数学八年级下册（2024）22.2 函数的表示学案

这是一份数学八年级下册（2024）22.2 函数的表示学案，共8页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4，即学即练5等内容，欢迎下载使用。

知识点01 函数的图象
函数的图象的概念：
一般地，对于一个函数，如果把 与 的每对对应值分别看作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，是这个函数的图象。
图象上的点与满足函数关系的有序数对：
函数图象上的任意一点（x，y）中的x，y都满足 ；满足函数关系的任意一对有序数对所对应的点都在 。
【即学即练1】
1．王大爷饭后出去散步，从家出发，走20min到离家900m的公园，在公园休息了10min后，用15min返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：min）之间的关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】
2．清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练3】
3．如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度h是注水时间t的函数．下列函数图象中，能反映h随t变化规律的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点02 函数图象的画法
画函数图象的步骤：
步骤1：列表：表中给出一些自变量及其自变量对应的函数值。
步骤2：描点：在平面直角坐标系中，以自变量作为 ，函数值作为 ，描出表格中的数值所对应的点。
步骤3：连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的点用光滑的曲线连接起来。
【即学即练1】
4．已知长方形的长是宽的2倍，设长为y，宽为x．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）画出该函数的图象．

【即学即练2】
5．已知矩形的周长为20．
（1）求矩形的长y关于宽x的函数解析式（x为自变量），并写出自变量的取值范围．
（2）画出函数的图象．
【即学即练3】
6．甲、乙从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙在跑步全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数图象．下列说法错误的是（ ）
A．乙出发140秒后与甲第一次相遇
B．图中b＝400
C．乙比甲晚100秒出发
D．乙休息前的跑步速度为2.5米/秒
【即学即练4】
7．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（ ）
A．6B．4C．8D．16
【即学即练5】
8．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有（ ）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和9.25s．
A．2个B．3个C．4个D．5个
知识点03 函数的三种表达方式
解析式法：
定义：用含有 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。
优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。
缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。
判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。
列表法：
定义：把一系列 的值与对应的 列成一个表来表示函数关系的方法。
优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。
缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。
图象法;
定义：用图象来表示函数关系的方法。
优点：能直观形象的表达函数关系。
缺点：有些图象只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。
判断图象是否为函数图象需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图象只能有一个交点。
【即学即练1】
9．关于变量x，y有如下关系：①x﹣y＝5；②y2＝2x；③y＝|x|；④y=3x．其中y是x函数的是（ ）
A．①②③B．①②③④C．①③D．①③④
【即学即练2】
10．如图所示图象中，表示y是x的函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【即学即练3】
11．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）（0≤x≤10）有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的函数，且x是自变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
题型01 画函数的图象
【典例1】已知一个长方形的周长为12，设这个长方形的长和宽分别为x，y．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）在如图的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象．
【变式1】已知正方形的边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求y与x的函数关系式及x的取值范围，并在网格中画出函数图象；
（2）根据图象，直接写出当y＝1时正方形的边长；
（3）根据图象，直接写出x为何值时，y≥4．
【变式2】描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数y=2−x的图象变化规律．
（1）求函数自变量x的取值范围；
（2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（3）已知点A（m，n）是函数图象上的点，若n＞32，求m的取值范围．
题型02 判断图象是否为函数图象
【典例1】下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】下列选项中，y不是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
题型03 获取函数图象信息解决问题
【典例1】如图，折线为y关于x的函数图象，下列关于该函数说法正确的是（ ）
A．点（﹣2，1）在该函数图象上
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．该函数有最大值3
D．当x＞﹣3时，函数值总大于0
【变式1】已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法正确的是（ ）
A．林茂整个行程共走了2.5km
B．体育场离文具店1.5km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是60m/min
【变式2】周六上午，小颖从家出发前往早餐店用餐，随后前往图书馆阅读，最后回家．她离家的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小颖从家到早餐店用时20min
B．小颖在图书馆阅读了55min
C．小颖从图书馆出发回家的平均速度是50m/min
D．点A表示小颖出发5min时离家的距离为400m
【变式3】A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②乙出发4h后追上甲；
③甲比乙晚到53ℎ；
④甲车行驶8h或913ℎ，甲，乙两车相距80km．
其中正确的是（ ）
A．①③B．①②④C．①③④D．②③④
题型04 获取表格信息解决问题
【典例1】某同学统计了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如表）：
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化过程中，声速是温度的函数
B．在一定范围内，温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，5s内声音可以传播1740m
D．在一定范围内，温度每升高10℃，声速增加6m/s
【变式1】食用油的沸点一般都在200℃以上，如表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况：
则下列说法不正确的是（ ）
A．时间与油温是变量
B．没有加热时，油的温度是10℃
C．持续加热到60s时，预计油的温度是160℃
D．随着加热时间的增加，油温会持续升高
【变式2】水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系：
下列说法中，不正确的是（ ）
A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系
B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm
C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min
D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm
题型05 判断一个变量的大致图象
