x=16(x–7)D. 2(x–8)–5x=8A易错易混点拨：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉. 巩固练习 D  ∵方程的解为正整数，∴2+m=1或3.解得m=-1或m=1(舍去，会使分式无意义)m=-1 AA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个  返回 DA. ① B. ② C. ③ D. ④  返回 A  C  返回 D   返回   返回   返回      返回 A  返回 B   返回 C   返回 C   解分式方程整式方程x=mx=m是分式方程的解x=m不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0去分母解整式方程检验分式方程定义分母中含有未知数的方程叫作分式方程.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！