第二十二章 函数（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册+答案

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第二十二章 函数 考点01 变量与常量 变量： 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。 常量： 在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 【题型1】判断一个变化关系中的变量与常量 1．下列说法正确的是（　　） A．在圆的面积公式S＝πr2中，常量是π、r，变量是S B．加工100个零件，工作效率p与时间t之间的关系式是100＝pt，p、t都是变量 C．以固定的速度v0向上抛一个小球，小球的高度h（m）与小球运动的时间t（s）之间的关系式是ℎ=v0t−4.9t2，常量是4.9，变量是h、t D．在匀速运动公式S＝vt中，常量是t，变量是S、v 2．关于常量和变量表述不正确的是（　　） A．矩形的面积是3cm2，宽为xcm，长为ycm．在这个问题中3cm2为常量 B．在圆的周长公式C＝2πr中，2，π为常量，C，r均为变量 C．在匀速运动公式S＝vt中，v、S和t均为变量 D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量 考点02 函数的定义 函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说是自变量，是的函数，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 【题型1】判断关系是否为函数关系 3．下列变量之间的关系中，是函数关系的是（　　） A．人的体重与年龄 B．正方形的周长与边长 C．长方形的面积与长 D．y=±x中，y与x 4．下列不一定是函数关系的是（　　） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【题型2】判断式子是否为函数解析式 5．下列式子中，能表示y是x的函数的是（　　） A．|y|＝1+|x| B．|y|＝1+x C．y＝1+|x| D．|y|＝1+x2 6．下列各关系式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝x2 B．y＝±x C．y＝x+1 D．y＝|x| 7．下列关系式：①y=12x；②y＝x2；③|y|＝x；④y+1＝x；⑤y2＝x+3，y不是x的函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点03 自变量的取值范围 自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为一切实数。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为分母不为0的一切实数。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为被开方数大于等于0的一切实数。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为底数不为0的一切实数。 在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 【题型1】求函数的自变量取值范围 8．下列y关于x的函数中，定义域为一切实数的是（　　） A．y＝x﹣3 B．y=x−3 C．y=1x−3 D．y＝（x﹣3）0 9．函数y=xx+5的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣5 B．x≠﹣5且x≠0 C．x≠0 D．x≠﹣5 10．函数y=2−x中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知函数y=16−x，则自变量x的取值范围是（　　） A．x≤6且x≠0 B．x≥6且x≠0 C．x≤6 D．x＜6 12．函数y=x−2x−3的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x＞3 C．x≥2且x≠3 D．x＞2且x≠3 13．在函数y=x+−x中，自变量x的取值范围是（　　） A．一切实数 B．x≥0 C．x≤0 D．x＝0 14．函数中y=(x+1)04−x，自变量x的取值范围是（　　） A．x≤4 B．x＜4 C．x＜4且x≠﹣1 D．x≤4且x≠﹣1 15．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式是y＝20﹣2x，则自变量x的取值范围是（　　） A．0＜x＜10 B．5＜x＜10 C．x＞10 D．一切实数 考点04 函数解析式与函数值 函数解析式： 用关于自变量的数学表达式表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。等号左边是自变量的函数，等号右边是关于自变量的代数式以及自变量的取值范围。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 函数值： 在一个函数中，如果在自变量的取值范围内存在自变量时对应的函数值，则就是自变量为时的函数值。 【题型1】求简单的函数解析式 16．已知博物馆到小明家的路程为8km，小明回家所需时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化，则t关于v的函数表达式是（　　） A．t＝8v B．t=18v C．t=8v D．t＝8v2 17．如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为30cm的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少5cm，则打结连接后的丝带总长度y与用到的丝带数量x的关系式为（　　） A．y＝30x﹣5 B．y＝30x+5 C．y＝25x﹣5 D．y＝25x+5 18．设地面气温是2℃，如果高度每升高1km，气温下降6℃，那么气温t（℃）与高度h（km）之间的函数表达式是（　　） A．t＝2﹣6h B．t＝2+6h C．t＝6h﹣2 D．t＝﹣6h﹣2 【题型2】求函数值 19．变量y与x之间的关系式是y=12x+1，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 20．已知二次函数y＝（x﹣1）（x+1），当x=7时，y的值为 　 　 ． 21．已知f（x）＝x2﹣1，那么f(6)=　 　 ． 22．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为2，则最后输出因变量y的值为　 　 ． 考点05 函数的图象及其函数图象的画法 函数的图象的概念： 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别看作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，是这个函数的图象。 图象上的点与满足函数关系的有序数对： 函数图象上的任意一点（x，y）中的x，y都满足函数关系；满足函数关系的任意一对有序数对所对应的点都在函数图象上。 画函数图象的步骤： 步骤1：列表：表中给出一些自变量及其自变量对应的函数值。 