数学八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数优秀导学案及答案

这是一份数学八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数优秀导学案及答案，文件包含第一单元综合性学习30道原卷版docx、第一单元综合性学习30道解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 一次函数在经济问题中的建模方法（利润、收费、打折、分段计费），能根据实际背景建立函数关系并求解最值。
熟练运用 一次函数解决方案选择与优化问题（租车、采购、投资分配），通过比较函数值或解不等式确定最佳方案。
理解 工程问题中的效率、时间与工作总量的一次函数关系，能结合图表信息列式求解。
会利用 一次函数图象分析行程问题（相遇、追及、相距距离、速度变化），能从图象中提取关键点坐标并求解析式。
掌握 一次函数与几何综合（面积、折叠、旋转、平移），能利用待定系数法、交点坐标、面积公式解决几何问题。
提升 创新题型中的信息提取与建模能力，能结合分段函数、图象分析实际生活情境（如漏刻、机器人分拣、充电费用等）。
✨ 核心聚焦：一次函数建模、图象信息提取、方案优化决策、几何综合应用。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、经济问题（利润、收费、打折）
基本模型：总收入 = 单价 × 数量；总成本 = 固定成本 + 可变成本；利润 = 收入 - 成本。
分段函数：购买数量或消费金额超过一定阈值后，单价或折扣变化，需分段建立函数（如题3、4）。
待定系数法：根据已知两组数据（如速度与时间、鞋码与脚长），设 y=kx+b，代入求 k,b。
方案比较：分别写出两种方案的函数表达式，再通过解不等式或代入具体值判断优劣（题5）。
☆ 二、方案问题（最优选择）
线性规划思想：在约束条件（如数量限制、资金限制）下，建立目标函数（如利润、费用），利用一次函数的增减性求最值（题6、7、9）。
自变量范围：根据实际意义（如人数、车辆数）确定整数解，再比较端点值。
图象法：画出两个方案的函数图象，交点处费用相等，通过图象上下位置判断优势范围。
☆ 三、工程问题
工作总量 = 工作效率 × 时间。常用一次函数表示剩余工作量或已完成工作量与时间的关系。
充电问题：充电量 = 充电功率 × 充电时间；电池剩余电量与行驶里程成线性关系（题10）。
工资问题：基本工资 + 计件奖励，通常为一次函数（题11）。
☆ 四、行程问题
s-t图象：纵轴表示离某地距离，斜率表示速度；交点表示相遇；折线表示变速或停留。
相遇与追及：利用两者路程相等列方程；相距问题考虑两种情形（相遇前、相遇后）。
分段函数：不同时间段速度不同，需分段写出解析式（题12、18、19）。
图象信息提取：从图象中读取起点、终点、拐点坐标，计算速度、时间、距离。
☆ 五、几何问题
直线与坐标轴围成的面积：S=12b2k（截距式）。
平移与旋转：平移后 k 不变，b 改变；旋转90°需利用垂直（斜率乘积为-1）求新直线。
折叠问题：折叠前后对应点关于折痕对称，利用中点坐标和垂直关系求解。
三角形面积：已知三点坐标，用铅垂高法或行列式法。
☆ 六、创新题型
阅读理解：从文字、表格、图象中提取有效信息，转化为一次函数模型（题33、34、35、36）。
方案设计与评价：根据目标（如扭亏为盈）设计调整方案，并比较优劣（题33）。
数据拟合：利用两组数据近似确定一次函数关系（题35）。
多变量问题：综合多个条件建立函数，求最值或判断可行性（题36）。
☆ 知识模块速查表
核心考点 ·6类题型精讲
【考点1】经济问题：利润、收费、打折
❤ 方法总结
①根据题意设出变量，建立一次函数模型；②注意分段计费时不同区间的表达式；③利润最大问题通常转化为一次函数在自变量范围内的最值，若k>0则取最大值，k2)
课后6 —— 烤鸭烤制时间：根据表格数据求一次函数，代入求值
课后7 —— 甲、乙两车相向：读s-t图求m值（相遇前相距？）
课后8 —— 赛跑：乙比甲晚5秒，t=10秒乙追上甲，求l1表达式
课后9 —— 消费卡：求两种卡的费用函数，求交点，判断15次哪种划算
课后10 —— 汽车行驶：读折线图求速度、线段FG解析式、判断能否按时到达
课后11 —— 购票方案：方案一 y=50x+8000，方案二折线OAB，求函数，比较180张票
课后12 —— 游轮与货轮：读图求a、b值，填表，求函数解析式，货轮能否相遇
课后13 —— 产品分配方案：线下利润分段函数，线上利润二次型（实际为一次？），设计优秀方案
⭐ 复习建议：强化一次函数在实际问题中的建模能力，重视图象信息的提取与分段函数的处理，加强方案优化问题的系统性训练，并注意几何变换与一次函数的结合。
1.（2025秋•汨罗市校级期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出y与x之间的函数表达式（ ）
A．y＝2+4xB．y＝6+4xC．y＝6﹣4xD．y＝2﹣4x
2.（2025秋•沈北新区期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．乙用6分钟追上甲
B．乙的速度为100米/分
C．乙追上甲后，再走2400米才到达终点