【典例1】以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元/m3），则调整水价后某户居民月用水量x（m3与应交水费y（元）的函数大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】飞机起飞后，上升到高度为akm时，改为水平飞行，一段时间后，高度又下降了bkm（b＜a），接着飞机持续上升．对于这一段时间飞机飞行高度s与时间t的函数关系，下列图象大致正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】如图是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】一款纸杯的形状如图所示，其杯口直径大于杯底直径．向纸杯内匀速倒水，表示纸杯内水的高度h（cm）与倒水时间t（s）之间关系的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
题型06 动点问题的函数图象
【典例1】如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．18B．20C．26D．36
【变式1】如图1，四边形ABCD是长方形，点P从边AD上点E出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点B，最后沿BC运动到点C．设点P运动的路程为x、△CDP的面积为y，图2是y关于x变化的函数图象，根据图象下列判断不正确的是（ ）
A．AB＝6
B．点E为AD的中点
C．当x＝3 时，△APE的面积为6
D．当3≤x≤8时，AP长度的最小值为4
【变式2】如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图象．则AB的长，a的值分别为（ ）
A．2cm，3B．3cm，2C．2cm，2D．3cm，3
1．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．在某次综合与实践活动中，小明同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如表：
小明的脚长为249毫米，则他的鞋号（码）是（ ）
A．39B．40C．41D．42
3．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据：
下列说法中错误的是（ ）
A．在这个变化中，温度是自变量，声速是因变量
B．空气温度每升高10℃，声速就增加6m/s
C．由表中数据可推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快
D．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
4．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
5．下列三个问题中的两个变量y与x之间的函数关系可以用如图表示的是（ ）
①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积y与它的宽x；
②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程y与行驶时间x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量y与放水时间x．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
6．向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度h关于注水量x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为t（h），与家的距离为s（km），则s与t的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（ ）
A．汽车在途中加油用了10分钟
B．若OA∥BC，则加满油以后的速度为80千米/小时
C．若汽车加油后的速度是90千米/小时，则a＝25
D．该同学8：55到达宁波大学
9．某人驾车从甲地驶往乙地，他以100km/h的速度行驶一段时间后休息1h，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是（ ）
A．80km/hB．90km/h
C．100km/hD．120km/h
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
11．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料﹣纳米气凝胶，该材料导热率K（W/m•K）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/m•K，则温度为 ℃．
12．一根高为22厘米的蜡烛，点燃后蜡烛剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（小时）的关系如图所示，则该蜡烛可以燃烧的时间为 小时．
13．在自制弹簧秤实验中，小明记录了弹簧的长度与下面所挂重物的关系，如表所示，在弹性范围内，若弹簧长度为16cm，估计下面所挂重物为 kg．
14．如图是小乐从学校到家里行进的路程a（米）与时间t（分）之间关系的图象观察图象，从中得到如下信息：
①学校离小乐家1000米；
②小乐用了20分钟到家；
③小乐前10分钟走了路程的一半；
④小乐后10分钟比前10分钟走得快，
其中正确的有 （填序号）．
小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（m）和小明所用时间t（min）的关系图，则下列说法中正确的是 ．
①小明吃早饭用时5min；②小华到学校的平均速度是240m/min；③小明跑步的平均速度是100m/min；④小华到学校的时间是7：05．
16．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题：
（1）在平面直角坐标系中，画出函数y＝﹣|x﹣1|+4的图象．
①列表填空；
②描点③连线，画出y＝﹣|x﹣1|+4的图象．
（2）结合所画图象，仿照一次函数图象性质，写出y＝﹣|x﹣1|+4两条不同类型的性质．
① ；
② ；
（3）观察函数图象，试判断函数y＝﹣|x﹣1|+4的最大值为 ．
17．学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”．如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t（℃）的关系．根据下表，回答以下问题：
（1）由表可知，海拔高度每上升1千米，温度降低 摄氏度．
（2）当海拔高度为h（千米）时，气温t为多少摄氏度
（3）某飞机飞行高度11000米，请计算在该海拔高度的气温是多少？
18．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）间的关系如表：
（1）补充上面的表格．
（2）该表格反映了两个变量之间的关系：自变量是 ，因变量是 ；
（3）在弹性限度内，如果所挂物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式．
（4）如果弹簧的最大长度为20cm，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？
19．小明和小白两人从同一地方出发，分别自驾前往240km外的景点游玩，小明与小白在服务区均休息了一次，每人每次休息30分钟．行驶过程中，两人的速度始终保持不变，具体时间与路程信息如图所示．
（1）求两人的行驶速度．
（2）求小白休息后的（AB段）行驶路程y关于时间x的函数．
（3）求小明追上小白时的时间．
20．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离A点的距离分别为S甲、S乙（km）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）A、B两地之间的路程为 km；
（2）经 小时，甲、乙两人相遇，此时距B地的距离为 km；
（3）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180km？
教学目标
掌握函数图象的概念，并能够熟练的画出相应函数的图象。
掌握函数的三种表达方式，能够熟练的判断并能够从中获取关键信息解决相应的问题。
教学重难点
重点
函数的图象的画法；
函数的三种表达方式。
2. 难点
（1）从函数的三种表达形式中获取信息解决问题；
（2）判断并解决与变量以及动点问题的函数图象有关的问题。
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
x
…
…
y
…
…
温度（℃）
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速（m/s）
318
324
330
336
342
348
时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
35
60
85
110
时间/min
1
2
3
4
5
6
水的高度/cm
1.5
3
4.5
6
7.5
9
用水类别
现行水价
拟调整水价
第一阶梯：月用水量每户0～30m3
1.5
1.8
第二阶梯：月用水量每户超过30m3部分
1.5
2.7
鞋号（码）
…
33
34
35
36
37
…
脚长（毫米）
…
215±2
220±2
225±2
230±2
235±2
…
温度（℃）
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速（m/s）
318
324
330
336
342
348
温度T（℃）
100
150
200
250
300
导热率K（W/m•K）
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
弹簧的长度/cm
…
11
12
13
…
所挂重物的质量/kg
…
0.5
1
1.5
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…







…
海拔高度h（千米）
…
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
…
20
14
8
2
﹣4
﹣10
…
所挂物体的质量/kg
0
1
2
3
4
5
6
弹簧的长度/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15