步骤2：描点：在平面直角坐标系中，以自变量作为横坐标，函数值作为纵坐标，描出表格中的数值所对应的点。 步骤3：连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的点用光滑的曲线连接起来。 【题型1】画函数的函数图象 23．小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为8km，幼儿园到小明妈妈单位的路程为3km，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程S1（单位：km）和S2（单位：km）的部分数据： （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画S1与P，S2与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为70%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶　 　 km（结果精确到0.1）； ②若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为　 　 （精确到1%）． 24．学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．下表是函数y=kx(x≥1)mx+1(x≤1)部分自变量与对应的函数值． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出函数的一条性质：　 　 ； （4）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在这个函数的图象上，且1＜x3＜2，﹣1＜x1＜x2＜0，请写出y1，y2，y3的大小关系：　 　 ．（用“＜”连接） 【题型2】判断图象是否为函数图象 25．下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 26．下列曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【题型3】判断一个变量的大致图象 27．小数的父亲饭后去散步，从家中出发经过20分钟后到达一个离家700米的公园，停留了30分钟，然后花15分钟返回到家中．下列图象中，能表示小数父亲离家的路程y（米）与散步的时间x（分）之间关系的是（　　） A． B． C． D． 28．如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　） A． B． C． D． 29．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分）之间满足某种关系，其图象大致为（　　） A． B． C． D． 考点06 函数的三种表达方式 解析式法： 定义：用含有自变量x的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 列表法： 定义：把一系列自变量x的值与对应的函数值y列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 图象法; 定义：用图象来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图象只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 判断图象是否为函数图象需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图象只能有一个交点。 【题型1】获取函数图象信息解决问题 30．某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过5kg后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额y（元）与购买数量x（kg）之间的关系如图所示，则小明购买8kg这种香蕉需付金额为（　　） A．32元 B．40元 C．42元 D．48元 31．甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以60km/h的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为s（km），甲车行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车；②乙车行驶的速度是90km/h；③A、B两地相距450km；④甲车比乙车晚到32 ℎ；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 32．周六上午，小颖从家出发前往早餐店用餐，随后前往图书馆阅读，最后回家．她离家的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小颖从家到早餐店用时20min B．小颖在图书馆阅读了55min C．小颖从图书馆出发回家的平均速度是50m/min D．点A表示小颖出发5min时离家的距离为400m 【题型2】获取表格信息解决问题 33．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）（0≤x≤10）有下面的关系： 下列说法不正确的是（　　） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为0cm C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm 34．将温度计从装热茶的杯子中取出后，立即放入凉水中，每隔5s读一次温度计上显示的度数，将记录下的数据制成下表．下列说法不正确的是（　　） A．当t＝25时，温度计上的度数是14.0℃ B．当t＝10时，温度计上的度数是31.0℃ C．温度计上的度数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变 D．依据表格中反映出的规律，t＝40时，温度计上的度数是13.0℃ 35．学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”．如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t（℃）的关系．根据下表，回答以下问题： （1）由表可知，海拔高度每上升1千米，温度降低　 　 摄氏度． （2）当海拔高度为h（千米）时，气温t为多少摄氏度 （3）某飞机飞行高度11000米，请计算在该海拔高度的气温是多少？ 教学目标熟练掌握全章知识点； 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；教学重难点重点 （1）变量和常量； （2）函数的概念及其函数的表达方式。 2. 难点 （1）求函数解析式自变量的取值范围，注意综合型函数解析式以及实际问题中的取值范围； （2）判断变量的函数图象。P0%10%20%40%60%80%100%S103715233139S20249152230x﹣3012ya12bx012345y1010.51111.51212.5时间t（单位：s）5101520253035度数（单位：℃49.031.022.016.514.012.012.0海拔高度h（千米）…012345…气温t（℃）…201482﹣4﹣10…