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟
3.（2024春•仓山区校级月考）如图，李明从甲地去往乙地，开始以一定的速度行驶，之后由于道路维修，速度变为原来的四分之一，过了维修道路后又变为原来的速度到达乙地，设李明行驶的时间为x（分钟），行驶的路程为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列说法错误的是（ ）
A．甲乙两地的距离为10000米
B．从甲地到乙地有2千米道路需要维修
C．李明从甲地到乙地共用20分钟
D．李明从甲地到乙地的平均速度为每分钟400米
4．（2024•包河区二模）小明爬楼回家，他所爬楼梯台阶总数m个是楼层的层数n层（n≥2的整数）的一次函数，其部分对应值如表所示：
已知每个台阶的高为0.1m，小明家在20楼，他家距地面的高度是（ ）
A．56mB．57.4mC．54.6mD．59.2m
5.（2025秋•福田区校级期末）深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞2）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为 ．
6.（2025春•通州区期中）烤鸭的烤制时间与鸭子的质量可以近似看作一次函数关系．某烤鸭店在确定的烤制时间时，参照表中的数据：设鸭子的质量为x千克，烤制时间为t，当x＝3.8千克时，t的值为 分钟．
7.（2025•中山区一模）甲、乙两车分别从M，N两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为s（单位：km），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系如图所示，m的值为 ．
8.（2025•长宁区二模）甲、乙两人在同一起点出发，乙比甲晚5秒，图中l1、l2分别表示甲、乙两人在赛跑中的路程s（米）与时间t（秒）的关系（图象不完整），已知l2的表达式为s＝6t﹣30．如果在t＝10秒时乙追上甲，那么l1的表达式为 .（不要求写定义域）
9．（2025秋•兰州月考）某度假酒店推出了甲、乙两种消费卡，设入店次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用y甲、y乙元关于入店次数x次的函数表达式；
（2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？
（3）若入住酒店15次，采用哪种方法比较划算？
10.（2024秋•扬州期末）如图1，一条直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，AB＝250km，BC＝60km，一辆汽车上午8：00从离A站10km的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站，设汽车出发x小时后离A站ykm，图2中折线DEFG表示接到通知前y与x之间的函数关系的图象．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；（直接写出结果）
（2）求线段FG所表示的y与x之间的函数表达式（自变量的取值范围不需要写）；
（3）接到通知后，若汽车仍按原来的速度行驶，能否按时到达？如果不能按时到达，速度至少提高到多少可按时到达，请说明理由．
11.（2024春•江门校级期中）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x张，购票总价为y元）；
方案一：提供8000元赞助后，每张的票价为50元；
方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定．
（1）分别求出方案一和方案二的函数关系式；
（2）若购买180张票，选择哪个方案更省钱？
12.（2025•河西区模拟）已知甲、乙、丙三个码头依次在一条直线上，甲、乙码头之间的距离为280km，乙、丙码头之间的距离为140km．一艘游轮从甲码头出发前往丙码头，途中经过乙码头停靠了两个小时，又继续航行到达丙码头，且游轮停靠前后的行驶速度不变．下面的图象反映了这个过程中游轮离甲码头的距离y（km）与时间x（h）之间的对应关系．
（Ⅰ）①根据题中所给信息，图中a的值为 ，b的值为 ；
②填表：
（Ⅱ）请直接写出在整个过程中，游轮离甲码头的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅲ）在游轮到达乙码头1小时的时候，有一货轮也从甲码头出发前往丙码头，已知货轮的速度是游轮的3倍，那么货轮在行驶途中能否遇到游轮？若能相遇，相遇地距离甲码头的路程是多少？（直接写出结果即可）
13.（2024•鄞州区模拟）请阅读信息，并解决问题：
题型
核心方法
关键步骤
经济问题
建立收入/成本/利润函数，分段函数，方案比较
设未知数→列表达式→解方程或不等式→结合实际取解
方案问题
目标函数（利润/费用）+约束条件，利用一次函数单调性求最值
写出函数式→确定自变量范围→计算端点值或最值点
工程问题
工作总量=效率×时间，剩余电量线性关系
根据表格或图象求解析式，代入求解
行程问题
s-t图象分析，相遇、追及、相距距离
读点坐标→求速度→列方程→分类讨论
几何问题
面积公式、平移旋转、对称折叠
求交点坐标→利用几何关系列方程→解出参数
创新题型
信息提取、数据拟合、方案设计
理解情境→转化为一次函数→验证合理性
脚长x/cm
…
23
23.5
24
24.5
…
中国鞋码y
…
36
37
38
39
…
单价
类别
成本价/（元/件）
销售价/（元/件）
甲种布料
60
100
乙种布料
40
70
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金（元/辆）
300
400
新能源汽车充电小常识：
1．新能源汽车充电有个简单的公式：
充电量（kWh）＝充电功率（kW）×充电时间（h）
2．电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色
汽车行驶过程
已行驶里程y（千米）
0
200
300
350
显示电量x（%）
100
60
40
30
职工
甲
乙
月销售件数（x件）
200
300
月工资（y元）
2000
2500
小明离开宿舍的时间/min
5
10
20
75
小明离宿舍的距离/km
2
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
对应的t值
0
1
2
3
4
5
6
R/万元
1.97
2.15
2.34
2.57
2.71
2.94
3.09
年数a
高度h/cm
1
100+5
2
100+10
3
100+15
…
…
方案
安装费用
每千瓦时所需费用
方案一：私家安装充电桩
2500元
0.5元
方案二：公共充电桩充电
0
1.5元（含服务费）
销售单价x（元/千克）
12
14
16
日销售量y（千克）
100
90
80
主题
关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境
随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态．
问题探究
（1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图象如图①所示），写出图①中点A（0，﹣1）和点B（1.5，0）的实际意义，并求出y与x的函数关系．
（2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏．
你认为图②和图③两个图示中，反映乘客代表意见的是 ，反映客运公司行政代表意见的是 （填序号）．
问题解决
（3）汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内平均每天的乘客数量为1.2万人，经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下：
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.9万元；
方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元．
你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由．
记录时间
9：00
9：10
9：20
9：30
9：40
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm
30
29
28.1
27
25.8
时间x/s
0
5
10
15
20
两车间的距离y/m
300
275
250
225
200
时间：（小时）
1
2
3
4
5
圆柱体容器液面高度y（厘米）
6
10
14
18
22
层数n/（层）
2
3
4
5
…
台阶数m/（个）
42
70
98
126
…
鸭的质量/千克
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
烤制时间/分钟
40
60
80
100
120
140
160
180
游轮离开甲码头的时间/h
1
10
15
20
游轮离开甲码头的距离/km


280

优化产品分配方案
素材1
某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完．
素材2
线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：y=−18x+230．
素材3
优秀方案
月总利润≥46000元
良好方案
44000元＜月总利润＜46000元
合格方案
40000元＜月总利润≤44000元
（销售利润＝销售收入﹣成本）
任务1
①线下直营店的月销售量为m件．若0＜m≤400，则这m件产品的销售利润为 元．若400＜m≤800，则这m件产品的销售利润为 元．
②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为 元．
任务2
①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润．
②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．）